促進深度理解的數學跨學科主題學習設計路向

摘要 數學跨學科主題學習需要在真實情境中，圍繞數學/跨學科概念展開持續的學習實踐。數學跨學科主題學習的設計需要關注真實情境、數學概念和跨學科整合三個基本要素，從深度理解的角度去預期學習結果、確定評估證據、合理規劃學習過程，實現用高階帶動低階的學習實踐設計，促使學生在持續質疑和反思中達成對數學學科本質的深度理解。

關? 鍵? 詞 小學數學；數學概念；真實情境；跨學科主題學習

引用格式 莊治新.促進深度理解的數學跨學科主題學習設計路向[J].教學與管理，2024（20）：38-41+50.

布魯姆認為，理解是通過有效應用、分析、綜合、評價，來明智、恰當地整理事實和技巧的能力。深度理解則是一種深層次的思考，即解釋、思辨、推理、驗證、應用等更有難度、更加復雜和更具綜合性的學習結果，是學生靈活地運用所知進行思考和行動的能力[1]。夏雪梅指出，從核心知識的提出到挑戰性問題的解決，以及最后成果和評價的指向，都需要圍繞對學科概念的深度理解展開[2]。數學跨學科主題學習作為培養學生數學核心素養的重要學習方式，必定要基于數學/跨學科概念，圍繞真實情境中的挑戰性問題展開探究實踐，最終指向對數學學科本質的深度理解。因此，數學跨學科主題學習可以圍繞基本特征和設計要素展開設計，通過解決真實情境中的數學學科問題，促進學生對數學/跨學科概念的深度理解：既指向內容層面的理解，即知道數學知識是什么；又包括結構層面的理解，即能形成對數學概念的結構化認知；還包括實踐層面的理解，即能靈活應用和創新。

一、促進深度理解的數學跨學科主題學習的基本特征

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在主題活動中，學生要面對現實的背景，從數學的角度發現并提出問題，綜合運用數學和其他學科的知識與方法，分析并解決問題[3]。這里強調了三個維度：一是現實的背景，即主題要源自于真實情境，具有現實意義和價值；二是數學的角度，即要從數學學科本質的角度去審視問題，堅持數學學科本體；三是綜合運用，即要重視數學知識與其他學科知識的結構化整合，強調跨學科融通。由此可見，數學跨學科主題學習至少具備以下三個基本特性：一是問題的真實性。戴維·珀金斯認為，信息時代的教育是圍繞“真實生活和現實世界中的問題和機遇”展開的[4]。數學跨學科主題學習中學生需要面對現實的背景，這就強調了問題情境必須具有真實性，即指向主題場景、實施主體和學習實踐的真實性。學生在探究真實性問題的過程中，感悟數學與社會生活之間的聯系，進一步提高解決實際問題的能力，形成和發展核心素養。二是數學學科性。跨學科主題學習并不脫離學科本身，學習仍注重對學科知識的汲取和對學科的理解，并在理解基礎上延伸與拓展[5]。數學跨學科主題學習要解決的是從數學的角度發現問題，因此要從數學學科的視角去提出問題和分析問題、凝練數學概念和方法，在綜合運用數學知識解決問題的過程中，學習數學知識并產生概念性理解，在數學知識遷移與應用中，積累數學活動經驗、感悟數學思想方法。三是跨學科整合性。深層次的跨學科學習表現為多個學科知識的融合、應用和分析，創造性地解決問題[6]。數學跨學科主題學習強調綜合運用數學和其他學科知識解決問題，這就需要將數學和其他學科概念進行結構化整合，從整體的、聯系的、發展的視角去審視問題，既能強化對數學概念的本質理解，又能建立起有意義的跨學科知識結構，形成科學的思維習慣。

二、促進深度理解的數學跨學科主題學習的設計要素

數學跨學科主題學習要設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題[7]。因此，在設計時教師需要引導學生綜合運用數學學科及其他學科知識去解決真實的、高階的數學問題，圍繞數學核心素養進行跨學科主題學習活動設計，使學生在問題解決中進行深層次的學習，促進數學概念的深度理解、數學/跨學科核心素養的發展和形成。結合數學跨學科主題學習的內涵和特征，在設計時需要關注三個基本要素：真實情境、數學概念和跨學科整合。這三者緊密聯系且內在統一，依托挑戰性的學習實踐、結構化的學習內容，達成可遷移的概念理解。

