構建思維框架 超越題型教學

［摘 要］ 目前，高三解析幾何復習教學仍局限于題型教學，如何突破現狀，真正發揮解析幾何的育人價值？回到幾何問題的本質上，超越具體題目的“現象”，培養學生“哲學式”思考習慣，以及整體把握解題方向的能力，正是解析幾何的育人價值.

［關鍵詞］ 解析幾何；育人價值；“哲學式”思考習慣

問題的提出

解析幾何是高三復習教學的難點，題型多樣，運算量大，得分率低.在有限的復習時間內，師生都不愿意把時間花費在這塊“難啃的骨頭”上，害怕付出沒有收獲. 因此，解析幾何的復習教學多停留在有限的幾個專題上. 學生滿足于題型學習，而不見解析幾何的全貌. 復習教學突出了實踐階段的“算”，卻忽略了運算之前的“想”；突出了“一題多解”，卻忽略了“多題歸一”.

各種各樣的題型和運算能力的訓練是必需的，但從育人的角度來看，它們并沒有終極意義. 引導學生尋求紛繁龐雜的題型背后的統一性，構建分析問題的思維框架，并通過這個思維框架去領悟“幾何問題代數化”的精髓應當成為終極追求.

構建分析問題的思維框架

高中數學的每部分內容都有自己的研究對象和研究方法，那么解析幾何的研究對象是什么？它要解決的問題是什么？研究方法是什么？為了回答上述問題，我們需要詳細考察幾何問題的構成.

幾何問題通常都有一個動點或一條動直線，而動點或動直線引起相關直線的運動，從而引起相關點的坐標的變化，多數幾何問題中的相關直線或點還滿足一個幾何條件. 而我們要求解的就是運動變化過程中的“定、恒、最”三大問題，即固定的、恒定的、最大或最小的某一結果.

因此，幾何問題通常由三部分構成，即運動變化的點或線、幾何條件、幾何結論. 明確了幾何問題的構成后，我們再進一步提煉解題的一般步驟.

1. 引入參數

對于運動變化的點或線，通常引入參數來表示.在題目的運動變化中，如果首動元素是點，可以引入點參數（x，y）；如果首動元素是線，依據條件，可以引入斜率k或縱截距b，也可以設y=kx+b，引入兩個參數. 當然，設點、設線還有其他方法，上述是常見的幾種. 體現首動元素的參數（簡稱主參數），有著“牽一發而動全身”的地位，參數定，則圖形定，相關點的坐標或其他變元也跟著確定. 因此，相關的直線方程、點坐標或其他變元都能體現主參數. 主參數類似于函數的自變量，相關點的坐標類似于函數的因變量，二者之間的關系常常體現為一個方程. 在最值問題中，主參數常常就是自變量，它是一個能貫穿所有、貫穿始終的量.

“引參”是幾何問題代數化的第一步，也是運用方程思想、函數思想解決問題的第一步. 引入什么作為參數，隨著我們觀察圖形的立足點的變化而變化，“設點”還是“設線”將影響隨后的運算路徑和運算量. 因此，在“引參”前，要深入理解條件之間的關系，選擇一個能關聯各方的量作為參數.

其實，無論是學習方程、函數，還是學習解析幾何，“設元引參”都是解決問題的第一步. “設元引參”應當成為學習數學的基本素養，它是把問題“數學化”的第一步.

2. 幾何問題坐標化

引入參數后，實現代數化的第二步就是把幾何條件坐標化，即把幾何條件轉化成一個坐標的式子. 斜率和幾何四大問題（平行、垂直、角度、長度〈距離〉）都有相應的坐標化公式，其中角度的坐標化需要先把角轉化成它的某一個三角函數值再坐標化. 也可以運用向量的知識來實現坐標化，比如點到直線的距離（長度的一種）就可以用向量的投影長公式來實現坐標化.

坐標化的式子中既有橫坐標又有縱坐標，運算時通常都要消去其中一個，保留另外一個. 我們熟悉的一些公式就是“消參”的結果. 比如，兩點間的距離公式AB=，利用直線方程y=kx+b“消參”后，得到AB=

x

-x=

y

-y，這樣公式中就只有橫坐標或縱坐標. 類似的公式還有拋物線y2=2px（p>0）上兩點連線的斜率k===，這樣斜率公式中就只有縱坐標了. 利用直線方程或拋物線方程來消“一次項”是常用的“消參”方法.

