熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)中的量綱問(wèn)題

摘 要 本文就熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理的一道習(xí)題的解法展開(kāi)討論，說(shuō)明在物理問(wèn)題推導(dǎo)過(guò)程有量綱物理量的規(guī)范運(yùn)算方法，以及物理結(jié)果的規(guī)范表達(dá)方式。此外，論文簡(jiǎn)單說(shuō)明了Π定理并舉例利用Π定理對(duì)物理系統(tǒng)進(jìn)行量綱分析。量綱分析在物理學(xué)中如此重要，因此在物理基礎(chǔ)課教學(xué)中應(yīng)予足夠的重視。論文附錄給出了汪志誠(chéng)《熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理》（第六版）教材中部分公式規(guī)范表達(dá)形式。

關(guān)鍵詞 量綱;熱力學(xué);統(tǒng)計(jì)物理;Π定理

熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理是四大力學(xué)之一，是物理學(xué)專業(yè)重要基礎(chǔ)課程。該門課程在熱學(xué)的基礎(chǔ)之上，更加深入地研究熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，比如物質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)、熱學(xué)性質(zhì)、電磁性質(zhì)以及凝聚狀態(tài)等。課程中的熱力學(xué)主要是熱運(yùn)動(dòng)的宏觀理論，通過(guò)對(duì)熱現(xiàn)象的觀測(cè)、實(shí)驗(yàn)和分析，物理學(xué)家總結(jié)出以熱力學(xué)三定律為基礎(chǔ)的宏觀熱學(xué)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)物理則從微觀角度，通過(guò)大量微觀粒子的統(tǒng)計(jì)平均闡釋宏觀熱學(xué)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)意義，同時(shí)還解釋了漲落現(xiàn)象等。熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理相輔相成構(gòu)成熱學(xué)現(xiàn)象的完整描述[1]。

本文主要想討論熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理中的物理量量綱問(wèn)題，即對(duì)有量綱的對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題。熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理中有很多運(yùn)算過(guò)程需要對(duì)相關(guān)物理量求對(duì)數(shù)和指數(shù)，比如玻爾茲曼熵的計(jì)算、麥克斯韋速度分布律等等。在這樣的計(jì)算過(guò)程中，有一點(diǎn)是必須明確的，即對(duì)數(shù)和e 指數(shù)運(yùn)算中的物理量必須是無(wú)量綱的，否則就會(huì)出現(xiàn)荒謬的結(jié)果。其實(shí)這個(gè)規(guī)則是物理學(xué)理論教學(xué)中一個(gè)基本法則，力學(xué)、電磁學(xué)等其他學(xué)科也必須遵循該法則。只是現(xiàn)行的熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理教材中很多時(shí)候?yàn)榱吮硎龇奖悖艞壛诉@個(gè)法則，以至于出現(xiàn)了大量的對(duì)有量綱物理量求對(duì)數(shù)或e 指數(shù)的例子。比如國(guó)內(nèi)比較流行的汪志誠(chéng)所著的《熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理》（第六版）教材（下文簡(jiǎn)稱汪《熱統(tǒng)》教材）第33頁(yè)計(jì)算理想氣體熵公式（1.15.3）給出的熵表達(dá)式為[2]

Sm =CV，mlnT +RlnVm +Sm0

其中，T 是溫度，V 為體積，CV，m 是摩爾定體熱容。該公式對(duì)溫度和體積求對(duì)數(shù)，會(huì)讓很多讀者產(chǎn)生疑惑，即如果采用不同的單位制，比如，溫度用開(kāi)爾文（K）、體積用立方米（m3）的結(jié)果，與溫度用毫開(kāi)爾文（mK）和立方米（m3）的結(jié)果完全不一樣，而且不知道怎么做單位的轉(zhuǎn)換。怎么能是一個(gè)正確的物理表達(dá)式呢？ 對(duì)數(shù)中必須有一個(gè)溫度的標(biāo)度T0 或者體積的標(biāo)度V0，又或者將T 和Vm兩項(xiàng)合并放在一起得到一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)之后再求對(duì)數(shù)，才能給出正確的結(jié)果。顯然，教材的著者了解該問(wèn)題，因此特在此加了一個(gè)腳注：