1.真實情境：具有挑戰性的學習實踐

鐘啟泉教授認為真實性是核心素養的精髓。真實情境中的挑戰性問題不僅是連接學生與現實世界的橋梁，還是激發學生學習動機最直接、最有效的方法[8]。數學跨學科主題學習所設計的任務情境要盡可能地接近真實世界中的場景和呈現真正的困難，在高階學習中滲透低階學習，以促進高階思維能力的形成。學生在解決真實情境的挑戰性問題中，經歷以創新為核心特征的專家思維，并不斷形成在具體與抽象之間相互交錯的高通路學習遷移能力。如在“校園路線設計”主題學習中，如何繪制校園平面圖是一個真實的挑戰性問題，學生要觀察、測量校園中各類建筑，抽象出校園平面圖的結構布局，再結合平面圖形繪圖的特征解決問題。在這個過程中的學習實踐是豐富的、復雜的，而學生在有意義的遷移中形成對平面結構圖的深度理解。

2.數學概念：引發可遷移的深度理解

托馬斯認為，高質量的學習要聚焦于學科中的核心概念、原則等關鍵問題[9]。學生在深入主題研究、解決真實問題的同時，要實現對概念性知識的深度理解，即不僅要知道某個知識點，還要能解釋這個知識的意義，更重要的是能建立起概念性知識之間的關聯，從而實現知識的再建構。如在“校園路線設計”主題學習中（配合六年級“比例”及“確定位置”單元），學生不僅要掌握“比例”“確定位置”的相關知識點，還要溝通知識點之間的聯系，形成對圖形的放大與縮小、比例尺等知識的結構化認知。他們繪制的校園平面圖不僅要呈現出對物體放大與縮小的概念理解，還要呈現對比例尺的實踐性理解。在整個跨學科主題學習的過程中，學生要實現對“實物—平面”之間聯系的理解，并能在具體的學習活動中實現遷移。

3.跨學科整合：形成結構化的認知體系

大概念教學追求認知的結構化，使之成為一種反映專家思維的自然知識，在新的情境中可以被激活和運用[10]。學生在參與數學跨學科主題學習中不僅要建構起數學學科內的知識體系，還要打通與其他學科、學校生活、現實世界等的關聯，從整體的、聯系的、多元的視角審視并解決問題，在不斷形成跨學科結構化認知的同時發展核心素養。如在“校園路線設計”主題學習中，就搭建了“圖形的放大與縮小”“比例的基本性質”“解比例”等數學概念框架，統整美術構圖、科學測量等多學科知識，鏈接校園實況勘察、合理評估等現實經驗，將數學與其他學科，以及現實生活進行有機統整，形成解決真實問題的完整認知體系。

三、促進深度理解的數學跨學科主題學習的設計邏輯

學習的發生經歷了三個階段：表層、深層和轉化[11]。良好的設計需要考量學習三階段，即不僅僅是為了使學生獲得一些新的技術技能，而且要以目標及其潛在含義為導向，產生更全面、更具體的學習。高質量的數學跨學科主題學習，既要學生掌握基本的知識與技能，還要促進他們對數學概念的深度理解，更要在有效遷移中實現數學素養和跨學科素養的提升。筆者結合蘇教版《數學》六年級下冊“比例”及“確定位置”單元，將美術、科學、語文等相關內容進行統整，以“校園路線設計”為跨學科主題，提出真實情境中的挑戰性問題“學校每學期都要接待幼兒園小朋友來學校參觀，為了在‘溪水流坊幼小銜接活動中讓幼兒園小朋友更好地了解學校，請同學們像一名真正的建筑繪圖師那樣繪制出精準的校園平面圖，并以小導游的身份設計好路線進行校園文化介紹”，圍繞學習三階段，借助威金斯的逆向設計理念，從深度理解的角度進行數學跨學科主題學習設計。

1.關注結果：形成對數學/跨學科概念的深度理解

預測學生在跨學科主題學習結束之后應該知道什么，能夠做什么，哪些內容需要深入持久的理解，這些在整個逆向教學設計過程中起著至關重要的導向作用[12]。學生不僅僅是參與活動或學習知識，更重要的是在參與活動、不斷地學習有意義并且有用知識的過程中獲得新的視角和能力。數學跨學科主題學習需要圍繞學習三階段制定目標：既包括數學基本知識與技能的掌握，也包括對數學概念的意義理解，更重要的是通過學習引發對概念的有效遷移。校園平面圖的繪制是讓學生經歷從生活實際中抽象出平面圖形的過程，不僅要學會用數學的眼光去觀察世界，還要像專業的建筑繪圖師那樣去分解與組合、測量與估算，形成對現實世界空間觀念的整體感知，這既是對數學概念的深度理解，更指向跨學科素養的形成。因此“校園路線設計”主題學習的目標確定如下。

