APOS理論模式與應用策略的研究

［摘 要］ 文章以“數列”的概念為例，從APOS理論所提的四個階段（活動階段、過程階段、對象階段與圖式階段）入手設計概念教學，并從“注重教學思想”“細化教學理論”“擇取教學方式”三個方面談一些思考.

［關鍵詞］ APOS理論；概念教學；數列

APOS理論是杜賓斯基等人在研究概念教學過程中提出的一種學習理論，該理論認為學習是知識建構的過程，“反省抽象”是促進學生優化學習方式，實現深度學習的基礎. APOS理論認為數學學習需要經歷活動、過程、對象與圖式四個階段，學生的思維在這四個階段中轉化與升華. 本文以“數列”的概念為例，探討如何在教學中踐行APOS理論.

APOS理論模式

杜賓斯基認為個體在概念學習時需借助“心智結構”賦予概念一定的意義，心智結構的構建一般經歷如下四個階段.

1. 活動（Action）階段

心智結構的活動階段是指個體遵循一定的操作或記憶指令，對數學對象形成初步認識的過程. 此為學習的基本操作活動，如將學生的行為變化外顯與意向變化作為記憶指令，即通過適當的外部活動刺激，讓學生對數學概念形成一定的認識與體驗，并發現背景環境與概念之間存在怎樣的聯系.

2. 過程（Process）階段

該階段是指在多次活動之后，學生對活動內容進行分析與反思，形成思維內化與壓縮，這是將外部活動內化成“過程”的心理變化. 這里的“過程”無需外部刺激，學生就能在腦海中實施活動，甚至可逆轉或組合整個活動.

例如橢圓的教學，教師借助GeoGebra軟件畫圖，學生在此基礎上對橢圓的形成獲得明確的認識，這樣在后續學習中，在沒有工具輔助的情況下，學生通過自己的想象也能在腦海中構建出完整的橢圓圖形.

3. 對象（Object）階段

隨著個體意識的進一步深入，學生能從整體層面對“過程”進行轉換與操作，那么“對象”則會自然而然地刻畫在學生的腦海中，為后續學習奠定基礎. 需要應用該知識時，大腦可以將這部分知識內容解壓縮，再現對象形成過程，使概念能在學生腦海中形成一種靜態的結構關系——實體.

4. 圖式（Schema）階段

當學生對活動、過程與對象進行整合后，形成數學概念的綜合圖式，此階段需要投入較多的精力與時間才能完成. 數學概念的綜合圖式，隨著對知識認識的逐步深入而完善，即將所學知識與其他相關內容結合構建綜合圖式，為建構完整的數學知識體系奠定基礎.

綜上分析，APOS理論實則為一個循環反饋系統，學生在“活動”中壓縮腦海中的“過程”，并將它轉化為“對象”，必要時又將“對象”解壓為“過程”，學生的思維經歷多次反復循環，最終形成綜合“圖式”（如圖1所示）.

基于APOS理論的概念教學設計

概念教學切忌灌輸，應結合學生真實的認知水平，將概念形成過程循序漸進地呈現出來，讓學生經歷觀察、辨別、猜想、驗證等過程. 以“數列”的概念為例，基于APOS理論設計如下四個階段：①辨認分化階段；②檢驗概括階段；③推廣階段；④形式階段.

1. 活動階段——辨認分化階段

活動1 探索數列的屬性.

（1）教師借助PPT展示花瓣圖（圖略），圖中顯示各朵花分別有3，5，8，13， 21，…片花瓣.

（2）呈現古印度國王與棋盤和麥粒的小故事.

（3）如圖2所示，每幅圖中的點分別對應數字1，3，6，10，….

如圖3所示，每幅圖中的點分別對應數字1，4，9，16，….

設計意圖 設置經典情境意在激發學生的探究興趣，滲透數學文化，讓學生自主揭開“數列”的面紗，感知數列源于生活的真諦，為更好地辨認數列奠定基礎.