“式中的T 和Vm 是有量綱的物理量，由于Sm0 中包括含有相同量綱的物理量的項(xiàng)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)所含量綱因子可相互消去。如果將式（1.15.2）寫成定積分，

則式（1.15.3）中的

Sm0 =S'm0-CV，mlnT0 -RlnVm0

可以更清楚地看出這一點(diǎn)。類似的情況以后不再說(shuō)明。”

雖然該腳注說(shuō)明了原因，這樣做在一定程度上也簡(jiǎn)化了表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)的物理學(xué)者來(lái)說(shuō)無(wú)傷大雅，且方便一些。但是本文需要說(shuō)明的是，這樣的表達(dá)式其實(shí)會(huì)給很多初學(xué)者以誤解，以為有量綱的物理量可以任意運(yùn)算，而這樣容易出現(xiàn)因計(jì)算單位制改變而造成的非物理結(jié)果。更為重要的是，這樣的表達(dá)式可能失去了重要的物理法則，即物理量對(duì)物理量量綱的依賴性。這是物理學(xué)中的一個(gè)重要的規(guī)律。在課堂上如果詳細(xì)講解物理學(xué)的量綱標(biāo)度依賴性會(huì)大大提高物理學(xué)習(xí)者的理解，也為后續(xù)的高級(jí)課程，如量子場(chǎng)論等，打下基礎(chǔ)。

為此，本文將從該教材的一道例題出發(fā)，來(lái)討論物理學(xué)量綱的問(wèn)題，給出本文作者對(duì)該問(wèn)題的看法。需要說(shuō)明的是，本文作者都是這本教材的學(xué)習(xí)者和使用者（作者之一熊兆華二十余年講授熱統(tǒng)課，一直使用此教材），深受其影響，也想對(duì)教材作出一些修正。為此作者特將教材中的所有存在此類問(wèn)題的表達(dá)式都找了出來(lái)，并給出其規(guī)范表達(dá)，以饗讀者。本文余下部分的安排是：第1部分給出教材中的例子并進(jìn)行討論，第2部分作者討論中關(guān)于物理量量綱Π 定理以及應(yīng)用舉例，第3部分給出本文結(jié)論，最后在附錄中列出我們找到的教材中的規(guī)范表達(dá)形式。

1 一道熱統(tǒng)例題量綱的討論

我們以教材第一章課后習(xí)題1.19為例子，分析量綱的問(wèn)題。

其中，Cp =cpL。

整個(gè)求解過(guò)程看上去似乎是沒(méi)有問(wèn)題的。但是正如引言所說(shuō)，最終的結(jié)果看上去存在很大的問(wèn)題。最直觀的當(dāng)然就是對(duì)數(shù)函數(shù)中含有有量綱物理。這看上去很不合理。但是簡(jiǎn)單分析也會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果中不同單位制的結(jié)果似乎又剛好抵消了。比如對(duì)同一物理系統(tǒng)我們用t 表示用開(kāi)爾文（K）來(lái)計(jì)量的物理量具體數(shù)值，再用t 表示用毫開(kāi)爾文（mK）來(lái)計(jì)量的物理量具體數(shù)值

結(jié)果看上去很神奇！ 如果不深入分析其中的原因就很難知道其中的奧秘所在。但是這其實(shí)是計(jì)算過(guò)程中對(duì)有量綱物理量的錯(cuò)誤處理的結(jié)果，或者說(shuō)不規(guī)范操作的結(jié)果。如果采用規(guī)范的方法，我們就會(huì)得到規(guī)范表達(dá)的物理公式，也不會(huì)出現(xiàn)以上看似神奇，卻有點(diǎn)誤導(dǎo)的結(jié)果。