表層階段，主要是掌握基本的知識和技能。知識目標為：圖形的放大與縮小，比例的意義和基本性質、解比例，比例尺，用方向和距離確定位置，繪圖的各項注意點（美術）；技能目標為：會測量物體的實際距離，會利用比例尺確定圖上距離，會利用方向和距離確定方位，會美化平面圖（美術），會有序介紹各類景點（語文）。深層階段，主要是理解概念之間的聯系和意義。學生需要深入持久地理解：數據的收集與整理要根據具體的需要確定，數據的變化會影響平面圖的整體結構，好的數學方案與現實問題的解決方案之間可能會有誤差。相應的基本問題包括：如何從平面圖的角度去觀察、理解并準確地刻畫現實事件，如何像建筑繪圖師那樣用圖形的結構來描述周圍的物體。轉化階段，主要指向學習的遷移，即能在新情境中靈活應用大概念：數據的變化引發平面圖的變化。

學生通過學習獲得一個可遷移和應用的觀點：每個數據的變化都會引發平面圖形的變化，而數據的變化中又蘊含著形狀的不變。學生在觀測中形成對校園平面圖的整體認知，這個過程也是發展數感、建立模型意識、豐富空間意識的過程，也同樣適用于其他平面圖。學習目標的確立可以提前預估學習結果，通過對基本問題的持續追問，促進學生深入持久地理解概念，從而引發對大概念的靈活遷移。

2.基于證據：重視真實情境中的理性表達

在跨學科主題學習中需要提前考慮：什么樣的證據可以證明學生已經達到了預期的學習目標？如何證明學生已經獲得了真正的理解？評估最為重要的并不是評估的方式，而是要發現什么樣的證據可以證明學生已經真正理解并可以應用學習內容，以及什么樣的證據可以顯示學生還沒有獲得理解[13]。在“校園路線設計”跨學科主題學習中，學生至少需要從兩個維度來證明他們獲得了真正的理解：一是釋義，能用自己的話說明他們對繪制平面圖的理解；二是遷移，能將對平面圖繪制的理解應用到新的情境中。

真實情境任務是評估學生是否理解目標的重要方式，在“校園路線設計”評估中，設計兩大評估任務：一是真實情境任務，具體包括：組織一次“確定比例尺”的方案交流；作為一名建筑繪圖師，請你講述校園平面圖的設計、繪制經歷；作為一名景點講解員，請你有條理地向幼兒園的小朋友們介紹美麗的校園。二是其他評估，具體包括：前測（學生已經具備了哪些知識和技能），校園平面草圖、精修圖，校園路線設計方案。

學生通過在真實情境任務中的表現，能相對清晰地反應出對數學/跨學科概念的理解：在如何確定比例尺的方案交流中，學生能否圍繞“比例的基本性質”，通過計算、調整來確定合適的比例尺；在講述繪制經歷時，學生能否從圖形的位置、數據的變化、比例的意義以及美術的構圖等方面講述觀點；在最終的作品展中，能否呈現對立體建筑與平面圖形、空間結構與平面構圖的個性化理解。真實的表現性任務指向學生思維的可視化發展，任務完成的過程就是對大概念深入理解的過程，任務的完成程度直觀反映學生對大概念的理解程度。

3.規劃過程：強調學習實踐中的持續探究

設計學習規劃要以實現意義理解和學習遷移的目標為根據。在學習規劃時，要考慮每個活動的設計能否激發學生的探究興趣并促進學生對概念的理解；每項活動需要提供怎樣的學習策略以幫助學生深入項目探究過程；教師什么時候介入并進行相關事實性知識的指導等。以下是“校園路線設計”主題的學習流程設計，包括對真實情境中不良結構問題的討論、對基本問題持續的質疑和反思，學生在參與多項學習實踐、多輪辯論分析中積累數學活動經驗、增強空間觀念，形成對大概念的理解和遷移，并在與同伴的實踐探究中促進跨學科素養的形成。

