自動批改微積分計算題的一種解決方法

摘要：本文主要討論如何利用機器自動批改微積分作業。使用若干個特殊符號來拆分以LaTeX語言格式編寫的微積分計算題答案，并通過手機軟件以拼湊的方式完成做題過程。同時，將利用拆分時形成的信息和標準答案中各項之間的依賴關系數據來判斷答案的正確性，從而實現自動批改的目的。

關鍵詞：數學公式；拆分LaTeX公式；拼湊答案；自動批改

ASolutionforAutomatedGradingofCalculusComputationalProblems

IslamTursunAblimitZikiria

SchoolofMathematicsandScience，XinjiangAgriculturalUniversityXinjiangUrumqi830052

Abstract：Thispaperdiscusseshowtousemachinestoautomaticallycorrectcalculushomework.AnumberofspecialsymbolsareusedtosplittheanswerstocalculuscalculationquestionswritteninLaTeXlanguageformat，andtheprocessofdoingthequestionsiscompletedinapatchworkmannerthroughcellphonesoftware.Atthesametime，wewillusetheinformationformedduringthesplittingandthedependencydatabetweentheitemsinthestandardanswertodeterminethecorrectnessoftheanswer，thusrealizingthepurposeofautomaticcorrection.

Keywords：mathformulas;splitLaTeXformulas;piecingtogetheranswers;automatedcorrections

1概述

目前，隨著計算技術的發展，出現了各種自動批改作業的軟件。這些軟件能夠自動批改各類課程的客觀題和一部分主觀題。然而，由于大部分微積分課程的計算題和填空題答案涉及到數學公式，用機器批改微積分課程的填空題和計算題帶來很大的困難。

目前大學教學以合班形式進行，由于學生人數過多，導致課堂師生互動、作業布置與批改等方面存在一定的挑戰。主要有以下幾點：一是在作業方面，由于學生人數眾多，很難有效避免答案被抄襲。一些同學因為懶惰或不愿意寫作業，導致作業完成率較低。同時，老師需要花費大量時間批改作業。

當前大學教學大多以合班形式開展，因學生人數太多，課堂師生互動、作業布置與批改等產生一定的挑戰。主要有以下幾點：一是師生互動方面，因時間緊任務重，老師不能掌握每一位同學的隨堂練習的正確性，二是學生作業方面，解題過程較多雷同，有抄襲現象；三是批閱作業方面，涉及較多人數，老師須花費大量的時間批改作業，這些因素都會直接影響教學效率和教學效果。為了在教學中避免上述問題，于是開發此自動批改作業系統幫助教師達到事半功倍的效果，通過此系統可以給學生隨機發布作業內容，或給不同的同學布置不同題型的作業，從而在某種程度上可以減少作業抄襲的現象。另外，在提高學生課堂互動方面、豐富作業題型方面，降低教師的工作量的同時，教師還可根據作業完成情況和平時互動的數據了解學生對教學重點的掌握情況。

為了促進這方面的研究，本文研究和討論用機器如何自動批改高等數學作業和隨堂練習的問題。

2實現自動批改微積分計算題的解決方案

2.1所要解決的技術問題

用LaTeX語言格式輸入微積分課程的計算題以及幾種答案，對數學題答案按照特定方式進行處理并放置網站。編寫一個Android軟件，通過互聯網根據學生的學號隨機地下載到手機里。學生用自己的手機軟件完成本次作業并提交。Android軟件根據答題的情況自動打分，然后通過網絡將分數提交給網絡服務器，網絡服務器根據學號登記該生的成績。實現自動批改微積分課程的作業（除了證明題）。

在電腦或者手機寫數學題時專門用一些工具軟件來實現，由于顯示數學公式的符號比較特殊而且數學題的答案具有多樣性，判斷數學題的答案時往往遇到困難。目前，各種文字識別軟件不能準確地識別手寫公式，況且，學生們不太熟悉用LaTeX語言寫數學公式，為了克服這種困境，本文提出一種方法，按照此方法，用戶軟件將每一頁作業分兩部分：第一部分是題目組成，第二部分由若干個被拆開的答案碎片和干擾題組成，這些答案的碎片和干擾題作為被點擊選項提供給學生們，學生們按照某種順序點擊這些選項，可以拼湊出想要的答案。用軟件判斷答案的正確性，從而達到自動批改的目的。目前，能夠判斷比較簡單的極限、導數、不定積分、定積分等數學題答案的正確性。

2.2實現自動批改的具體方案

本文提出的方法第一次打破了多年機器判斷不了數學題答案正確性的僵局，除了證明題以外，在指定的范圍內，完全能夠判斷填空題和計算題。通過一些算法降低了運算量，有效擺脫了答案的多樣性造成的困擾。

2.2.1作業的準備工作

拆答案。用LaTeX語言格式輸入某一道數學題及其所有可能答案，輸入過程中，需要拆開的部分插入“，，”、“?”或“?”等符號。規定：“?”符號前后因子或者字符不能交換位置，而“?”符號前后的因子或者字符可以交換位置。

