光學性質剖析，實例探究思考

［摘 要］ 眾多圓錐曲線含有光學性質，探究特性、總結規律、生成結論，有助于分析推理圓錐曲線問題. 文章以拋物線為例，探究總結其光學性質并證明歸納，結合實例應用探究，提出教學建議.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；光學性質；拋物線；平行；等角

眾多圓錐曲線含有光學性質，常見的有拋物線、雙曲線、橢圓和圓，其光學性質可廣泛應用于問題條件的推導，可降低思維難度. 下面以拋物線的光學性質為例，分三個環節進行探究：環節1，引例探究，挖掘特性；環節2，特性探究，證明分析；環節3，應用探究，實例剖析.

引例探究

以拋物線為例，其具有以下光學性質：從焦點發出的光線經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸. 該特性在實際生產中的應用非常廣泛.

問題 如圖1所示，從拋物線y2=2px（p>0）的焦點F發出的兩條光線a，b分別經拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線a，b與x軸的夾角均為60°，且兩條反射光線a′和b′之間的距離為，則p的值為______.

解析 拋物線y2=2px（p>0）的焦點F

，0

. 由于∠OFA=60°，所以直線AF的方程為y-0=-

x-

，即y=-

x-

. 聯立直線AF與拋物線的方程，有

y=-

x-

，

y2=2px，整理得3

x-

=2px，解得x=或x=，可得A

，

.

同理直線BF的方程為y-0=·

x-

，即y=

x-

. 聯立直線BF與拋物線的方程，有

y=

x-

，

y2=2px，可得B

，p

.

所以

y

-y=p=，解得p=2.

評析 上述問題的圖象涉及拋物線的光學性質，解析時可采用聯立方程求點的方法，確定關鍵點的坐標，進而推導出特征參數p的值.

光學性質探究

上述引例圍繞拋物線的光學性質構建，下面具體探究其光學性質，并從幾何、代數兩大視角出發加以證明.

1. 光學性質的描述

光學性質：從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線上一點反射后，反射光線與拋物線的對稱軸平行，如圖2所示. 反之，平行于拋物線的對稱軸的光線照射到拋物線上，經反射后都通過拋物線的焦點.

2. 光學性質的證明

（1）幾何證明（以y軸為對稱軸的拋物線為例）

根據拋物線的光學性質可知，其中涉及光線的反射知識，顯然入射角等于反射角，存在幾何等角關系.

已知：如圖3所示，拋物線C：x2=2py（p>0），焦點F

0，

，j是過拋物線上一點D（x，y）的切線，A，B是直線j上的兩點（不同于點D），直線DC平行于y軸. 求證：∠FDA=∠CDB（入射角等于反射角）.

[x][y][m][D′][F] [D][C][B][A][圖3][j][O]

證明 作拋物線的準線m：y=-，延長CD交m于點D′

x，-

，則DF=DD′. 由于C：x2=2py（p>0），可得C：y=. 下面討論x取值下的情況：

①當x≠0時，直線j的斜率k=，直線FD′的斜率k==-，兩條直線的斜率之積為-1，所以直線j垂直平分線段FD′，則∠FDA=∠D′DA=∠CDB.

②當x=0時，點D（0，0），此時直線j為x軸，結論顯然成立.

綜上所述，結論成立.

（2）代數證明（以x軸為對稱軸的拋物線為例）

根據拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發出的光線照射到拋物線上，經反射后的光線平行于x軸，即斜率為0.

已知：如圖4所示，拋物線C：y2=2px（p>0），F是拋物線的焦點，從拋物線的焦點發出的光線照射到拋物線上的點M處. 求證：經反射后的光線平行于x軸.

證明 設M

，y

，過點M的拋物線的切線為l：x=t（y-y）+，入射光線FM的反射光線為MN. 由y2=2px，

x=t（

y-y）+

得y2-2pty+2pty-y=0，故Δ=4p2t2-8pty+4y=0，得t=，所以切線l的斜率k=.

設直線l與直線FM的夾角為α，直線MN與直線l的夾角為β，則由tanα=tanβ可得=，所以=，解得k=0，即經反射后的光線平行于x軸.

綜合應用

拋物線的光學性質是高中數學的特殊內容，在實際考查時有多種形式，常從知識綜合角度命題，下面結合實例探究其綜合應用.

1. 給定平行距離，探求方程

例1 光學是當今科技的前沿和最活躍的領域之一，拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出. 今有拋物線C：x2=2py（p>0），一平行于y軸的光線從上方射向拋物線上的點P處，經拋物線兩次反射后，又沿平行于y軸方向射出. 已知兩平行光線間的最小距離為8.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線l：y=x+m與拋物線C相交于A，B兩點，以點A為頂點作△ABN，使△ABN的外接圓圓心T的坐標為

3，

，求弦AB的長.

思路分析 本題以拋物線的光學性質為背景，構建直線、三角形，開展綜合探究. 可通過把握其光學性質，結合圓錐曲線的相關知識進行轉化，構建思路.

（1）由題意設直線PQ的方程為y=kx+（k∈R），然后聯立直線PQ與拋物線C的方程并整理為二次方程，后續運用韋達定理得x+x=2pk，xx= -p2. 又兩平行光線間的距離d=

x

-x=≥2p，所以2p=8，進而求得拋物線C的方程.

（2）設A（x，y），B（x，y），A，B兩點的中點M（x，y），聯立直線AB與拋物線C的方程，把握其中的垂直關系（MT⊥AB），將其轉化為斜率之積等于-1的條件，從而構建方程，利用弦長公式求得結果.

