動態生成，讓高中數學課堂煥發光彩

［摘 要］ 數學教育既要遵循科學性，又要凸顯藝術性. 藝術與科學的本質區別在于：科學研究的是客觀規律，而藝術更強調獨特性. 在教育領域，永遠找不到兩個完全一樣的情境，因為課堂會隨著教學活動的推進而不斷變化. 文章從以下幾點對高中數學課堂的動態生成展開闡述：順應學生思維，自然生成；借助典型錯誤，促進生成；探索教學方法，驅動生成.

［關鍵詞］ 動態生成；思維；錯誤

課堂預設是指教師根據教學目標與學生的認知結構而設計的教學方案；課堂生成是指教學活動過程中，因為沒有出現課堂預設的信息或目標，教師結合當時的實際情況靈活調控課堂教學方向，更新教學方法，實現超越原計劃完成教學任務的過程. 預設與生成是課堂教學的重要組成部分. 精心預設能促進課堂的成功，而預設背景下的“生成”更精彩.

順應學生思維，自然生成

數學是思維的體操，不論是課前預習、課堂教學、課后作業，還是應試等，都離不開思維的支撐. 葉瀾教授認為：課堂是向未知方向前進的旅程，意外隨時都有可能發生，正是這些意外促成了課堂美麗的風景［1］. 學生思維的變化是課堂預設無法完全把握的，正是這些變化讓課堂變得更加生動，富有生命力.

縱然教師在課前都會結合學生的實際認知水平與教學內容的特點，做好精心預設，但課堂教學是一個動態過程，學生的思維會隨著課堂教學的推進而發生一些奇妙的變化，靈感與奇思妙想就在這個時候不期而至. 面對這種情況，教師應敏捷地捕捉到學生思維的火花，應用自己的教學經驗與智慧，順應學生的思維迅速作出判斷并調整教學方向，使課堂生成自然發生.

例1 在圖1的平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x+1）2+y2=16，點F（1，0），點E為圓C上的動點，點G為圓C上的另一動點，EF⊥FG，點M為線段EG的中點. 判斷：線段OM的長度是不是定值？如果是，請求出；若不是，請說明.

1. 課堂預設

預設1：結合幾何圖形的性質，分別連接CM，CG，根據圓的幾何性質，不難發現CM2+GM2=CG2=16. 在Rt△FEG中，已知MF是斜邊GE的中線，所以MF與GM相等，由此可知MC2+MF2=16. 假設點M（x，y），則（x0+1）2+y+（x0-1）2+y=16，經整理，得x+y=7，即OM2=x+y=7. 由此確定線段OM的長度是定值.

預設2：設y=kx+b為線段EG所在直線的方程，點E，G的坐標分別為（x，y），（x，y），列方程組（x+1）2+y2=16，

y=kx+b，消去y，得（1+k2）x2+（2+2kb）x+b2=15. 根據EF⊥FG，可知（x-1）（x-1）+yy=0，即（x-1）（x-1）+yy=xx-（x+x）+（kx+b）（kx+b）+1=（k2+1）xx+（kb-1）（x+x）+b2+1=b2-15++b2+1=0. 經化簡，得b2=7k2+6.

因為點M是線段EG的中點，所以x=，y=，所以OM2=x+y=. 把式子b2=6+7k2代入其中進行化簡，可得OM2=7. 由此確定線段OM的長度是定值.

2. 課堂生成

雖然教師在預設環節將兩種解題思路都考慮到了，但在實際教學中，沒有完全按照預設路徑走，學生給出了如下思維過程.

因為點E（x，y），G（x，y）都位于圓C上，同時FG⊥FE，所以列方程組（

x+1）2+y

=16，

（

x+1）2+y

=16，

（

x-1）（

x-1）

+y

y=0，整理該方程組，可得x

+y

=

15-2x，

x

+y

=15-2x，

x

x

+y

y

=x

+x-1.此方程組共有x，y，x，y四個未知數，而解這一方程組無法獲得這些未知數的值，學生的思維在此處出現了障礙. 教師若選擇置之不理，強行將學生的解題思路“掰”到預設的解題方法上去，難免消減學生的學習興趣. 教師若順應學生的思維繼續前行，不僅能柳暗花明，還能凸顯學生思維的價值，增強學生的學習信心.

師：獲得x，y，x，y這四個未知數的值并非我們解題的最終目標，對嗎？我們解題的最終目標是判斷MO是否為定值，因此可以換個角度思考，想辦法避開求這四個未知數的具體值——用這四個未知數來表示MO2，結合上述方程組中的三個等式，可以嘗試通過消除未知數求解問題.

教師話音剛落，就有學生提出了以下方法：MO2=

+

=［（x+y）+（x+y）+2（xx+yy）］=7，由此可確定線段OM的長度是定值.

師：太棒了！這就是解析幾何中常常用到的“設而不求”法，雖然我們無法獲得x，y，x，y這四個未知數的具體值，卻不會妨礙“線段OM的長度是定值”這個結論的生成.

