經歷合理推理 培養科學思維

摘" 要：科學思維的形成需要經歷合理的推理過程，在定性和定量兩方面對相關問題進行歸納或演繹，在推理和論證的過程中尋找規律，從而建構科學思維的主要要素——模型。2022年高考全國甲卷理綜第25題考查了“小角原理”的應用，解答該題要求學生必須具備扎實的知識基礎和良好的科學思維素養。本文以“小角原理”在高中物理中的三個應用為例，探討科學推理在培養學生科學思維中的重要作用。

關鍵詞：科學推理；科學思維；“小角原理”

1" 引言

“科學思維”是物理學科核心素養的核心之一，是分析綜合、推理論證等方法在科學領域的具體應用。［1］直接告知學生結論或強行規定學生記住結論，學生無法深入理解知識，不能形成系統性的認知，不利于科學思維的形式。只有經過相對嚴格的推理論證，學生才能在獲取知識的過程中體會物理問題研究方法的應用，加深對知識的理解，從而有效地培養科學思維。

2022年高考全國甲卷理綜第25題，以光的反射和通電導體在磁場中受力為載體，考查了“小角原理”的應用。本文以“小角原理”在高中物理中的三個應用為例，探討科學推理在培養學生科學思維中的重要作用。

2" 真題呈現

（2022年高考全國甲卷理綜第25題）光點式檢流計是一種可以測量微小電流的儀器，其簡化的工作原理示意圖如圖1所示。圖中A為輕質絕緣彈簧，C為位于紙面上的線圈，虛線框內有與紙面垂直的勻強磁場；M為置于平臺上的輕質小平面反射鏡，輕質剛性細桿D的一端與M固連且與鏡面垂直，另一端與彈簧下端相連，PQ為圓弧形的、帶有均勻刻度的透明讀數條，PQ的圓心位于M的中心。使用前需調零；線圈內沒有電流通過時，使M豎直且與紙面垂直；入射細光束沿水平方向經PQ上的O點射到M上后沿原路反射。線圈通入電流后彈簧長度改變，使M發生傾斜，入射光束在M上的入射點仍近似處于PQ的圓心，通過讀取反射光射到PQ上的位置，可以測得電流的大小。已知彈簧的勁度系數為k，磁場磁感應強度大小為B，線圈C的匝數為N、沿水平方向的長度為l，細桿D的長度為d，圓弧PQ的半徑為r，rd，d遠大于彈簧長度改變量的絕對值。

（1）若在線圈中通入的微小電流為I，求平衡后彈簧長度改變量的絕對值Δx及PQ上反射光點與O點間的弧長s。

（2）某同學用此裝置測一微小電流，測量前未調零，將電流通入線圈后，PQ上反射光點出現在O點上方，與O點間的弧長為s1；保持其他條件不變，只將該電流反向接入，則反射光點出現在O點下方，與O點間的弧長為s2。求待測電流的大小。

圖2

試題解析：（1）在線圈中通入的微小電流為I，平衡時，有NBIl＝kΔx，故Δx＝NBIlk。

如圖2所示（為畫圖方便將角度做放大處理），設細桿D的偏角為θ，則可知反射光線轉過的偏角為2θ，由于Δxd，dr，故偏角θ非常小，由“小角原理”可知

sinθ＝Δxd≈θ，

則PQ上反射光點與O點間的弧長為

s＝2θr＝2NBIlrdk。

（2）當在線圈中通入正、反向電流時，反射光點分別在О點的上方和下方，弧長s1＋s2可以將未調零時的弧長抵消，和調零的效果一樣，則有s1＋s2＝4NBIlrdk，故I＝dk（s1＋s2）4NBlr。

總結：解決上述真題的關鍵在于對“小角原理”有較好的認識和對物理規律有正確的理解。只有具備正確的物理觀念和良好的科學思維，才能快速地解決該題。

3" “小角原理”的特點

“小角原理”是指當角度θ＜5° 時，弧度值、正弦值、正切值近似相等。［2］值得注意的是，“小角原理”并不是應用極限法的推導，而是基于事實近似之后的結果。弧度值、正弦值和正切值的小角對應關系如表1所示。

顯然，當角度θ＜5° 時，弧度值、正弦值、正切值近似相等。這一規律實際上不需要用高等數學方法來證明。θ＞5° 時，三者的差距越來越明顯，故當θ＜5°時，θ≈sinθ≈tanθ。

4" “小角原理”在教材中的主要應用

“小角原理”在中學教材中主要應用在單擺運動是否為簡諧運動的分析、折射現象中的“視深”問題和雙縫干涉中條紋中心間距的討論中。

4.1" 應用“小角原理”分析單擺運動是否為簡諧運動

單擺是機械振動中的主要模型之一，簡諧運動是高中物理重點研究的一種振動。運用回復力與位移的關系（F＝－kx）分析小角度單擺運動是否為簡諧運動的問題中需要應用到“小角原理”，需要教師帶領學生認真分析，最終得出近似相等的結論。

