單元大概念視域下高中數學學習中創新思維能力的養成研究

［摘 要］ 新形勢下，國與國之間的競爭是創新人才的競爭，如今的數學教學面臨著更多元、更多變人才的培養. 如何立足我國基礎教育國情，改變傳統教學模式，致力于單元大概念視域下發展學生的創新思維呢？對此，研究者進行了大量探索與實踐，從核心概念的界定出發，以“復數的乘法”教學為例，具體談談單元大概念視域下培養創新思維的具體措施.

［關鍵詞］ 大概念；創新思維；復數

隨著時代的發展，“大概念”一詞在數學教學中出現的頻率越來越高. 為了滿足時代進步的需要，培養學生的創新思維刻不容緩. 將單元大概念與創新思維的培養有機地融合于一體是實施結構化教學的重要方式，也是發展學生數學學科核心素養的重要舉措.

核心概念的界定

1. 大概念

大概念（Big Idea）源于美國，屬于一種統整性概念，即歸納與整合一些特定的概念，融合生活現象、學科知識與基礎技能，幫助學生構建完整的概念網絡. 單元大概念，顧名思義是指某個單元的概念體系.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調教師需重視學科大概念，在精選學科內容的基礎上實施結構化教學，以促使數學學科核心素養的落地. 至此，大概念被提到了重要的位置，但在實際應用時卻困難重重，究其主要原因在于它的整合性比較強，不少教師尚未適應從宏觀的角度設計教學，尤其在單元大概念視域下培養創新思維，仍需進一步探索.

2. 創新思維

創新思維是指突破常規思維的界限，用獨特、新穎的方式解決實際問題的過程. 該過程主要從反常規的視角去提出問題、分析問題，并從新視角提出與眾不同的解決問題的方案. 因此，創新思維是一種具有社會意義的成果. 實踐證明，培養學生的數學創新思維是推動社會進步與發展的原動力.

具體措施

1. 教學現狀分析

高考背景下的數學教學，學生在知識的學習上缺乏一個連續的整體性，對知識的掌握存在“低、淺、散”等現象，無法從宏觀的視角認識知識背后所蘊含的邏輯關系與思想方法，尤其在創新思維的發展上普遍存在不足. 新課標強調高中數學教學需及時更新并優化學生的知識結構，讓學生在知識的“再創造”與“再發現”中發展創新思維.

復數應用較為廣泛，它從實數擴充而來，因此依然延續了實數所具備的特點與運算律等. 但不少教師認為這部分內容比較簡單，于是直接帶領學生進入復數計算應用環節，而忽略了復數計算理解教學. 殊不知，缺乏理解的應用，只是機械式模仿. 以單元大概念為核心設計教學，不僅能幫助學生建構完整的知識體系，還能進一步培養學生的創新思維，發展學生的數學學科核心素養.

2. 教學簡錄

單元大概念視域下的數學教學應以教材為依托，利用系統論分析“具有某種內在聯系”的內容，經整合與重組形成結構完整的單元教學體系. 如圖1所示，筆者以學科大概念為節點，從“分析教學要素”“明確教學目標”“設計核心問題”與“多元評價與反思”四個環節著手設計教學流程.

（1）分析教學要素，提取大概念誘發創新思維

教學要素主要包括課程標準、教材內容與學情等. 關于復數章節的教學，新課標強調引導學生理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義；教材所呈現的內容主要包括復數的概念、復數的四則運算、復數的三角表示等，著重強調要凸顯代數運算和幾何直觀的融合性，讓學生從中感悟知識間的關聯特征，并從整體的角度理解復數章節，以發展學生的創新思維，培養學生的運算素養與直觀想象素養.

鑒于高中生具備一定的邏輯推理、數學抽象與創新意識，復數的引入又是一次數系擴充，因此教學時可帶領學生站在整體的角度，類比之前幾次數的學習過程，將數系擴充的規則作為大概念實施單元學習，其中將復數的乘法運算與幾何意義整合成一個小單元實施學習. 這種整合設計是基于發展的角度而來的，是促使學生萌生創新意識的基礎.

（2）確定教學目標，以大概念引領創新思維

教學目標是制定教學計劃與實施教學活動的方向標. 維金斯認為教學設計首先要明確預期的教學成效，整個課堂教學活動圍繞這個預期成效而展開. 新課標已為大家初步制定了單元教學目標，教師可以此為出發點，借助大概念的網狀結構逐步細化教學任務，為幫助學生建構完整的概念體系奠定基礎.

如圖2所示，結合數系擴充規則、課程標準和核心素養要求制定復數單元大概念教學目標.

（3）設計基本問題，以大概念培養創新思維

理解大概念的本質并不是一蹴而就的事情，而要通過概念圖的繪制幫助學生逐層理解概念群，明晰概念間存在的層級關系. 本節課，數系擴充規則涉及的子概念有復數的加法、幾何意義、多項式乘法、代數表示、三角表示、三角函數等. 想要逐個突破這一個個的子概念，離不開基本問題的驅動.

單元大概念視域下的問題設計需關注具體的方向，每個問題都指向于大概念的理解，學生通過對問題的思考與探索不僅能掌握基本知識與技能，還能促進“四能”的發展. 問題驅動下對已有經驗進行反思，可鍛煉學生遷移知識的能力，為創新能力的發展創造機會.

問題1 回顧并說一說復數加法的定義與幾何意義.