出現(xiàn)上述問(wèn)題的原因在于計(jì)算過(guò)程式（3）為了計(jì)算方便，把對(duì)數(shù)運(yùn)算中分?jǐn)?shù)的分子和分母分開(kāi)，使用了對(duì)數(shù)中含有量綱的物理量計(jì)算項(xiàng)，比如ln（T1+T2／2）等，且一直保留到了最后的結(jié)果。這是一種非常不規(guī)范的計(jì)算，正確的計(jì)算方法一定要保證每一步的計(jì)算項(xiàng)都是合理的。為此本文給出以上推導(dǎo)過(guò)程的規(guī)范計(jì)算過(guò)程

以上表達(dá)式看上去就很合理，不會(huì)出現(xiàn)奇怪的量綱問(wèn)題。在運(yùn)算的過(guò)程中，我們一直保持了對(duì)數(shù)ln項(xiàng)中無(wú)量綱量，沒(méi)有破壞公式中每一項(xiàng)背后的物理含義。熵的量綱是熱量除以溫度，和熱容Cp 同一量綱。熱容后面的系數(shù)就是具體物理系統(tǒng)給出的無(wú)量綱的系數(shù)，表達(dá)式完全無(wú)單位變換的問(wèn)題！

熟練的物理老師都會(huì)明白，以上式（3）和式（7）的計(jì)算結(jié)果其實(shí)一樣的。原因在于具體計(jì)算的熵增是一個(gè)定積分。讀者進(jìn)一步的計(jì)算也可以由式（7）推導(dǎo)式（3），或者反過(guò)來(lái)推導(dǎo)也可以。但是需要說(shuō)明的是規(guī)范表達(dá)形式（7）的物理意義非常清晰。從物理圖像上看，整個(gè)過(guò)程的熵增大概估計(jì)為整個(gè)系統(tǒng)的吸熱比上系統(tǒng)的溫度。式（3）則很看看出來(lái)這種物理性質(zhì)來(lái)。雖然前面有熱容系數(shù)Cp ，但是Cp 后面跟著的系數(shù)則完全看不出來(lái)物理意義來(lái)。這就是本文引言所說(shuō)的，雖然可以在物理教學(xué)中可以約定去掉一些看似不重要的常數(shù)，但是如果要真正理解某個(gè)過(guò)程的物理意義，公式中的每一項(xiàng)其實(shí)都有重要的意義，是不能夠任意去掉的。要不就會(huì)出現(xiàn)難以理解的現(xiàn)象。

為 了更直觀的說(shuō)明以上討論，我們不妨定義兩個(gè)溫度

由于ΔT／TT無(wú)量綱，可以把它作為小量展開(kāi)。式（7）變形運(yùn)算過(guò)程因?yàn)橛兄逦奈锢硪饬x，計(jì)算結(jié)果也一直保持著規(guī)范的形式。比如后面多出來(lái)的常數(shù)項(xiàng)自然被抵消了，很容易得到當(dāng)桿子兩端溫差趨于零的時(shí)候熵增也為零的結(jié)果。而式（3）變形過(guò)程則很難進(jìn)行下去，因?yàn)榇藭r(shí)并沒(méi)有一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)的存在，使得熵增為零的極限很難得到。公式花括號(hào)中的最后一項(xiàng)1顯得特別奇怪，難以理解其意義。因此，在物理學(xué)計(jì)算過(guò)程中保持公式中每一項(xiàng)合理量綱也具有非常重要的意義。這會(huì)保證在整個(gè)推導(dǎo)或計(jì)算過(guò)程中，物理意義的連續(xù)性和合理性。公式中的每一項(xiàng)都有著特定的量綱，例如溫度、質(zhì)量、時(shí)間等，并代表著特定的物理意義。通過(guò)推導(dǎo)和理解每一項(xiàng)的物理意義，我們可以確保計(jì)算結(jié)果是合理的，符合物理規(guī)律。

處理以上分析的物理過(guò)程的意義外，量綱分析有助于理解各物理量之間的關(guān)系，以及在實(shí)際應(yīng)用中選擇適當(dāng)?shù)膯挝缓土恐怠?shí)際上，關(guān)于物理量的量綱有個(gè)Π定律來(lái)說(shuō)明量綱分析在物理研究中的重要性，下面我們來(lái)說(shuō)明Π 定律及其相關(guān)應(yīng)用。