如圖3（a）所示，小球做單擺運動的回復力是由重力沿著切向的分力提供的，即F＝mgsinθ。當θ＜5°時，弧長s＝lθ≈lsinθ≈ltanθ。基于此，可將小球的運動等效為在同一水平面內的運動，如圖3（b）所示，則位移x≈ltanθ，

s≈x，可得sinθ≈xl，回復力與位移的方向相反，則有F＝－mglx，符合回復力與位移的關系式，故當θ＜5° 時，單擺做簡諧運動，同時可計算出單擺的振幅為A＝lθm≈lsinθm≈ltanθm（θm為最大偏角）。

圖3

若教師教學時不展示θ＜5° 時的弧度值、正弦值、正切值，而是直接告知學生三者近似相等，那么學生不但會對此心存疑慮，而且可能會認為使用的是極限法。這不利于學生對此知識點的理解及其在其他實際問題中的應用，不利于科學思維的培養。

4.2" 折射現象中的“視深”問題

“視深”是中學階段折射現象中的常見問題，常用“光線”模型進行定性分析，是“光線”模型的重要應用。由于學生數學知識儲備有限，高中階段只研究沿著界面法線方向觀察的定量“視深”問題。觀察時，光線實際并不是沿著法線進入眼睛，有一定的偏折角，故可采用“小角原理”來進行合理推導。在學習了單擺知識后，學生對“小角原理”已有了一定的認知，再來解決該問題就會水到渠成。

圖4

若從空氣向其他介質中觀察，為便于分析將角度畫得大一些（如圖4所示）。被觀察的物體實際深度 h＝OAtanr，“視深”h視＝OAtani，則h視h＝tanrtani，又n＝sinisinr≈tanitanr，則“視深”為h視＝hn。［3］若從其他介質向空氣中觀察，則“視深”為h視＝nh。

值得注意的是，應用“小角原理”推導“視深”的前提條件是進入眼睛的光線一定是發生小角度折射的光線，并不是一條沿著法線方向的光線。同時教師也可引導學生對光線發生大角度折射時的“視深”問題進行定量分析，

幫助學生

多角度理解光的折射現象。

4.3" 雙縫干涉中條紋中心間距的討論

由于教科書和參考書中描繪的雙縫干涉的模型圖比例尺具有很大偏差，而且推導雙縫干涉中條紋中心間距的過程中需要應用到長度近似相等，但近似處理的方法有很多，使得學生推得起來有一定的難度。利用“小角原理”來推導雙縫干涉中條紋中心間距時需要明確角度之間的關系，不能簡單地進行套用。

圖5

設雙縫間的距離為d，擋板與光屏間的距離為L，雙縫到某一亮條紋中心的距離分別為r1、r2（如圖5所示）。

由于光程差Δr＝r2－r1的數量級為10－7m，而雙縫間的距離d的數量級為10－4m，故光程差S2M對應的角θ非常小。同時雙縫到光屏的距離L的數量級為10－1m，遠大于雙縫間的距離d，可認為ΔS1S2M為直角三角形，則有Δr＝dsinθ，以及∠P1OP0＝θ，則x＝Ltanθ。根據“小角原理”（sinθ≈tanθ）可得 Δrd＝xL，則有x＝ΔrdL，若Δr＝λ，則有x＝Ldλ。

利用“小角原理”解題的難點在于角度關系的尋找，證明角度關系的合理性是學生使用該知識點的關鍵。“小角原理”的應用體現著科學思維建構的過程，只有經過合理的近似，較為嚴格的推理，才能提升學生對所探討的問題的認可程度，從而深入地理解物理規律，解決物理問題。

5" 結語

高中物理中，由于學生認知及所學知識的局限性，很多問題都是理想化的模型，需要學生具備“近似”的思想，但在學生能力范圍內的必要推導一定要進行，這有利于培養學生的科學思維。學習“小角原理”的應用時，學生已經具備一定的物理和數學的知識儲備，進行上述討論是合適的，也是必要的。只有在獲取知識的過程中，讓學生真正參與相關的推理論證過程，才能讓學生更加清晰地理解相關知識，才能更有效地提升學生的科學思維水平。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：4-5.

［2］劉杭州，宋書婷，趙新穎.透過釘擺看單擺——以2019年全國理綜卷 Ⅱ 第34題為例［J］.中學物理教學參考，2021，50（18）：69-70.

［3］楊云.視深問題的探究學習——新課程標準下高中物理教學的幾點嘗試［J］.物理教師，2011，32（6）：20-22.