全反射棱鏡式諧振腔中高斯光束角度誤差對本征模式偏振損耗的影響

摘 要 本文引導學生將“激光原理與技術”課程中所學的高斯光束特性與布儒斯特定律相結合，以全反射棱鏡式（TRP： Total Reflection Prism）諧振腔為例，研究了高斯光束在TRP面傳輸過程中入射角度誤差對腔內本征模式偏振損耗的影響，并討論了腔內本征模式入射角度誤差、束腰位置（即束腰到棱鏡面的距離）z0 和焦參數f 等對偏振損耗的影響。結果表明：在一定范圍內，隨著角度誤差的增加，s、p分量偏振損耗增大，最后趨于穩定。同時，對于同一角度誤差而言，隨著z0 和f 的增大，s、p分量的偏振損耗減少，且相同的z0 和f 的增量會引起更小的s、p分量偏振損耗。本文研究結果可對TRP腔內本征模式偏振損耗的降低、腔體結構設計及優化提供一定的理論依據。

關鍵詞 全反射棱鏡;諧振腔;偏振損耗

當入射角度較大時，從光密介質入射到光疏介質的光束會在分界面上發生全反射現象，這一現象在很多領域都有應用，如：用于通信的光纖和探測的光學儀器中[1]。將全反射與布儒斯特定律相結合[2]，可以構成全反射棱鏡式（TRP： TotalReflection Prism）環形諧振腔[3-6]，其作為激光陀螺的核心器件用于遠距離飛行器的慣性導航。

與鍍膜反射鏡環形諧振腔相比，TRP諧振腔既無高精度的鍍膜工藝要求，又具有極高的反射率來提高激光器的增益效率并有效避免背向散射對腔內本征模式的干擾，因而受到了越來越多科研人員的關注。Kuryatov等分析了TRP諧振腔中的偏振損耗及偏振光束的非均勻性和反向傳輸光波的非互易性[7， 8]。Voronina等分別對三棱鏡和四棱鏡諧振腔中偏振損耗進行對比分析，發現四棱鏡諧振腔中s分量的全反射損耗比三棱鏡諧振腔中s分量的全反射損耗大[9]。劉健寧等基于棱鏡材料的介電常數隨應力的變化，研究了TRP受到應力而產生的應力雙折射對TRP諧振腔中激光束輸出質量的影響[10]。TRP諧振腔的工作過程對棱鏡放置精度及腔內本征模式光束質量和入射角度要求甚高。這是因為光束在腔內傳輸一周要經過4個全反射棱鏡，在每一個TRP中的傳輸均包含兩次折射和一次全反射過程，在每個棱鏡中，光束以布儒斯特角入射和出射，亦即每個TRP有兩個布儒斯特窗。此外，TRP環形諧振腔內運行著s、p兩個偏振分量，且由布儒斯特定律可知，s分量相對于p分量有較大的反射損耗。因此，理想情況下，s分量被抑制不起振，諧振腔內只運行著p分量，即腔內光束為線偏振光。然而，實際情況下，諧振腔內的激光束為橢圓偏振光，一部分是由于加工精度不夠和調腔不準，另一部分原因是棱鏡折射面和波前曲率不一致導致只有中心部分光束滿足布儒斯特條件，其他部分光束不滿足，這造成TRP折射面成為部分偏振器，各個點的偏振度不同，最終導致偏振不均勻[11，12]。本文將分析腔內光束在折射過程中激光束偏離布儒斯特角對各分量偏振損耗的影響，分析不同高斯光束遠場發散角下的偏振損耗。