2 Π 定理及其應(yīng)用

Π定理是量綱分析中常用的定理，它為我們提供了一種將變量聯(lián)系起來(lái)以減少方程中物理量的方法。特別是定性分析物理系統(tǒng)的屬性是特別方便的。很多情況下，僅僅做量綱分析，就可以得到物理系統(tǒng)的很多信息。因此利用Π定理分析物理系統(tǒng)的量綱，進(jìn)而確定物理系統(tǒng)的大體屬性，是成熟的物理學(xué)者必然熟練掌握的技能。要理解Π定理，我們首先來(lái)看量綱分析。物理量都有自己的單位[3]，由于各物理量之間存在著規(guī)律性的聯(lián)系，所以不必對(duì)每個(gè)物理量的單位都獨(dú)立地予以規(guī)定。我們可以選定一些物理量作為“基本量”，并為每個(gè)基本量規(guī)定一個(gè)“基本度量單位”，其他物理量的度量單位則可按照他們與基本量之間的關(guān)系式（定義或定律）導(dǎo)出，這些物理量稱為“導(dǎo)出量”，他們的單位稱為導(dǎo)出單位。按這種方式構(gòu)成的一套單位，就構(gòu)成一定的“單位制”。不同的單位制中，基本量的選取和數(shù)目都可以不同。

在選定了單位制之后，導(dǎo)出量的度量單位就可以由基本度量單位表達(dá)出來(lái)，這種表達(dá)式稱為該導(dǎo)出量的“量綱式”，設(shè)X1，X2，…，Xm 是所選單位制中的m 個(gè)基本單位，用[P ]代表導(dǎo)出量P的量綱式，有

[P]=Xa1 1 Xa2 2 …Xamm （11）

指數(shù)（a1，a2，…，am ）稱為物理量P 的“量綱”。很明顯，一個(gè)物理量的量綱與單位制的選擇有關(guān)。對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)，可以將量綱看成某個(gè)“矢量空間”中的“矢量”

ln[P]=a1lnX1 +a2lnX2 + … +amlnXm（12）

這里若把lnX1，lnX2，…，lnXm 看作m 維空間的“正交基矢”，則（a1，a2，…，am ）就是“矢量”ln[P ]在基矢上的投影，所以量綱式也可以簡(jiǎn)寫為

ln[P]～ （a1，a2，…，am ） （13）

這里幾個(gè)物理量的量綱彼此獨(dú)立，是指無(wú)法用他們冪次的乘積組成無(wú)量綱量。用線性代數(shù)的語(yǔ)言表達(dá)，就是代表他們的矢量彼此線性無(wú)關(guān)。在m維空間中，最多有m 個(gè)彼此線性無(wú)關(guān)的矢量，m個(gè)矢量（a1i，a2i，…，ami）（i=1，2，…，m ）線性無(wú)關(guān)的條件是有他們組成的行列式不等于0

關(guān)于量綱分析的“Π定理”是物理學(xué)家白金漢姆（Buckingham）在1914年提出來(lái)的：設(shè)某物理問(wèn)題內(nèi)涉及n 個(gè)物理量（包括物理常量）P1，P2，…Pn ，我們所選的單位制中有m 個(gè)基本量（ngt;m ），則由此可做成n-m 個(gè)無(wú)量綱的量Π1，Π2，…，Πn-m 。在物理量P1，P2，…Pn 之間存在的函數(shù)關(guān)系式

f（P1，P2，…，Pn）=0 （15）

可表達(dá)成相應(yīng)的無(wú)量綱形式

F（Π1，Π2，…，Πn-m ）=0 （16）

在n=m 的情況下有兩種可能：若P1，P2，…Pm的量綱彼此獨(dú)立，不能由它們組成無(wú)量綱的量;若不獨(dú)立，則還可能組成無(wú)量綱的量。以上是Π 定理的主要內(nèi)容。Π 定理還有另一種表述形式：在上述條件下，第m +1個(gè)物理量Pm +i 解出可以由前m 個(gè)物理量P1，P2，…Pm 的xmi 次冪的積乘以一個(gè)無(wú)量綱的表達(dá)式表達(dá)，即