追問1：眾所周知，實數存在乘法運算，復數是否也存在乘法運算呢？

追問2：自主猜想并說一說復數的乘法運算法則與幾何意義是什么.

設計意圖 數系從實數擴充到復數，必然會涉及運算問題，類比實數的運算法則猜想復數的運算是學習能力遷移的表現. 復數既然是實數的擴充，那么復數與實數必然有所聯系和區別. 聯系和區別在哪兒呢？這是需要學生思考的問題.

問題2 你對復數乘法的“規定”是怎樣理解的？

追問1：之前在什么情況下遇到過類似的“規定”？

追問2：這些“規定”存在共性特征嗎？

設計意圖 數學是一門基礎學科，學生從小到大認識了不少數學“規定”，如0和任何數相乘都為0，分母不能為0等. 這些“規定”具有確定性與辯證統一性.

問題3 思考復數乘法是不是也滿足結合律、交換律與乘法對加法的分配律呢？

追問1：實數乘法是否滿足以上規律？

追問2：說說證明復數乘法運算律的過程.

追問3：根據實數與復數的乘法運算律來分析以上所提到的“規律”具有什么優勢.

設計意圖 復數運算律的探索是研究復數的基礎，學生通過探究題的分析與思考獲得結論. 親歷探究，一方面可讓學生切身感受復數乘法運算所遵循的一般規律，另一方面還能感知復數乘法與實數乘法的共性特征，因而從代數形式上將實數乘法有機地融入復數乘法. 此過程，教師除了設計基本問題與追問外，還要站在學生的角度做好引導與點撥工作. 如乘法交換律的證明，教師首先要思考學生需要做些什么，該如何操作. 此環節，需帶領學生分析：對任意z，z，z∈C，z·z=z·z成立嗎？而后引導學生嘗試證明，必要時給予規范的示范性指導.

學生在自主證明中，不僅能體會復數乘法的本源為實數乘法，還能訓練思維的縝密性與創造性，這是促進創新能力發展的過程.

復數的乘法與兩個多項式相乘高度相似，其滿足乘法結合律、交換律以及乘法對加法的分配律也就能理解了. 如此分析，復數和實數乘法運算具有高度一致性就理所當然了.

關于數學知識體系的進一步擴充，想要確保其內部和諧、統一，就需對一些法則做出明確規定.

問題4 說一說復數乘法的幾何意義.

追問1：復數相乘和向量相乘存在聯系嗎？說明理由.

追問2：關于數列1，x，-1，有沒有哪種運算能將1轉化為x，而后將x轉化成-1？

設計意圖 鑒于向量的點乘結論僅為數量，不滿足乘法運算的封閉性特征，因此無法用向量相乘來分析復數相乘. 關于數列1，x，-1的問題的提出，意在引出復數乘法的幾何意義，此問難度相對較大，是瑞士數學家阿甘達在1806年所解釋的復數幾何意義.

問題5 是否可用一個新的量來表達復數相乘？

追問1：假設復數z滿足z=r，∠ZOx=θ，則復數z是多少？（以a+bi的形式呈現）

追問2：若r（cosθ+isinθ）=z，r·（cosθ+isinθ）=z，則z·z的值是多少？

追問3：嘗試用圖形來描述上一個問題中z·z的值.

追問4：說一說復數乘法的幾何意義.

追問5：若復數z滿足（i+1）z=2i，則z的值是多少？

設計意圖 既然無法用向量來描述復數相乘，就需要用其他量來表示. 事實證明，用輻角與復數的模來表示復數效果不錯，也就是常說的復數的三角表示法. 假設復數z=a+bi，那么（a，b）就是與復數z對應的復平面內點Z的坐標，分別用r，θ來表示坐標（a，b），則a=rcosθ，b=rsinθ，rcosθ+irsinθ=z=r（cosθ+isinθ），此為復數z的三角表示式.

在三角表示的基礎上分析兩個復數相乘可將其結果表示成三角形式：兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.

由復數乘法的幾何意義可知，

z·

z=

z·

z. 關于追問5，學生容易得到如下兩種解題方法：①假設z=a+bi，代進（i+1）z=2i，獲得a=b=1，因此z=；②用復數乘法的幾何意義解題，由于

z·

z=

z·

z，因此i+1·z=2i，所以z=.

通過問題的驅動，學生在單元大概念的背景下逐層深入地理解了復數的定義、運算規則等. 每個核心問題配上相應的追問，為學生的思維搭建了“腳手架”，讓學生能順應問題探尋研究方向，完成教學目標. 整個過程，都以學生的主動探索為主，教師只起到引導的作用，這種“以生為本”的模式成功訓練了學生的數學思維，發展了學生的創新能力.

（4）多元評價反思，從真正意義上落實大概念

新課標強調教學設計需注重“教、學、評”一體化，單元大概念視域下的教學評價需重點關注過程性與形成性評價，對于學生的思考過程、行為表現、創新意識等，從多維度進行分析、評價與反思. 教學完畢后，教師還應結合評價結論對教學進行反思與調整，借助團隊的力量完善教學方案，以進一步提高教學成效，發展學生的創新能力.

總之，單元大概念視域下的教學設計需重點關注知識的整體性與關聯性. 鑒于知識間存在嚴密的邏輯關系，教師可引導學生以概念為節點，建構層次清晰的知識網絡圖，使得教學目標更加明確，提高教學效益的同時還能促進創新思維的發展.