教師用自己的智慧肯定了學生的思維價值，保護了學生的思維路徑，同時又不著痕跡地化解了學生思維受阻的點，成功讓課堂生成自然發生. 在此基礎上，教師進一步與學生一起總結本題的解題方法，以深化學生對“設而不求”法的認識. 因此，這是一個成功的教學案例，具有一定的參考意義.

<D：＼DW＼數學教學通訊（下旬）＼2023年＼2023數學教學通訊中旬（02期）＼aa-2.tif> 借助典型錯誤，促進生成

“過程與方法”教學強調教師要善于捕捉學生的錯誤，并充分利用錯誤的教學價值，幫助學生判斷錯誤的根源，尋求糾錯方法，以揭示知識的本質［2］. 實踐證明，錯誤是課堂動態生成的良好資源，正如心理學家蓋耶所言：“不允許學生犯錯，將會錯過最有成效的教學時刻.”確實，利用好課堂中一些關鍵且隱蔽的錯誤，不僅能有效啟發學生的思維，還能揭示問題的本質，提高教學效率.

例2 若想讓7個人排成一排，且甲、乙、丙三人為互不相鄰的關系，存在多少種排隊情況？

此為典型的排列組合中“相鄰與不相鄰”的問題，解決這一類問題行之有效的方法為“插空法”. 為了激發學生的思維，讓學生明確思考方向，教師對“插空法”先行示范，并適當加以練習，而后再將此題交給學生解決. 大部分學生拿到此題后，根據自身的認知結構，應用“插空法”很快就獲得了答案：存在AA=1440種排隊情況.

當教師認為此題求解結束時，突然有學生舉手提出：用“插空法”獲得的確實是這個結果，但用“排除法”卻得出了不同的結論，具體列式為A-3AA+2AA=2160.

師：你能將想法表達出來，值得表揚. 請給大家解釋一下所列式子的意義.

生1：從“排除法”的角度來看，甲、乙相鄰有AA種情況；乙、丙相鄰有AA種情況；甲、丙相鄰有AA種情況. 利用“捆綁法”可得甲、乙、丙三人相鄰有AA種情況. 3個式子AA都包含有甲、乙、丙三人相鄰的情況，這些情況一共被減了3次，因此需要加上2倍的AA，得到A-3AA+2AA=2160. 但用這種方法來計算，比用“插空法”多了720種情況，這是為什么呢？

這個問題成功吸引住了全體師生的注意力，此情此景，教師若回避這個問題，顯然不是上上之策，于情于理教師都必須解決這位學生的困惑. 因此，教師順勢將此作為一個典型的教學素材加以利用，一方面凸顯了這個問題的價值，另一方面可以從根本上幫助學生解題.

師：學貴有疑，你所提出的問題非常好！在排列組合類的問題中，探尋一個錯誤解法的根源確實不那么容易，現在我們就一起來探討：用“排除法”為什么比“插空法”多了720種情況？

（學生沉默）

師：現在我們一起來分析，當甲、乙兩人相鄰時，丙與他們相鄰存在多少種情況？

生（眾）：AA種. （顯然，錯誤的結果具有先入為主的效應. ）

師：究竟是不是這么多種呢？我們一起來排排看. 現在我們暫時不考慮其他四人，就排一排當甲、乙捆綁在一起時，丙與他們相鄰存在多少種情況. 用“甲乙”代表他們捆綁在一起，不可分開.

在教師的提示下，學生很快就得到下列4種情況：丙“甲乙”、丙“乙甲”、“甲乙”丙、“乙甲”丙.

師：很好，此排列的關鍵在于將“甲乙”捆綁在了一起. 如果將甲、乙、丙三人捆綁在一起排列，那么存在幾種情況呢？

生2：6種，分別為“甲乙丙”“甲丙乙”“乙丙甲”“乙甲丙”“丙乙甲”“丙甲乙”.

師：非常好！通過這個簡單的問題，你們有什么新的發現嗎？

學生頓悟，當“甲乙”確定在一起時，丙無法插入他們的中間. 同理可知，“甲丙”在一起時，乙不能插入他們的中間；“乙丙”在一起時，甲也不能插入他們的中間. 由此可知，在算式3AA中，“甲乙丙”在一起的情況有：“甲乙”丙、“乙甲”丙、“丙乙”甲、“乙丙”甲、丙“乙甲”、“甲丙”乙、“丙甲”乙、丙“甲乙”、甲“乙丙”、乙“甲丙”、乙“丙甲”、甲“丙乙”，共有2個A.

從中可以看出，在算式3AA中，包含的是2個AA，并非3個AA，因此A-3AA僅需加上1個AA，而AA=720，因此多出來的720種情況就顯現出來了！（師生都松了一口氣）

此過程充分顯示了教師教學的靈活性與智慧，列舉法的應用，使得模糊的問題變得一目了然，學生在一個簡單問題的牽引下，順利突破了思維障礙，錯解的根源也水落石出. 在實際教學中，教師把握好學生的錯誤資源，審時度勢地利用這些資源幫助學生追查錯誤根源并糾錯，不僅能充分暴露思維的障礙點，還能拓寬學生的視野，開闊學生的思維，深化學生對知識本質的認識，讓課堂在動態生成中煥發蓬勃生機.