Pm+1 =Px11 1 Px221…Pxmm1Φ（Π2，…，Πn-m）（17）

Π定理的證明過(guò)程并不復(fù)雜，限于篇幅，這里不做證明。想要了解Π定理證明細(xì)節(jié)的讀者可以參閱文獻(xiàn)[3]。

文獻(xiàn)[3]不僅給出了Π定理的證明，還給出了利用Π定理對(duì)具體物理系統(tǒng)進(jìn)行量綱分析得到了很多重要結(jié)論的例子。這些例子很多，這里選擇一個(gè)常見(jiàn)的單擺周期的例子來(lái)做說(shuō)明。單擺是物理學(xué)重要的裝置，在大學(xué)物理教學(xué)中，在小角度擺動(dòng)時(shí)，單擺的擺動(dòng)可以近似看做滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。因此我們可以方便的得到單擺小角度擺動(dòng)的周期T ，能量E 等。其實(shí)利用Π定理在沒(méi)有定量計(jì)算的情況下，也可以獲得很多單擺系統(tǒng)的信息。通常人們都會(huì)選定單擺的質(zhì)量m ，重力加速度g 和擺長(zhǎng)l 為獨(dú)立變量。要利用Π定理可以把上述物理量依據(jù)其量綱列成如下矩陣，每個(gè)縱列代表一個(gè)變量的量綱矢量。

很明顯，我們選取的m ，g 和l 量綱矩陣行列式不等于零，因此這三個(gè)量是線性無(wú)關(guān)的。而T 和E則可以由前面三個(gè)線性無(wú)關(guān)的物理量表示出來(lái)，或者說(shuō)和前面三個(gè)線性無(wú)關(guān)的變量組成n-m 個(gè)無(wú)量綱的組合。那怎么找到這個(gè)組合呢？ 如果是比較簡(jiǎn)單的物理量用眼睛看即可，或者“拼湊”也可以。其實(shí)嚴(yán)格的計(jì)算也不復(fù)雜，用線性無(wú)關(guān)的變量矩陣求解線性代數(shù)方程即可。比如我們要求T ，可以求解以下線性方程組

很明顯可以看出，x1 是m 參數(shù)系數(shù);x2 是g 參數(shù)系數(shù);x3 是l 參數(shù)系數(shù)，由這三個(gè)x 值作為對(duì)應(yīng)三個(gè)參數(shù)的冪指數(shù)，就可以求出時(shí)間T 來(lái)。求解可得

其中，C0 是把 在零點(diǎn)歸一化系數(shù)，以上公式的系數(shù)都是無(wú)量綱的純數(shù)。小角度情況下，只取領(lǐng)頭階即可。可以看出單擺的周期T 既與質(zhì)量m 無(wú)關(guān)，又與擺幅無(wú)關(guān)，都不是顯然的。這就是利用Π定理做量綱分析的巧妙之處。當(dāng)然，根據(jù)小角度情況的結(jié)果，很容易得到C0=2π。至于其他高階修正系數(shù)，可以有單擺的動(dòng)力學(xué)方程嚴(yán)格算出來(lái)。這里主要討論量綱分析，對(duì)這些系數(shù)就不做進(jìn)一步討論了。

我們現(xiàn)在利用Π 定理，重新看上一節(jié)討論的教材1.19題。不妨選取熱量Q 和溫度T 作為基本量。因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)基本量，可以選取兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的物理量量作為輸入?yún)⒘俊Ｒ虼宋覀冞x擇定壓熱容Cp 和平均溫度TT 作為輸入?yún)⒘浚纱藖?lái)分析溫差ΔT 和熵增ΔS。首先畫出量綱表