過程解析 （1）設P（x，y），Q（x，y），拋物線的焦點坐標F

0，

. 設直線PQ的方程為y=kx+（k∈R），聯立直線PQ與拋物線C的方程，有x2=2py，

y=kx+，整理得x2-2pkx-p2=0. 由韋達定理得x+x=2pk，xx=-p2，則兩平行光線間的距離d=

x

-x=≥2p，所以2p=8，得拋物線C的方程為x2=8y.

（2）設A（x，y），B（x，y），A，B兩點的中點M（x，y）. 聯立AB與拋物線C的方程，有x2=8y，

y=x+m，整理得x2-8x-8m=0，則其判別式Δ>0?m>-2. 由中點坐標公式可得x==4，y=4+m. 因為MT⊥AB，故k·k=-1，即·1=-1，解得m=. 所以，x2-8x-9=0?x=-1，x=9.由弦長公式可得AB=

x

-x=10.

評析 上述問題以拋物線的光學性質為背景，給定入射光線與出射光線之間的距離，求解拋物線的方程. 問題涉及聯立方程法、直線與拋物線的位置關系，以及韋達定理等知識.

2. 綜合光學性質，探求弦長

例2 圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質，這些性質均與它們的焦點有關. 例如，從橢圓的一個焦點發出的光線照射到橢圓上，經反射后的光線通過橢圓的另一個焦點；從拋物線的焦點發出的光線照射到拋物線上，經反射后的光線平行于拋物線的對稱軸. 某市進行科技展覽，其中一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質，此展品的一個截面由一條拋物線C和一個“開了小孔”的橢圓C構成（小孔在橢圓的左上方）. 如圖6所示，橢圓與拋物線均關于x軸對稱，且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點，F，F為橢圓C的焦點，同時F也為拋物線C的焦點，橢圓的短軸長為2，在F處放置一個光源，其中一條光線經過橢圓兩次反射后再次回到F，經過的路程為8. 由F發出的某些光線經橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射后不會被橢圓擋住.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若由F發出的一條光線經橢圓C上的點P反射后穿過小孔，再經拋物線C上的點Q反射后剛好與橢圓相切，求此時的線段QF的長；

（3）在（2）的條件下，求線段PQ的長.

思路分析 本題同樣以拋物線的光學性質為背景構建模型，融合了拋物線、橢圓、直線等圖形. 本題共三問，分別設有條件，各問既相互獨立，又存在一定的聯系.

（1）該問求拋物線C的方程，需求出其焦點的坐標.

（2）該問設定光線在拋物線與橢圓中的反射形式，探究線段QF的長，可結合拋物線的光學性質推導條件. 設點Q的坐標，先代入拋物線C的方程求出其坐標，然后結合兩點間的距離公式求解.

（3）該問是在第（2）問條件下的進一步分析，求線段PQ的長可分三步：第一，先求出直線QF的斜率，進而求出tan∠QFF=-4；第二，結合∠QFF+∠PFF=π推得tan∠PFF=4，再求出cos∠PFF=；第三，結合余弦定理求出線段PQ的長.

過程解析 （1）設橢圓C的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，由題意可知2b=2，4a=8，得b=，a=2，則c==1. 所以，拋物線C的焦點為F（1，0），可得拋物線C的方程為y2=4x.

（2）因為光線經過拋物線的焦點，根據拋物線的光學性質可知，光線經拋物線反射后平行于x軸，所以點Q的縱坐標為，故設Q（x，），代入拋物線C的方程得x=，即Q

，

. 又F（1，0），所以

QF==.

（3）由第（2）問可知，QF所在直線的斜率為k=-4，即tan∠QFF= -4.結合∠QFF+∠PFF=π得tan∠PFF=4，∠PFF∈（0，π），所以cos∠PFF=.

設

PF=x，則

PF=4-x，已知

F

F=2. 在△PFF中，由余弦定理可得

PF2=

PF2+

F

F2-2

PF·

F

F·cos∠PFF. 所以，（4-x）2=x2+4-2x·2·，求得x=. 所以，線段PQ的長為+=.

評析 上述問題涉及拋物線的“光線平行”的性質，以及橢圓的“光線過焦點”的性質. 需要利用性質推理幾何條件，簡化解題過程. 對于其中求弦長或線段長的問題，可結合弦長公式、解三角形等通過轉化求解.

教學思考

上述探究的是拋物線的光學性質在相應問題中的綜合應用，是對新課標中關于“發展學生的數學應用意識”要求的貫徹. 在教學探究中，要立足模型，總結結論，結合實例應用分析. 下面提出幾點教學建議.

建議1 注重模型解讀，強調推理證明.

教學中探究拋物線的光學性質，建議關注兩點：一是注重模型解讀，即結合具體的模型來闡述光學性質，讓學生充分理解特性內容；二是強調推理證明，對于拋物線的光學性質，要從幾何與代數兩大視角開展過程分析、推理證明，讓學生深刻理解其定理結論.

建議2 注重性質應用，強化思路構建.

利用拋物線的光學性質，可直接推理入射光線與出射光線的平行關系，從而確定直線斜率與角度之間的關系. 解題時合理利用拋物線的光學性質可直接推理條件，簡化解析過程. 因此，建議教學中注意拋物線的光學性質的應用講解，引導學生歸納總結構建思路，掌握和運用解題策略.

建議3 實例分析探討，適度拓展特性.

在拋物線的光學性質的教學探究中，要注意結合實例分析探討，并適度拓展特性，從而提升學生的解題能力. 教學可分三個階段：階段1，引例剖析，設計常規問題，讓學生初步感知光學性質；階段2，綜合探究，設計綜合性問題，讓學生強化應用光學性質；階段3，拓展探究，設計拓展性問題（由于眾多圓錐曲線具有光學性質，因此可構建復合模型引導學生拓展探究）.