探索教學方法，驅動生成

個體差異性使每一個學生偏好的解題方法不一樣，課堂上豐富多樣的解題方法常能營造出百花齊放的氛圍，讓每一個學生都能發現適合自己的思維方式. 同時，“一己之見”無法滿足學生的思維需求，將各種解題方法匯聚到一起，能讓學生從中辨析各種方法的優劣，從而優化解題思路，提高解題能力［3］. 當然，集思廣益的解題方法，也是對學生思維的回應.

例3 已知直線l的方程為2mx+（1-m2）y-4m-4=0，如果對任意實數m，直線l都與一個定圓呈相切的關系，則該定圓的方程是什么？

生3：假設該定圓的方程是（x-x）2+（y-y）2=r2，圓心（x，y）到直線l的距離為半徑r. 由題意可列等式=r，將該式整理成關于m的方程為（y-r2）m4+4y（2-x）m3+2（2x-y-8x+4y-r2+8）m2+4（xy-4x-2y+8）m+y-8y-r2+16=0. 根據題設條件“對任意實數m，直線l都與所設定圓相切”，可知上式為一個關于實數m的恒等式，且m的各次項系數與常數都是0，由此可得x=2，y=2，r=2. 因此，該定圓的方程是（x-2）2+（y-2）2=4.

生4：取幾個m的特殊值，獲得特殊的幾條直線，只要能求出這些直線的內切圓，而后通過檢驗即可完成求解. 如當m=0時，直線是y=4；當m=1時，直線是x=4；當m=-1時，直線是x=0. 探索發現，與“y=4，x=4，x=0”三條直線相切的圓為（x-2）2+（y-2）2=4. 檢驗可知：從圓心（2，2）到直線l的距離d===2=r，與實數m并沒有關系. 因此，直線l和定圓（x-2）2+（y-2）2=4是相切的關系.

生5：把直線l的方程進行整理，生成關于m的一元二次方程為ym2-2（x-2）m-y+4=0，令判別式為0，可得4（x-2）2-4y（4-y）=0，經整理，得（x-2）2+（y-2）2=4.

分析幾位學生所展示的解題方法后，師生共同認為：第一位學生所展示的解題方法，思維清晰、脈絡清楚，缺點是運算量大，對變形能力與運算能力的要求高；第二位學生的解題方法從幾個特殊情況出發，通過幾條特殊直線獲得定圓方程，并檢驗其是否符合一般情況，這種解題方法的可操作性強且計算量不大，值得推薦；第三位學生的解題方法，從表面上看是一步就獲得了定圓的方程，但該生自己都覺得是歪打正著的方法，并不理解為什么. 但有學生認為，第三種解法必然存在一定的道理，既然能準確獲得定圓的方程，并不一定是巧合，這種解法存在繼續研究的價值. 在該生的提議下，教師帶領學生沿著第三種解法繼續往下探索：

如圖2所示，關于x，y的方程2mx+（1-m2）y-4m-4=0表示無數條直線和一個定圓相切，無數條直線匯聚在一起就組成了定圓的包絡線. 定圓的圓心為（2，2），半徑為2. 若確定一個m，則對應包絡線中的一條.

相反，如果確定一個點（x，y），那么過點（x，y）的包絡線可能有兩條，對應關于m的方程有兩解；也可能只有一條，對應關于m的方程只有一解；還可能沒有，對應關于m的方程無解.

令判別式為0，從本質上來看，就是過點（x，y）的圓的包絡線只有一條，而點（x，y）是包絡線在定圓上的切點. 通過判別式為0而獲得的關于x，y的二元二次方程，即為待求的定圓的方程.

第三種解法的探索對教師的業務水平與專業素養的要求都比較高，該采取怎樣的方式與學生一起探索，需要結合實際情況而定. 若教師有過強的專業素養，選擇直接講解，能為學生答疑解惑；若將一些解法作為課堂研究的素材，師生通力合作，能促進課堂動態生成，不乏為上上之策.

總之，動態生成是教學所需，也是課堂常態. 教師應不斷地提升自身的業務水平與綜合素養，靈活應對課堂中的各種意外事件，充分利用各種臨時形成的素材與資源，通過一定的教學手段改進方法，讓每一節課都在動態生成中煥發光彩.

參考文獻：

［1］ 葉瀾.讓課堂煥發出生命活力——論中小學教學改革的深化［J］. 教育研究，1997（09）：3-8.

［2］ 池長環. 新課程理念下數學“生成性”備課研究［J］. 教育教學論壇，2012（24）：32-33+117.

［3］ 喻平，董林偉，魏玉華. 數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通［J］. 數學教育學報，2015，24（01）：26-28.