轉換參考系巧釋地球橢圓運動疑難

基金項目：本文系2022年度教育部高等學校大學物理課程教學指導委員會大中物理教育銜接工作委員會教學研究課題“高觀點下的中學物理問題研究”（課題編號：WX202225）成果。

摘" 要：利用地球繞太陽做橢圓運動這一模型，論證了靜止參考系中的極坐標系與地球的矢徑轉動形成的變角速轉動參考系中的極坐標系是可以對應起來的，但是二者處理問題時的物理思想的清晰程度卻大不相同。本文利用變角速轉動參考系巧妙地解決了地球繞太陽做橢圓運動時的幾個疑難問題，而這些問題在靜止參考系中是較難解釋清楚的。

關鍵詞：極坐標系；轉動參考系；變角速度；有心力

1" 問題的提出

研究有心力場的問題時常常選擇極坐標系來處理，例如對于地球圍繞太陽的運動，可以將極點選在太陽的位置，而地球與太陽的連線便叫作地球的矢徑。眾所周知，坐標系是建立在參考系上的。當然，在不加強調的情況下默認選取的是靜止參考系，但是有些問題正因為忽視了坐標系是建立在參考系上的而導致了一些悖論。例如，長久以來，對于地球圍繞太陽做橢圓運動這一模型，廣大師生存在以下四個疑惑。

疑惑一：地球在近日點和遠日點時的速度都是垂直于矢徑的，即徑向速度為零，只有橫向速度；而地球從遠日點運動到近日點的過程中，徑向力即太陽對地球的萬有引力是越來越大的，那么為何徑向速度由零開始會先逐漸變大然后逐漸變小為零，按理說徑向速度由零開始應該會一直變大才對啊？

疑惑二：徑向速度既然先變大后變小，那么就一定存在一個極大值，極大值的位置在哪里呢？

疑惑三：從遠日點到近日點的過程中，地球繞太陽的角速度是如何變化的（即地球的矢徑轉動的角速度是如何變化的）？

疑惑四：橫向力始終為零，為何橫向速率卻發生了變化（比如v遠≠v近），即為何橫向速率不守恒，而是角動量守恒？

2" 問題探究

實際上，存此疑惑的人大多數會受到一個思維定勢的影響。假設光滑水平面上一個靜止的物體受到水平向右的力的作用（注意：該力的方向始終不變），并且這個力越來越大，毫無疑問，物體的速度會越來越大。那么這種物理思想能否直接應用在（靜止參考系中的）極坐標系中呢？答案是否定的，關鍵在于極坐標系中的“徑向”和“橫向”并不是一個恒定不變的方向。要實現上述推論，需要換一個參考系。

不難發現，在地球從遠日點到近日點的過程中，如果選擇在靜止參考系中建立極坐標系，那么對于地球來說，就是徑向速度先變大后變小，順著這個思路一定會覺得徑向速度最大時應該對應徑向力為零，而太陽對地球的萬有引力始終不為零且越來越大，矛盾就此產生。然而，如果在地球與太陽的連線即轉動的矢徑參考系（本文提到的變角速轉動參考系皆特指該參考系）中建立極坐標系的話（其中極點在太陽所在處），那么此時徑向便是一個不變的方向，橫向也是一個不變的方向，在這個轉動參考系中地球受到徑向方向的力仍然越來越大，那么其徑向速度由零開始必將逐漸變大，同樣存在矛盾。原因在于，如果選擇了這樣的變角速轉動參考系，地球徑向方向的力將不再是完全由太陽對地球的萬有引力來提供，此時徑向方向必然還會存在一個慣性離心力。

在定量探究上述幾個疑惑之前，先來對比一下兩個參考系下的極坐標系中的速度和加速度。

在靜止參考系的極坐標系中，徑向和橫向速度可以表示為

vr＝r·，①

vθ＝rθ·。②

在變角速轉動參考系的極坐標系中，徑向和橫向速度可以表示為

v′r＝r·＝vr＝v′，③

其中v′為地球相對于變角速轉動參考系的速度，

v′θ＝0。④

可見在兩個參考系中，徑向速度是相同的，且在變角速轉動參考系中質點實際上做的是直線運動，此時的極坐標系就是一個直線坐標系。

下面再來分析加速度。

在靜止參考系的極坐標系中，徑向和橫向加速度可以分別表示為［1］

ar＝r··－rθ·2，⑤

aθ＝rθ··＋2r·θ·。⑥

而在最一般的變角速轉動參考系中，其加速度矢量可以普遍表示為

a′＝a＋ω2r＋r×ω·＋2v′×ω。⑦

在本文討論的平面運動條件下，可以將矢量叉乘符號去掉，對應等號右邊前兩項為徑向方向上的加速度（大小相當于靜止參考系的極坐標系中的r··），等號右邊后兩項為橫向方向上的加速度。a（表示為a）對應于太陽對地球的萬有引力產生的加速度，相當于靜止參考系中的ar；ω2r（表示為ω2r）對應于慣性離心力產生的加速度，相當于靜止參考系中的rθ·2；

