各態歷經性的案例教學法研究

基金項目：國家自然科學基金“高時相星載SAR高速動目標探測方法”（62271028）

第一作者簡介：楊威（1983-），男，漢族，河北邯鄲人，博士，副教授，碩士研究生導師。研究方向為信號與信息處理。

*通信作者：門志榮（1988-），男，漢族，山東青島人，博士，講師。研究方向為合成孔徑雷達。

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.22.002

摘 要：平穩隨機過程的各態歷經性是工程應用中非常重要的概念。在隨機過程理論授課時，需要學生轉換思維去理解各態歷經性意義的同時，也要求學生能夠熟練掌握各態歷經性的物理含義。用傳統教學方式和公式列舉的推導方式教學，對于學生學習難度較大。該文將各態歷經性與工程應用案例相結合，通過從擲骰子的實驗結果引入對各態歷經性概念的理解，介紹各態歷經性的判定方法與物理意義，并借由航天微波遙感中噪聲抑制這一工程應用案例，進一步引發學生對各態歷經性應用的思考，充分理解各態歷經性的實際工程作用；最后根據各態歷經性的物理意義，引申到科研生活體悟的人生哲理，讓學生學習新概念的同時，在自身思想上也能有所提升。

關鍵詞：各態歷經性；隨機過程；案例教學法；航天微波遙感；課程思政

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）22-0007-06

Abstract： The states of smooth stochastic processes are very important concepts in engineering applications. In the lecture of "Theory of Stochastic Processes"， students are required to change their thinking to understand the meaning of each state ephemerality， and at the same time， they are required to master the physical meaning of each state ephemerality， which is difficult to learn by the traditional teaching method and the derivation of formulae. In this paper， we combine the state ephemerality with engineering application cases， introduce the understanding of the concept of state ephemerality from the experimental results of dice rolling， introduce the determination method and physical meaning of state ephemerality， and use the engineering application case of noise suppression in aerospace microwave remote sensing to further provoke students to think about the application of state ephemerides and fully understand the practical engineering role of state ephemerides; finally， according to the physical meaning of state ephemerides， it is extended to scientific research. Finally， according to the physical meaning of each state ephemerality， it can be extended to the philosophy of life in scientific life， so that students can learn new concepts and improve their own thinking at the same time.

Keywords： State ephemerality; stochastic process; case teaching method; aerospace microwave remote sensing; curriculum ideology and politics

隨機過程理論課程作為工程實踐的專業課，其重要性與工程應用能力不言而喻。因課程內容本身具有專業理論性強、數學公式推導多、概念晦澀難以理解的特點[1]，所以，對學生的數學推導能力和思維能力要求較高；加上此前課程教學方式多為“填鴨式”教學，使學生面臨該課程學習難度大，缺乏實踐經驗，不能學以致用等問題[2]。

平穩過程的各態歷經性在實際工程中應用廣泛，其概念與一般認知有所區別，若單純通過介紹公式與判定各態歷經性的方式進行講述，學生難以理解概念蘊含的理論指導意義，反而傾向于單純記住公式，忽略概念獨特的物理含義，輕視其在實際工程中的巧妙應用，無法將理論轉化為實踐，大大損失了課程設置的教育意義。

因此，教學方式尤為重要，既要保留課程本身數學性強的特點，又要培養學生“實際-理論-實際”的思維方式。近年來，多位教師對如何加深學生對課程的理解與掌握進行了教學改革的探索，也提出了多種教學方法在課程中的應用，例如比照推演式[3]、案例式、結合思政式等。基于隨機過程理論課程內容本身專業性強、邏輯性強的特點，授課時理論的闡述與講授必不可少，但可以結合諸多教學方式，引導學生從“實際”提出問題，從“理論”了解原因，再回歸“實際”解決問題。這種教學法可以激發學生學習熱情，調動學生思維，增進對課堂內容的理解，有利于學生將理論與實際相結合，在學習過程中形成學以致用的良性循環。

首先，通過擲骰子對比實驗結果，引導學生思考為什么會出現這種現象，進而提出狀態與時間作為隨機過程的兩個變量，復習鞏固曾經學習過的內容；并借由學生普遍接受狀態變量的相關概念，比照推演時間變量的相關概念，從而提出平穩隨機過程的各態歷經性這一概念以及判定方式，解釋實驗結果。然后，結合航天微波遙感中噪聲抑制實例，提出各態歷經性的應用意義，充分體現各態歷經性在解決實際問題上化繁為簡的能力，讓學生充分掌握概念本質的同時，也能意識到隨機過程本身具有極強的實用價值。最后，課程適度加入與各態歷經性實際物理含義相影射的人生哲理，讓學生不論是知識儲備還是自我思想上都能有新的收獲與理解。

一 教學內容

（一） 結合實例

模擬擲骰子實驗，擲骰子的方式不同，卻得出了相同的結果，讓學生回顧隨機過程的兩個變量——狀態變量與時間變量，由狀態維度比照推演時間維度，進而提出各態歷經性的特性與判定方法，并解釋實驗結果相同的原因。在此基礎上，提出一個在航天微波遙感中的應用實例——噪聲抑制，介紹各態歷經性是如何一步一步地解決實際工程應用中所遇到的問題。

（二） 重難點分析

1 重點內容

1）時間平均的概念：一般認為的平均是狀態平均，給定一個時間，對狀態量進行平均和自相關；若狀態平均為常數，自相關函數只和時間間隔有關。時間和狀態是一個隨機過程的兩個變量，時間平均是給定一個狀態，對該樣本函數進行長時間觀測，可以比照狀態變量的平均與自相關，理解時間平均的含義[4]。