用計算機程序代碼拆開以LaTeX語言格式編寫的數學題答案，這個答案是一個字符數組，拆開答案時采用多層次拆開和定位方式。

每一道作業題的題目和答案用“=.”號來拆分，數學題的計算過程由若干個步驟組成，各個步驟用“=”號來拆分，每一個步驟由若干項組成，每一個步驟里的各項用“，，”來拆分，每一頁作業包含干擾題，作業題和干擾題用“，，，”來拆分。比如：

第一步：用“=.”號拆分題目和答案；

第二步：用“=”號拆分各個步驟；

第三步：用“，，”號拆分同一個步驟里的各項；

第四步：用“;;”號拆分同一道題不同的答案；

第五步：用";;;"號拆分數學題答案和干擾項，為了過于簡單適當地添加干擾項來考驗學生。

按照上述提案，考慮到手機屏幕大小，每一頁作業由3到5道（或更多）數學題組成，每一道數學題的答案可能2至3種，每一種答案由若干個步驟組成，每一個步驟由若干項組成，每一項處于不同的位置。要存放每一個細節，存放這些信息需要建立四維字符數組，第一維數組中，存放某一頁的題目數。第二維數組中的數據表示某一道題有多少種做法。第三維數組中，存放步驟數，第四維數組中，存放某一步驟包含的項數。

例如：String[][][][][]item=newString[題目數][做法數][步驟數][項數];

第六步：

按照上述方式拆答案以后，整理和去掉相同的字符，將字符數據存放到叫item的四維字符數組。這個四維字符數組的每一個成員由被拆開數學公式、符號以及它所在的位置信息組成。

根據本文采取這種方法：將手機屏幕分上下兩部分，在屏幕上方，顯示幾個數學題目，在屏幕下方，顯示若干個選項。學生做數學題時，按照自己想法，點擊屏幕下方的選項拼湊出答案。只按照“=”、“，，”號拆開答案時，屏幕下方出現的選項與標準答案非常相似，所以需要進一步拆開答案。

被拆開的某一項由若干個因子、極限號、積分號等組成。拆開時，有些項按順序拆開，比如：極限號、積分號、求和符號等必須放在第一位。這時，要考慮這些符號的順序，輸入數學公式的時候插入“?”號。拆開有些項與順序無關，輸入時插入“?”號。

第七步：

用“?”“?”號進一步拆開在item里存放的字符串，拆開的同時記錄拆開以前每一個字符串的相對位置，整理完這些信息，重新存放在item字符串里。

做題時，需要點擊屏幕下方的選項，經過計算根據這些項所帶的位置信息，判斷被點擊的選項與前面的點擊的選項可不可以拼湊成原始的字符串。

有些數學題答案的前后兩個步驟的有些項保持不變，而且有的數學題最后一個步驟的答案由若干項組成。而且，數學題答案的步驟數不是固定，有的只寫答案，有的寫兩三個步驟甚至好幾十個步驟。考慮到這些因素建立一個數組，按照這個數組的數據來判斷被點擊的選項是不是包含答案所需要的信息。

第七步：寫完每一頁作業的標準答案以后，為了減少運算量和判斷各項之間的依賴關系，利用一個輔助程序顯示每一道數學題的答案，以手動方式連接答案里前后兩個步驟相互依賴的各項。連接過程中，輔助程序建立一個叫“NOS”的類。這個類有兩個成員，一個是NOD類型的數組，另一個成員是字符串類型。NOD類也有兩個成員，一個是字符串，另一個是NOD類型數組。

連接答案里相互依賴的各項時，輔助程序自動形成一種關聯數據，這些數據表示后一個步驟的某一項是從前一個步驟的某一項推導而來的。

2.2.2作業的準備工作存放作業數據

經過上述過程將準備好的作業存放在網絡服務器指定的位置，學生點擊“獲取作業”時，服務器根據學號向指定的手機隨機地發送作業，從而達到給不同的學生布置不同作業的目的。

2.3軟件執行過程

（1）Android系統軟件下載作業內容，并保存到AndroidSQLite數據庫里。數據庫，數據庫各字段分別命名為：ID，Student_ID，HomeIndex，HomeItem，HomeText，HomeAnswer，Time，Type.