（1）剖析主題，在問題梳理中形成結構認知。數學跨學科主題學習中的問題是基于真實情境的劣構問題，具有挑戰性。這就意味著學生面對的是開放的、非常規性的問題，在學習推進中，首先要通過頭腦風暴，梳理出相關的學習實踐路徑（如圖1），學生在頭腦中初步形成完整的認知網絡：“校園路線設計”中涉及校園的測量、方位的確定、圖紙與校園大小關系的確定等圍繞數學概念展開的任務，還涉及構圖、著色等美術知識，以及景點描寫等語文知識的跨學科任務。通過對主題的剖析，可以建立跨學科的聯系，幫助學生在真實的問題情境中形成跨學科的結構認識，更加客觀、全面、多元地去審視、分析問題。

（2）任務推進，在持續探究中深度理解概念。數學跨學科主題可分解成多個任務、有層次地推進，而每個子任務都要圍繞對數學概念的深度理解展開，學生要真實地參與基于證據的學習。“校園路線設計”主題學習分解為三個任務。任務一，繪制草圖。主要學習實踐：觀察校園，了解校園及各建筑的實際大小（親自測量或調查詢問），繪制校園平面草圖。涉及的相關知識：用方向和距離確定位置，測量（科學）。任務二，精致化平面圖。主要學習實踐：測量圖紙的大小，商定合適的比例尺并進行方案可行性討論，了解平面圖的繪制要求，繪制精準的平面圖。涉及的相關知識：圖像的放大與縮小，比例的意義和基本性質、解比例，比例尺的意義和應用，構圖的要素（美術）。任務三，路線介紹。主要學習實踐：設計參觀路線，現場講解。涉及的相關知識：用方向和距離描述簡單的行走路線，描述景點要素（語文）。

每一項任務都需要指向對數學概念的深度理解。以任務二中“商定合適的比例尺”為例，學生需要通過校園實際長度與圖紙長度之間的關系，結合“長與寬的比”或“長的比與寬的比”確定比例尺，學生將圍繞“如何判定比例尺是合適的”“你們如何調整比例尺的大小”等問題展開方案的可行性討論，從而促進每一位同伴在不斷的思考中形成對核心概念的深度理解。

（3）定制支架，在評價調控中提升學習技能。學習技能是一系列的能力，使學生能夠獲得、組織、綜合和使用信息，可轉化并在新的情境下應用，包括認知學習技能、元認知學習技能和情感學習技能[14]。定制適切的學習支架可以有效提升相應的學習技能，在數學跨學科主題學習深入推進中具有不可或缺的重要價值。在“校園路線設計”中至少需要定制四類學習支架：KWL圖表，幫助學生思考與校園路線相關的數學概念及跨學科概念；問題梳理單，幫助學生梳理并記錄路線探究中出現的問題及主要的解決方案；小組分工單，幫助學生在小組學習中明確分工及責任，確保每一位同伴都能真實參與到問題解決的有效探究中；評價量規（包括學習過程和學習結果兩類評價），既是為學習的推進收集證據，也是對階段性的學習成果進行總結，更是為了讓學生在評價中學會學習，既關注學科素養的落地，又體現跨學科素養的形成。每一類學習支架都指向相應學習技能的提升，學生在對真實問題的深入探究中，理解數學概念，形成對數學和其他學科的結構化認知。

數學跨學科主題學習的設計是否能達到預期的學習結果，需要圍繞學習目標進行追問：能幫助學生習得預期的知識和技能嗎？能幫助學生建構起基本的意義理解嗎？能將所學遷移到新的情境中嗎？筆者認為，學生在“校園路線設計”主題學習中，經歷了學習三階段的完整過程：掌握了關于比例、確定位置的基本知識和技能，能從平面圖如何形成的視角來描述，

同時會從數據的變化中體會圖形的變化，感悟“不同比例尺的變化引發平面圖的變化，而每幅平面圖的形狀都是不變的”這樣的辯證關系，他們會像一個真正的建筑設計師、景點講解員那樣，用數學的眼光觀察身邊的物體空間，并在主動的抽象中了解物體的空間架構。

數學跨學科主題學習具有的真實性問題的設計、對數學概念的追求、持續探究的過程性、指向跨學科知識結構化等重要特征，使學生的學習在逐步向一個真實的學科專家、優秀的手工藝者在面對真實而復雜問題時的實踐靠攏。他們參與主題學習的過程，就是已知與未知的對話，是在新情境中解決問題、創造新的意義，體現了對數學/跨學科概念的深度理解、對關鍵能力的掌握，更體現了與素養一致的價值取向。

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[責任編輯：陳國慶]