有些幾何條件無法直接坐標化，如四點共mB6m1BWxKqNZus2H7WQnAJFOWbJsATc0VLEV45Ko5Ek=圓，需要依條件轉化成另一個幾何條件再坐標化. 而有些幾何條件直接坐標化將導致運算復雜，這樣就需要“轉化”，即把已知的幾何條件等價轉化成另一個幾何條件再坐標化. 有時還需要挖掘圖形的幾何特征實現轉化，例如2020年高考全國Ⅲ卷理科數學第20題，不直接把“等腰直角”坐標化，而是“挖”出直角頂點旁邊的兩個全等的直角三角形，進而得到對應直角邊的長度相等，然后再坐標化. 再如2019年高考浙江卷數學第21題，若能想到“三角形重心連接三個頂點組成的三個三角形的面積相等”這個性質，就可以把三角形的面積之比轉化成線段之比，進而轉化成兩個交點的縱坐標之比. 這樣既減少了相關點的坐標，還縮短了運算路徑，避開了運算“泥潭”. 如何轉化幾何條件是難點，需要對運算對象、運算途徑、運算目標有整體上的把握，才能有目標、有意識地去轉化.

3. 運算分析

把幾何問題坐標化后，剩下的就是運算.運算的目標是什么？為什么而算？我們需要從思維上整體把握運算，即理解每一個“運算”背后的動機，尋求運算的“統一性”. 運算的目標首先是相關點的坐標，即直線與曲線（包括直線）的交點或切點的坐標.為了方便，本文只討論直線與圓錐曲線相交的情況.

當動直線與圓錐曲線相交時，聯立直線與圓錐曲線的方程，消去y（或x），得到一個關于x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）（*）（方程的系數帶有主參數）. 設交點坐標為A（x，y），B（x，y），則x，x（或y，y）是方程（*）的兩個根.方程（*）體現了交點坐標與主參數之間的依存關系. 理論上可由求根公式分別求x，x（或y，y），但求解過程中常常采用“設而不求”的方法，為什么？因為求根公式是分式和根式的混合式，在運算過程中用求根公式分別求x，x（或y，y）會有很多不便，而且“消參”后如果x+x和x·x在坐標式中整體出現，那么就可以通過韋達定理進行整體替換，沒必要分別求x，x（或y，y），所以常常用“設而不求”的方法. 是不是所有的坐標式都能通過韋達定理進行整體替換呢？當然不是. 例如（x-a）（x-b）（a≠b）這樣的“非對稱式”經配湊后除了有含x+x，x·x的項和常數項外，還有含x（或x）這樣的單獨項，這些單獨項就無法通過韋達定理進行整體替換. 另外，在極少數情況下，坐標化沒有同時用到兩個交點A，B的坐標，而只用了A的坐標或B的坐標（A與B的作用等價），這樣得到的就是一個只有一個點的坐標式. 在這類情況下，用求根公式把這個點的坐標解出來參與運算，也是一個不錯的方法.

特別地，當其中一個點是曲線上的已知點時，另一個點的橫坐標可由韋達定理求出來. 需要注意的是，無論是“設而不求”，用求根公式求，還是用韋達定理求，最終都要使得主參數能體現在相關點的坐標中，這是運算的第一個目標. 另外，在某些問題中，為獲得相關點的坐標與主參數之間的關系，無須聯立方程組，而是運用方程思想，直接把未知的相關點的坐標當作“已知”，用相關點的坐標表示直線的方程，跟主參數一起參與運算，依條件獲得關于坐標的“同構方程”，然后再建立統一方程. 例如2021年全國高考甲卷理科數學第20題，過拋物線上的動點引圓的雙切線，切線和拋物線的交點坐標與主參數之間的關系，就可以用“同構法”獲得——此類問題用“同構法”能簡化運算路徑. 運用“同構法”須識別問題的“對稱性”，這不是直觀上的圖形對稱，而是兩個變元處于“等同”的地位，比如拋物線的“雙切線”問題中的切點坐標，式子=λ，=λ中的λ，λ就有“等同”的地位.

運算的第二個目標是“消參”，即把坐標式統一成只關于橫坐標或縱坐標的式子，與聯立方程組后得到的一元二次方程相呼應. 一般地，若點（x，y）在曲線f（x，y）=0上，則把點（x，y）代入方程f（x，y）=0，得到x與y的一個關系式f（x，y）=0. 這個關系式在運算中起著很重要的作用（常用于“消參”，包括“直線消參”與“曲線消參”）.

總之，解析幾何中的運算通常包括兩個方面，一是聯立方程組獲得相關點的坐標，二是“消參”，使主參數通過相關點的坐標體現在坐標式中，而要解決的“定、恒、最”三大問題分別涉及關于主參數的方程、恒等式、函數，這也是代數運算的最終目標.