1 理論分析

圖1（a）中TRP環形諧振腔主要由四個棱鏡組成[3]，其中，棱鏡Pr1、Pr2 有一個通光面為球面，以保證諧振腔的穩定性，稱為第一類棱鏡，棱鏡Pr3、Pr4 所有的通光面均為平面，稱為第二類棱鏡。環形諧振腔作為激光陀螺的核心器件，其測量角速度原理是基于Sagnac效應的，對于理想的TRP而言，不存在由TRP加工誤差導致的應力雙折射而產生的干涉。圖1（b）給出了光束在環形諧振腔中單個理想TRP內的傳輸情況。可以看出，首先，光線在TRP的小直角面上從空氣中折射到TRP內，入射角和折射角分別為θ1、θ2;其次，折射光線到達TRP的斜面發生全反射，入射角為θ3;最后，全反射光線在TRP的大直角面上從TRP內折射到空氣，入射角和折射角分別為θ4、θ5，α 為TRP內全反射面與小直角面所成的棱角[13]。可以看出

上述分析是在理想平行光以布儒斯特角入射的情況下，由于s偏振分量損耗大，不能起振，環形腔內只運行著p偏振分量，然而，實際TRP諧振腔中，光束為高斯光束，并非理論的平行光束（圖2），一束高斯光束（即一種曲率中心和曲率半徑都隨傳播過程而不斷改變的非均勻球面波）以布儒斯特角入射棱鏡面。其中，θ 為高斯光束遠場發散角，θB 為布儒斯特角，r 為高斯光束橫截面內任一點到z 軸的距離，z0 為高斯光束束腰到棱鏡的距離。可以看出，高斯光束只有中心區域滿足布儒斯特角入射，而邊緣部分不滿足布儒斯特條件，此時，高斯光束的反射、折射光的s分量和p分量都發生變化，即諧振腔內傳輸的激光偏振態發生改變，使光束無法以線偏光的形式在諧振腔中傳輸，從而影響全反射棱鏡的反射率。

綜上所述，角度誤差對偏振態和偏振損耗具有一定影響，本文通過理論分析和數值計算，得到不同z0 時，p分量和s分量的偏振損耗與角度誤差的關系。

基模高斯光束基模行波場為

其中，ω0 為束腰半徑，ω（z）=ω0（1+z2/f 2）1/2 為傳播至z 處光束半徑，R（z）為傳播至z 處波前曲率半徑，f=kω2 0/2為高斯光束的焦參數，k 為波數。略去附加相移的影響可得

由于高斯光束遠場發散角θ 很小，一般為毫弧度量級，則高斯光束區域光場即認為z0 點光場，則

將式（7）（8）（10）和式（11）代入式（9）并進行變量代換，即可得到兩個偏振分量的反射光強

2 角度誤差影響

不同于傳輸矩陣法只能研究某一個特定角度誤差對偏振分量損耗的影響，本文基于上述分析，將研究光束在一個TRP分界面上反射過程中角度誤差存在一定變化范圍情況下兩個偏振分量的損耗特性。同理，在整個諧振腔中多次折射和反射過程的分析思路也是一樣分析的，區別在于光束在不同TRP分界面上入射角度誤差范圍有所不同。本文所取的TRP諧振腔結構參數為：腔內真空折射率n1=1，構成諧振腔的棱鏡折射率n2=1.45703，常數E0=1，焦參數f=0.15，本征模式束腰半徑ω0=（λf/π）1/2=1.7382×10-4。根據p分量偏振損耗的定義lossp=Irp/Ip（Irp：p分量反射光強，Ip：p分量入射光強），圖3給出了不同z0情況下，角度誤差θ 對p分量偏振損耗的影響。

可以看出，在一定范圍內，隨著角度誤差的增大，p分量偏振損耗增加;超出此范圍時，隨著角度誤差增大，p分量偏振損耗趨于穩定。這是由于高斯光束能量主要集中于光束中心區域，超出中心區域的光強占總光強的比例很小，從而導致入射和反射光的p分量強度在超出一定角度誤差范圍后趨于穩定，其偏振損耗也不再變化。同時，隨著z0 的增大，相同角度誤差下p分量的偏振損耗減少，且對于同一角度誤差，隨著z0 的增大，相同的z0 增量會引起更小的p分量偏振損耗。考慮到實際情況，由于諧振腔尺寸的限制，z0 不能無限制增大。因此，選擇合適的z0 至關重要。

