基于最小二乘原理及間接平差的變形監測控制網數據處理分析

摘 要：在某幾何模型中，總的觀測量為，必要觀測量，選擇t個必要觀測量為參數，將每一個觀測值表示成所選參數的函數，列立n個誤差方程，這種以誤差方程為函數模型的平差方法，稱為間接平差法。在變形監測控制網數據處理中，通?？梢圆捎没谧钚《嗽淼拈g接平差法對網中的觀測數據進行平差和點位精度分析，求出最弱點中誤差、最弱邊中誤差、繪制誤差橢圓。其中處理的關鍵是誤差方程式的列立、非線性條件方程式線性化、誤差方程式的求解及未知點精度評定。本文以在益陽市資江三橋布設的橋梁控制網為例，推導了全部的橋梁控制網解算過程，并得出了結論。

關鍵詞：間接平差；法方程；最小二乘原理；線性方程組

Analysis of Data Processing for Deformation Monitoring Control Network Based on Least Squares Principle and Indirect Adjustment

Cao Yuanzhi1 Nie Zhiping1 Peng Zhihong1 Peng Zheng2

1.Hunan City University Institute of Municipal and Mapping Engineering Hunan Yiyang 413000 ；

2. Hunan Tunnel Engineering Corporation Hunan Yiyang 413000

Abstract： I In a certain geometric model， the total observation quantity is， necessary observations， and t necessary observations are selected as parameters. Each observation value is represented as a function of the selected parameter， and n error equations are listed. This adjustment method using the error equation as the function model is called indirect adjustment method. In the data processing of deformation monitoring and control networks， the indirect adjustment method based on the least squares principle can usually be used to adjust and analyze the point accuracy of the observed data in the network， calculate the mean square error of the weakest point， the mean square error of the weakest edge， and draw the error ellipse. The key to processing is the formulation of error equations， linearization of nonlinear conditional equations， solution of error equations， and accuracy evaluation of unknown points. This article takes the bridge control network deployed at Zijiang Third Bridge in Yiyang City as an example to derive the entire calculation process of the bridge control network and draw conclusions.

Keywords： Indirect adjustment;normal equation;Least squares principle;System of linear equations

在現代橋梁控制網布設中，通常布設成GPS網或邊角網[1]。布設為GPS網的優點是不受地形和通視條件的限制，布設為邊角網的優點是既觀測角度又觀測距離，精度相對較高[2]。本課題結合邊角網的布設優點對益陽市資江三橋進行控制測量。2021年以來，益陽市資江三橋由于車流量較大，投入使用時間較長，在運營過程中出現了橋墩傾斜下沉、橋面平整度發生變化的情況。為了了解資江三橋的真實變形速率及沉降規律，筆者布置了一測角測距的邊角控制網。所用儀器為徠卡TC702型全站儀，測角中誤差為±2″，測距精度為1mm+2ppm×D（公里）。如下圖所示，A，B，C是已知點，P1，P2為待定點，網中觀測了12個角度，2條邊長（在條件平差中，不用觀測邊長；在間接平差中，用16，17作為觀測邊長）。，觀測4個測回?？刂凭W草圖如下：

控制網略圖

已知點的坐標數據如表1：

外業觀測得到的數據如表2：

1間接平差解算

1.1間接方程的列立

n=14，t=4，r=10，u=4；可知要列立14個誤差方程（已線性化）：

1.2間接平差的求解

代入已知點數據，經過計算得到間接平差誤差方程系數陣（如表3）：

間接平差中角度是等精度觀測，測角中誤差為2"，其中有12個角度觀測值和2個邊長觀測值，則權陣為：

其中， ，以1Km觀測為單位權觀測值

常數項系數陣為：

根據得到間接平差的法方程系數陣（如表4）：

根據得到：

，所以得到坐標改正數：

代入誤差方程，得到改正數V（如表5）：

從而根據得到平差結果（如表6）：

根據，得到未知點P1，P2的坐標（如表7）：

1.3間接平差精度評定

1.3.1單位權中誤差

根據以上數據，可以得出：

1.3.2參數向量的協因數陣（如表8）

1.3.3觀測值中誤差列表（如表9）

1.3.4待定點點位中誤差（如表10）

由可得未知數的權倒數：

P1，P2點的點位中誤差：

根據點位誤差橢圓公式，可以得0c234ba2cfcad44b2b2cbd485eaff17f到P1，P2點的誤差橢圓參數：

2條件平差與間接平差的比較分析

條件平差和間接平差都是具有無窮多組解的相容方程組。條件平差與間接平差都是在最小二乘準則的約束下求得最優解。對于同一平差問題，無論采用何種平差方法，所得到的平差結果和精度（包括點位中誤差，點位誤差橢圓）都是相同的。條件平差與間接平差是整個測量平差的基礎，其他諸多平差方法都是在這兩種平差方法的基礎上發展起來的。

結語

條件平差和間接平差是整個測量平差的基礎，其他諸如附有參數的條件平差和附有限制條件的間接平差都是在這兩種平差方法的基礎上發展起來的。在處理一般平差問題中，條件平差和間接平差可以比附有參加的條件平差和附有限制條件的間接平差更簡易、直接的求出觀測量的平差值。條件平差和間接平差所計算出的數據順序是相反的，也就是說條件平差是先求出觀測值的平差值，再通過公式求坐標值，而間接平差是直接求出坐標的參數值，再通過公式求出觀測值的平差值。所以在工程實例中，間接平差比條件平差更直接，更具有優勢，更容易被采用。

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基金項目：湖南省自然科學基金聯合基金項目（2022JJ50261）

作者簡介：曹元志（1977— ）男， 漢族，河南信陽人， 碩士，副教授，注冊測繪師，主要從事工程測量及數據處理的教學和科研。