r×ω·（表示為rω·）對應于轉動參考系本身的角速度發生變化所導致的慣性力（稱為切向慣性力）產生的加速度，相當于靜止參考系中的r·θ·；2v′×ω（表示為2v′ω）對應于科里奧利力產生的加速度，相當于靜止參考系的極坐標系中的2r·θ·（這也正是有些教輔資料把這個加速度稱為科里奧利加速度的原因）。［2］這樣一來，在這個變角速轉動的參考系中，如圖1所示，考慮地球從遠日點A到近日點C的過程（因對稱性，只需研究從A到C這半個周期即可），則徑向加速度可以整理為

a′r＝r··＝a－ω2r＝GMr2－ω2r，⑧

其中，a′r＞0，表示徑向加速度的方向指向太陽，a′r＜0表示徑向加速度的方向背離太陽。

圖1

橫向加速度可以整理為

a′θ＝0，⑨

即rω·＝2v′ω。⑩

根據⑩式可以看出參考系本身的角速度發生變化時對應的慣性力，即切向慣性力，與科里奧利力大小相等、方向相反。

如圖1所示，設遠日點A的速度為v遠，近日點C的速度為v近，則對遠日點和近日點根據角動量守恒和機械能守恒列式有

（a＋c）v遠＝（a－c）v近，B11

12mv2遠－GMma＋c＝12mv2近－GMma－c。B12

根據B11B12兩式可解得

v近＝GM（a＋c）a（a－c），B13

v遠＝GM（a－c）a（a＋c）。B14

設地球處在圖1中的P點時，其速度為v，則根據角動量守恒可得

（a＋c）v遠＝rvsin（180°－α）＝rvsinα＝r2ω。B15

由B14B15式，可得

ω＝1r2GMb2a。B16

將B16式代入⑧式，可得

a′r＝GMr2－GMb2a1r3。B17

當a′r＝0時，徑向速度最大，此時有r＝b2a，地球的矢徑長等于橢圓通徑長的一半，此時地球的位置為圖1中的Q點（Q點為過橢圓的焦點垂直于長軸與橢圓的交點）；當r＞b2a時，a′r＞0，即萬有引力大于慣性離心力，徑向方向的力指向太陽，徑向速度逐漸變大；當r＜b2a時，a′r＜0，即萬有引力小于慣性離心力，徑向方向的力背離太陽，徑向速度逐漸變小。可見，在這個變角速轉動參考系里，從遠日點A到近日點C的過程中，徑向方向的力并不是一直變大，而是先減小到零再反向增大，徑向速度由零開始先逐漸增大到一個極大值再逐漸減小為零。

此外，根據B16式可以看出從A到C的過程中，矢徑r逐漸變小，角速度ω逐漸變大。或者可以從另一個視角來重新審視ω如何變化，考慮變角速轉動參考系中，因橫向加速度為零，所以切向慣性力與科里奧利力是等大反向的，如圖1所示（圖中十字區域為變角速轉動參考系中的受力示意圖），即

mr×ω·＋2mv′×ω＝0。B18

因為r與v′方向相反，所以ω·（角加速度）的方向與ω的方向相同，即角速度ω逐漸變大，與利用B16式得出的結論是一致的。

3" 結語

釋疑一：假設光滑水平面上一個靜止的物體受到水平向右的力的作用，并且這個力越來越大，那么毫無疑問，物體的速度會越來越大，這個結論的前提條件是力的方向始終必須保持不變。對于地球圍繞太陽做橢圓運動這一模型來說，該結論可以在變角速轉動參考系中直接應用，卻不能在靜止參考系中應用，因為在靜止參考系的極坐標系中徑向和橫向并不是恒定的方向，而在變角速轉動參考系中極坐標系的徑向和橫向是恒定不變的。并且在變角速轉動參考系中地球從遠日點到近日點的過程中，徑向方向的力先指向太陽逐漸減小為零，再背離太陽逐漸增大，徑向速度先增大后減小，方向始終指向太陽。

釋疑二：靜止參考系和變角速轉動參考系中的徑向速度是相等的，并且從遠日點到近日點的過程中，徑向速度是先增大后減小的，徑向速度的最大值對應于矢徑長等于橢圓通徑一半的位置，即圖1中的Q點。

釋疑三：從遠日點到近日點的過程中，地球圍繞太陽運動的角速度是逐漸增大的，這一點可以通過B16式判斷，也可以在變角速轉動參考系中根據B18式判斷。

釋疑四：在靜止參考系的極坐標系中，雖然橫向力始終為零，但是橫向這個方向是時刻變化的，所以橫向速率必然不守恒，那么為何是角動量守恒呢？其實通過本文的討論應該很容易發現，極坐標系會產生轉動效應，而這個轉動效應與對應的變角速轉動參考系產生的轉動效應是等價的（前提是這個轉動參考系必須是地球矢徑轉動形成的參考系，而不能隨意選取）。眾所周知，角動量守恒本身就是空間轉動不變性的體現，這樣一來也就不難理解為何靜止參考系的極坐標系中角動量是守恒的。

參考文獻

［1］ 周衍柏.理論力學教程（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2018：10.

［2］ 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程" 力學篇（第2版）［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2013：41.