同理，根據s分量偏振損耗的定義losss=Irs/Is（Irs：s分量反射光強，Is：s分量入射光強），圖4給出了不同z0 情況下，角度誤差θ 對s分量偏振損耗的影響，其趨勢與p分量情況下類似。造成該趨勢同樣是由于高斯光束光強主要集中于中心區域，導致入射和反射的s分量光強在超出一定角度誤差范圍后可趨于穩定，s分量的偏振損耗也不再變化。在一定范圍內，隨著z0 增加，相同角度誤差下s分量的偏振損耗減少，且對于同一角度誤差，隨著z0 增加，相同的z0 增量會引起更小的s分量偏振損耗。

對比s、p分量偏振損耗情況可知，兩者的趨勢基本相同，其中p分量偏振損耗從0開始，這是由于在理想情況下，光束以布儒斯特角入射，此時p分量的反射系數為0，反射光中不存在p分量，因此p分量偏振損耗為0;而s分量由于在角度誤差為0時，存在反射系數，反射光中s分量不為0，因此s分量偏振損耗始終存在。同樣，相同z0 條件下，隨著角度誤差增大，s、p分量偏振損耗增加，超出此范圍，s、p分量偏振損耗趨于穩定。隨著z0 增加，相同角度誤差下，s、p分量的偏振損耗減少，且減少量也逐漸變小。而由于諧振腔尺寸的限制，z0 不能無限制增大。因此，取合適的z0 至關重要。

在上述分析基礎上，本文進一步研究了腔內本征模式焦參數對偏振損耗的影響。其中，本征模式束腰位置z0 =0.5m，其余參數均與上節相同。圖5給出了不同焦參數情況下，p分量偏振損耗隨角度誤差的變化趨勢。可以看出，同樣由于高斯光束主要集中于中心區域，p分量偏振損耗趨勢依然是先隨著角度誤差增大而增大，當角度誤差達到一定程度時，趨于穩定。對應同一角度誤差而言，在一定范圍內，隨著f 的增大，達到p分量偏振損耗飽和值時的角度誤差逐漸減小，且相同角度誤差下的p分量偏振損耗減小。

同理，圖6給出了不同焦參數情況下，s分量偏振損耗隨角度誤差的變化趨勢。可以看出，s分量偏振損耗趨勢同樣先隨著角度誤差增大而增大，當角度誤差達到一定程度時，趨于穩定。在一定范圍內，隨著f 的增大，s分量偏振損耗達到飽和值時的角度誤差減小，且相同角度誤差下的s分量偏振損耗減小。

對比圖5和圖6的結果可知，當f 不變時，在一定范圍內，s、p分量偏振損耗都隨著角度誤差的增大而增加，且最終趨于穩定。這對TRP諧振腔內本征模式偏振損耗的降低具有一定意義。

3 結語

本文針對學生在“激光原理與技術”課程中所學的高斯光束遠場發散特性，結合布儒斯特定律，以全反射棱鏡式諧振腔為例，研究了高斯光束在TRP面傳輸過程中入射角度誤差對腔內本征模式偏振損耗的影響，并討論了改變諧振腔內參數對偏振損耗進行調控，進而減小角度誤差對偏振損耗的影響的方法。本文推導得到了s、p分量折射后的光強分布，并分析了存在不同角度誤差情況下，腔內本征模式入射角度、束腰位置z0 和焦參數f 誤差等對s、p分量偏振損耗的影響規律。結果表明在一定范圍內，隨著角度誤差的增加，s、p分量偏振損耗增大，最后趨于穩定。同時，對應同一角度誤差而言，隨著z0 和f 的增大，s、p分量的偏振損耗減少，且相同的z0 和f 的增量會引起更小的s、p分量偏振損耗。考慮到實際應用，由于諧振腔尺寸的限制，z0 不能無限制增大，因此，取合適的z0 至關重要。本文關于偏振損耗的研究對全反射棱鏡式激光諧振腔內本征模式偏振損耗的降低、腔體結構設計及測量精度的提高提供一定的理論依據。

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