其中，C0，C1，C2，… 都是純數(shù)。很明顯，溫差ΔT 趨于零的時(shí)候，熵增為零，所以C0=0。依據(jù)對(duì)稱性分析，可以知道該系統(tǒng)是關(guān)于ΔT 的偶函數(shù)，所以C1，C3，…等都為零。第一個(gè)不為零的結(jié)果從C2 開(kāi)始。這同時(shí)也保證了孤立系統(tǒng)熵增大于零的結(jié)果。這些結(jié)論都可以與嚴(yán)格計(jì)算結(jié)果式（10）保持一致。這表明我們正確地理解了物理現(xiàn)象背后的基本關(guān)系，并且使用了規(guī)范物理表達(dá)式。在計(jì)算過(guò)程中，保持量綱的正確有助于避免犯下計(jì)算錯(cuò)誤，并確保我們得到的結(jié)果是物理上合理且符合預(yù)期。同時(shí)，保持量綱的正確可以保持公式背后的物理意義，使我們?cè)谟?jì)算和解釋物理現(xiàn)象時(shí)能夠保持清晰的物理圖像。式（9）很難得到有意義的物理結(jié)果來(lái)，也無(wú)法與量綱分析保持一致。因此，物理公式規(guī)范表達(dá)是物理學(xué)教學(xué)和研究過(guò)程中必須堅(jiān)持的一個(gè)原則。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)一道練習(xí)題對(duì)熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理有量綱物理量的運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行了分析，說(shuō)明物理推導(dǎo)過(guò)程有量綱物理量規(guī)范運(yùn)算方法，以及結(jié)果的規(guī)范表達(dá)方式。后面論文簡(jiǎn)單說(shuō)明了Π定理并舉例利用Π定理對(duì)物理系統(tǒng)進(jìn)行量綱分析。量綱分析在物理學(xué)中如此重要，因此在物理基礎(chǔ)課教學(xué)中應(yīng)予足夠的重視。其實(shí)在工程領(lǐng)域，量綱分析也至關(guān)重要。工程師能夠借助量綱分析更好地理解物理量之間的關(guān)系，選擇合適的材料、尺寸和工藝參數(shù)，確保產(chǎn)品性能和安全。量綱的理論為我們提供了一種簡(jiǎn)潔而通用的物理量描述方法，為科學(xué)研究和工程技術(shù)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。國(guó)際單位制的制定促進(jìn)了全球科學(xué)研究和技術(shù)應(yīng)用的合作。總的來(lái)說(shuō)，量綱在物理學(xué)中的歷史和意義是多方面的。它不僅為科學(xué)研究提供了基礎(chǔ)，還對(duì)工程技術(shù)的發(fā)展和國(guó)際交流合作起著重要作用。不管是在物理學(xué)教學(xué)中，還是研究過(guò)程中，物理量的規(guī)范運(yùn)算是一種重要的原則。掌握分析物理量量綱是一項(xiàng)重要物理學(xué)技能，希望本文能夠?qū)α烤V分析的教學(xué)有一定的幫助。

以上關(guān)于量綱的討論基本上都是基于經(jīng)典物理進(jìn)行的，實(shí)際上，在量子力學(xué)物理量綱以及標(biāo)度就成為了更加重要的問(wèn)題。這是因?yàn)樵跍y(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是量子力學(xué)的基本規(guī)律，因此物理量的測(cè)量結(jié)果依賴于具體物理系統(tǒng)的能量標(biāo)度，物理理論也隨著能量標(biāo)度演化而演化，這就是量子場(chǎng)論中著名的重整化群跑動(dòng)理論[4，5]。感興趣的讀者可以繼續(xù)深入學(xué)習(xí)量綱理論。

附錄

論文作者檢查了汪志誠(chéng)《熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理》（第六版）教材中的物理公式，梳理出來(lái)有問(wèn)題的表達(dá)式，并給出了規(guī)范表達(dá)形式。下面分章節(jié)分別給出。特別說(shuō)明， 論文作者假定讀者對(duì)汪《熱統(tǒng)》教材足夠熟悉，因此附錄內(nèi)容主要給出公式規(guī)范表達(dá)形式， 簡(jiǎn)單補(bǔ)充說(shuō)明，并沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明其推導(dǎo)過(guò)程。

A 第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律