具體案例

綜上所述，引入參數、幾何問題坐標化、運算分析構成了解決幾何問題的思維框架，這三個方面互相呼應，形成了一個完整的“代數化”過程.下面以兩道高考試題為例，說明如何運用上述思維框架分析幾何問題，做到未動筆之前，整個行動“藍圖”就已經在頭腦里形成（具體的解題過程不詳細呈現）.

試題1 （2021年新高考全國Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標系xOy中，已知F（-，0），F（，0），點M滿足

MF-

MF=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

分析 （1）x2-=1（x>0）.

（2）本題的首動元素是點T，點T的運動引起圖形變化，引起相關點A，B及P，Q的坐標變化.在運動變化過程中，兩條直線滿足條件TA·TB=TP·TQ，所以直線AB和直線PQ的傾斜角不是“自由”的，是受制約的. 但直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和等于一個定值，與點T的運動無關. 在解題前，先要理解上述過程，再“由形轉數”. 由于結論是關于直線AB斜率和直線PQ斜率的，因此自然引入直線AB的斜率k和直線PQ的斜率k，然后把它們的方程都寫出來.

由于A，B，P，Q是雙曲線右支上的點，因此這四個點的橫坐標都大于，去掉坐標式中的絕對值得（1+k）·

x-

x-

=（1+k）·

x-

x-

，把

x-

x-

展開后，出現x+x和x·x，可通過韋達定理進行整體替換. 由于直線PQ和AB的地位等同，只要把k替換成k，同理可得x+x和x·x.這樣參數t，k，k就在同一個式子中了，而我們的目標是求k+k的值（定值），與t無關，因此預測t可以從等式兩邊排除掉，從而得到一個只有k，k的恒等式.

試題2 （2022年新高考全國Ⅰ卷第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C：-=1（a>1）上，直線l交C于點P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面積.

分析 （1）C：-y2=1，l的斜率為-1.

（2）本題的首動元素是直線l（斜率等于-1的直線系），l的運動引起∠PAQ的變化.給定tan∠PAQ=2，相當于已知∠PAQ，則直線l就能確定下來，關鍵是怎么把已知的∠PAQ坐標化. 角的坐標化主要有兩個途徑：①如果是傾斜角，先求角的正切值，再利用斜率的坐標公式實現坐標化；②一般的角可以利用向量的夾角公式cos〈，〉=實現坐標化.

思路1 把頂角∠PAQ轉化為直線AP，AQ的傾斜角再坐標化.

設直線AP，AQ與x軸相交于B，C兩點，由已知可得△ABC是等腰三角形. 已知頂角，則底角可求. 設底角為α，則tan（π-2α）=2，即-tan2α=2，由二倍角公式可得tanα=，即直線AP的斜率為. 設P（x，y），則=. 注意到點P（x，y）在雙曲線上，則-y=1. 聯立方程組

=，

-y

=1，解得點P的坐標為

，

.

思路2 用向量的夾角公式實現坐標化.

由tan∠PAQ可得cos∠PAQ=.設P（x，y），Q（x，y），則·=（x-2）（x-2）+（y-1）（y-1），利用直線方程y=-x+m消去y得·=（x-2）（x-2）+（-x+m-1）（-x+m-1），展開后會出現x+x和x·x.而

，

的坐標化需要引入直線AP，AQ的斜率（分別為和-），則

=3

x-2

x-2（這里的絕對值無法先去掉），通過韋達定理進行整體替換，化簡后得到m2-6m+9=2m2-8m-6（此時再討論正負號去掉絕對值），解得m=（舍去m=-1和m=3）.

解析幾何的育人價值

學完解析幾何后，學生最終能收獲什么呢？“通過學習知識來學會思考，學會分析和解決問題，培養和提高自己的能力，這就是知識的育人價值”，類似這樣的答案是無法讓人滿意的. 那么，知識學習的終點是什么？解題分析能力究竟由什么構成？這些都是我們應該追問并努力回答的.

康德認為：一切人類認知都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結束. 具體到解析幾何的學習，認知始于一個個具體題目的攻克，但是解再多的題目都不是終點，只有思維能從這些具體的現象中“一躍而出”，提煉出一種有概括性的“抽象真理”［1］，這一“真理”能運用到所有的題目上，并在反復運用的過程中領悟“幾何問題代數化”的精神實質，這才是知識學習的終點.

上文所構建的思維框架就是“抽象真理”的具體體現，它意味著現象、事實的各種聯系，學生應當經歷“由實到虛”的“哲學式”思考，能用思維整體把握事物，而不是局限于具體的題目或題型. 當學生獲得“哲學式”思考能力后，他就能獲得某種認知體驗，這是獨立于具體學科，具有普遍意義的腦力勞動，有助于其他學科的學習.

參考文獻：

［1］ 蘇霍姆林斯基. 給教師的建議［M］.北京：教育科學出版社，1984.