數據庫中：ID是數據庫記錄索引器；Student_ID表示學號；HomeIndex表示作業的頁碼；HomeItem表示作業的題號；HomeText表示作業內容；HomeAnswer表示作業的答案；Time表示作業布置時間；Type表示作業、課堂練習、單元測試的標志。

Android軟件根據數據庫內容，在軟件的主頁面上顯示若干條信息。每條信息占一行，每一行由作業布置的時間和下載作業的時間組成。

（2）在主頁面上，當學生點擊某一行，就顯示對應的作業內容，每一頁作業包含3至5道（或更多）數學題。這時，作業內容完全按照上面所講方法重新拆開一次，分成兩部分，作業題目和答案項。作業頁面由上下兩部分組成，上面部分顯示題目，下面部分顯示若干個項，包含等號“=”“+”“-”和干擾項。

顯示作業之前，軟件根據當前頁所包含的題目數，建立一個二維整型數組，該數組存儲題號和選項號。做題過程中，軟件將學生每次點擊所對應的數據保存到數據庫的HomeAnswer字段里。

（3）當學生完成作業點擊“提交作業”時，Android軟件打開數據庫，從HomeAnswer中提取答案。接下來，軟件調用若干個函數，這時利用item數組所包含的定位數據，判斷被學生拼湊出來的選項是否合理，也就是被拆開的答案與被點擊的各項對應的位置信息是否匹配，這是判斷的第一關。如果被學生點擊的各選項能匹配，則程序執行整理數據，進入下一個階段。

軟件建立三維NOD類型數組，提取HomeText里存放的關聯數據，根據這些數據構造NOD類成員；軟件按照整理好的答案和NOD數組與標準答案進行比較，這個時候主要檢查每一步驟是否包含應有的項和不應該出現的項，步驟數是否達到預定的要求。

（4）判斷題和填空題一般只有一個步驟，只寫答案就給滿分。做計算題時，需要若干個步驟，軟件清楚重復的步驟以后按照每一個步驟自動打分。

3用戶界面和具體做法

3.1用戶登錄方式

安裝此軟件以后，軟件會提示：輸入班級和學號，學生們輸入相關信息時，軟件連接服務器，下載該生的信息，并顯示如圖1的畫面。

打開菜單，點擊本次作業，軟件下載作業內容，屏幕下方顯示作業清單如圖2所示。點擊在圖2所示的畫面中作業清單里某一項，軟件顯示作業內容如圖3所示。

3.2做作業和提交作業過程

學生們做作業時，連續點擊如圖3中下方的若干選項，可以拼湊出想要的答案。比如：做第三題時，先點擊題目3，這時，題目3變成藍色，然后，分別點擊如圖3所示的選項

可以拼湊出如圖5所示的答案。

在導數的應用中，做一些數學題需要列表解釋。此時，用點擊選項里的特殊符號來實現畫表格。

解決T/494fywy5oHd8y5z8HDGQDmXm09je21WFdNbU+zQug=上述問題時，先點擊“列數：”和“5”，這時形成如圖6的表格，

然后分別點擊如圖7所示的選項，

可以拼湊出如圖8所示的答案。

按照以上的方法一步一步拼湊所有作業題的答案，最后點擊“提交”按鈕，就這樣完成本次作業。做作業難度主要取決于出題時插入的分割符號的數量，分的越細難度就越大。用這種方法做作業與傳統的做法有很大差異，剛開始大部分同學適應不了，經過給學生們做幾次演示，一部分同學很樂意用此軟件完成作業。

4在教學過程中的效果

經過一學期關于高等數學課程教學的實施，共布置7次作業。因考慮盡量避免抄襲現象，每次將設置5至6組或更多的作業內容，每一組作業的內容也比較多。因一道題可能有多種答案，則準備一次作業大概需要十天的時間。題目的多樣性為同學們提出了更高的要求，雖作業的難度基本一致，但是不容易找到相同答案的作業題目，這有利于督促學生努力學習。實施了一個月后，大部分的同學課后都會積極找老師問一些難題，不僅提高了教學效果，還提升了學生們的學習積極性。

在高校的高等數學授課過程中，我們的軟件可以為每位同學布置不同內容的作業，初步實現了用機器自動批改作業的功能。這一創新成果在某種程度上可以減少作業被抄襲的行為，為教學效果和學生學習積極性的提高做出了巨大貢獻。

特別是在大合班授課的情況下，如果學生采用手寫方式完成答案，老師在短時間內不可能檢查每一位學生的作業，這導致老師無法實時掌握學生的學習情況。然而，通過我們的軟件，學生可以使用手機完成隨堂練習，系統會自動批改練習題并將得分情況發送給老師，從而使老師能夠及時掌握學生們的學習情況。

這一創新不僅提高了教學效果，還激發了學生的學習積極性。通過個性化布置作業和自動批改的功能，我們能夠更好地滿足學生的學習需求，激發他們的學習興趣和動力。

總之，我們的軟件在高校的高等數學授課中具有重要意義。它不僅可以減少作業抄襲行為，還能提高教學效果和學生學習積極性。通過手機完成隨堂練習并自動批改，老師能夠及時了解學生的學習情況，從而更好地指導和輔導學生。這一創新將為高等數學教育帶來巨大的變革和進步。

參考文獻：

[1]何佳穎，熊峰，潘永平，等.基于程序題的自動批改系統設計[J].信息技術與信息化，2022（04）：54-57.

[2]楊勤民，江志松.大學數學作業自動批改系統的設計與實踐[J].華東師范大學學報（自然科學版），2022（02）：76-83.

作者簡介：伊斯拉木·吐爾遜（1969—），男，維吾爾族，新疆喀什人，本科，講師，研究方向：應用數學。