此過程抽象的是研究對象在空間形式與數量關系方面的共同本質屬性，而非物理屬性. 顯然，每一種物品或事物都有各自的特點，又有相似的地方. 每幅圖所表示的數與圖中的序列號均有關系，從中也能發現同一個數字具備不同的屬性特征.

2. 過程階段——檢驗概括階段

活動2 抽象數列的概念.

（1）數列3，2，1與數列1，2，3是否為同一數列？（不是，它們的順序不同.）

（2）說說數列與集合在記法上的異同點是什么. （數列中的數具有順序性且可以相同，而集合中的各個元素沒有順序性且有互異性.）

設計意圖 上述兩個問題的提出，意在深化學生對數列概念的理解，明晰數列的有序性與可重復性，同時與集合中的元素進行辨析，進一步深化學生對數列概念的認識.

隨著以上探究活動的實施，學生自主獲得了數列概念的文字與符號表達式，其中要引起學生關注數列項與項數的區別，以及a與｛a｝的關系.

3. 對象階段——推廣階段

活動3 甄別函數解析式與數列通項公式.

（1）說說函數解析式y=f（x）與數列通項公式a=f（n）的區別.

我們可將數列視為定義域是正整數集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）的函數a=f（n）. 也就是說，自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值，可獲得對應的一列函數值. 兩者最大的區別在于定義域上，函數的定義域可為任意的非空數集，而數列的定義域只能是正整數集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）.

（2）函數y=2x+1的圖象與通項公式為a=2n+1的數列的圖象相同嗎？

設計意圖 學生通過兩者對比，自主發現函數解析式與數列通項公式的異同點，充分感知數列屬于一種特殊的函數，其特殊性主要體現在定義域上.

4. 圖式階段——形式階段

活動4 判斷數列的單調性.

（1）通過以上探索，我們都知道數列是一種特殊的函數，那么能否利用函數求最值的方法來獲得數列的最大項或最小項呢？

（2）怎樣確定數列｛a｝的單調性？

設計意圖 問題（1）的提出意在引導學生借助函數的性質獲得數列的最大項或最小項，值得注意的是這兩者之間有一定的差異，即數列｛a｝中的n∈N*. 問題（2）意在引導學生從數列的單調性出發，來比較a與a的大小，這對發展學生的邏輯推理能力與數學運算能力具有重要意義.

幾點思考

1. 注重教學思想

知識的形成需要經歷循序漸進的過程，每一個數學概念并非獨立的個體，課堂上有限的時間并不能完全闡述清楚各個概念的內涵與外延. 因此，教師應更新教學思想，從“大概念”的角度出發，將概念置于相應的單元或學科體系中進行教學，讓學生從宏觀的角度認識它的本質，這對完善學生的知識結構具有重要意義.

2. 細化教學理論

APOS理論的應用為數學教學提供了方法指導與理論支撐. 教師應用APOS理論時，可結合學生的實際認知水平適當地改進與細化教學流程，從真正意義上做到因材施教. 如活動階段，教師就可以結合學情創設恰當的情境，深化學生對知識的了解，培養學生用數學眼光觀察現實世界的能力.

3. 擇取教學方式

在概念教學時，教師可根據概念特征基于APOS理論擇取合適的方式. 若學生對概念已經有了初步認識，可以“同化”為方向實施教學；若學生對概念毫無基礎，可擇取概念形成的方式實施教學. 不論哪種教學方式的應用，其目的都是讓學生能用數學概念解決實際問題，這是實施教學的宗旨，也是提升學生數學學科核心素養的基本保障.

總之，時代的發展孕育著大量新的研究理論. APOS理論之所以能在眾多教育理論中脫穎而出，是因為它不僅為數學教學提供了指導，更重要的是為圖式水平的劃分提供了參考. 因此，APOS理論是一種關注學生思維發展走向的教育教學理論，是值得探討與研究的理論.