2）平穩隨機過程的各態歷經性的定義：基于狀態與時間兩個變量的均值與自相關定義，引出均值各態歷經定理和自相關函數各態歷經定理，二者同時滿足，則稱平穩隨機過程是各態歷經的。其含義為時間均值與狀態均值相等，時間自相關與狀態自相關函數相等，可以理解為同一時間下統計隨機過程所有的狀態，與對其中一個樣本函數進行長時間的觀測，得到的統計結論是相同的[4]。

3）各態歷經性的判定方法：一是定義法，根據各態歷經性的定義，直接計算狀態均值和狀態自相關函數，以及時間均值和時間自相關函數，判斷兩者是否相等；二是定理法，從公式的角度給出了各態歷經性的判定方法，本質是揭示了狀態量和時間量之間的關系。各態歷經性的條件比較寬，許多工程實際問題可以應用相關概念，從而簡化解決[4]。

2 難點內容

各態歷經性的概念是以數學公式的形式給出來的，雖然在數學表達上非常簡單，就是統計平均（狀態平均）等于時間平均，狀態自相關函數等于時間自相關函數，但是其物理概念比較抽象、難以理解。歷屆的學生很容易在此混淆時間平均和狀態平均的概念。通過擲骰子實驗，兩種實驗方法得出同一個實驗結果，對比理解統計平均與時間平均本質上的異同。完整形式下的隨機過程包含兩個變量，狀態和時間，對多個隨機過程同個時間點下的狀態進行統計計算，便得到狀態量的統計值；對一個狀態的隨機過程，即隨機過程的一個樣本函數，進行長時間的觀察與積累計算，便得到時間量的統計值。

各態歷經性的物理概念就是隨機過程的狀態量與時間量相同，即計算同一時間下的諸多樣本，實質上與針對其中一個樣本進行長時間觀測，得到的統計量是等價的。再結合航天微波遙感中噪聲抑制的實例，利用各態歷經性，簡化得到目標參數的途徑，從需要對多臺設備在同一時間進行采樣，簡化為對一臺設備進行一段時間的采樣，從而降低成本，提高工作效率，以解決實際工程問題，加深學生對概念的理解與應用。

二 關鍵教學設計

（一） 擲骰子實驗的引入

課程開始，我們做這樣兩個擲骰子實驗：先模擬十萬個骰子，同一時間同時投擲出去，然后對得到的結果進行統計，結果出現1～6的次數相近、概率都接近1/6；然后，在10萬個骰子之間隨機取出一個，投擲10萬次，對這個結果也進行了統計，出現1～6的概率也接近1/6。

對結果進行概括可以發現，10萬個骰子投擲一次和1個骰子投擲10萬次，得到了相同的概率分布結果。如圖1所示，圖1（a）為10萬個骰子同時投擲1次的結果，圖1（b）為同一個骰子投擲10萬次的結果，二者結論相同。

為什么會出現這樣的現象呢？擲骰子為隨機過程，從實驗中可以看出，其變量有二，一是投擲的骰子個數，二是投擲的次數。隨機過程的完整形式為

式中：隨機過程包括兩個變量，t為時間變量，e為狀態變量。以一個余弦函數 為例，其中，？茲就是狀態量e，服從（0，２？仔）的均勻分布，t為時間量。

如圖2所示，圖中每一條豎直的虛線就是給定一個t，就會有一個隨機變量，如圖所示X（e，t1），此時隨機過程中只有狀態e是變量，t1是常數。對狀態量e分別求均值和自相關

式中：E（·）代表數學期望即均值，Ｒ（·）代表自相關函數，t1和t2為任意兩個時間點。如果均值為常數，自相關函數只和時間間隔有關，那么我們就說這個隨機過程是平穩隨機過程。

圖2 狀態量與時間量的區別

同樣，換一個維度進行分析，每給定一個狀態e，就會得到一個樣本函數，如圖2所示X（t，e1）等，此時，隨機過程中t是變量，e1，…，en是常數。比照推演下，也應該存在時間平均和時間自相關，定義如下

對于余弦函數X（？茲，t）＝cos（？棕0 t+？茲）而言，狀態均值E[X（？茲，t）]＝mX=0，狀態自相關函數R（t1，t2）=R（？子）=■cos？棕0？子；時間均值 ，時間自相關

函數 。

其時間平均均值和時間自相關函數分別等于狀態均值和狀態自相關函數，對于這種特殊的情況，稱之為具有各態歷經性的平穩隨機過程。

（二） 各態歷經性的定義與判定方法

設X（t）是一平穩隨機過程，若mXT=■=E[X（t）]=mX依概率1成立，即對任意的？著>0，有

則稱隨機過程X（t）均值具有各態歷經性。

若 依概率1成立，即對任意的？著>0，有

則稱隨機過程X（t）自相關函數具有各態歷經性。

若X（t）的均值和自相關函數都具有各態歷經性，則稱隨機過程X（t）是各態歷經過程，或說X（t）是各態歷經的。

由此可知，判定一個隨機過程是否為各態歷經的方法，第一個方法就是定義法。直接計算狀態均值和時間均值，狀態自相關函數和時間自相關函數，判斷兩者是否相等，是否都滿足各態歷經（圖3）。

圖3 定義法判定各態歷經性

第二個方法是定理法。平穩隨機過程滿足均值各態歷經性的充要條件為

平穩隨機過程滿足自相關函數各態歷經性的充要條件為

式中：

這兩種判定方法均可以證明隨機過程具有各態歷經的特征，比較常用的是定義法，定理法在計算上要較為復雜。

回顧課程開始的擲骰子實驗，是否滿足各態歷經。第一種情況，10萬個骰子投1次，相當于確定了時間，而狀態是變化的，因此我們分別計算狀態均值和狀態自相關函數，可得

第二種情況，1個骰子每投擲一次，相當于選擇了一個狀態，投擲10萬次則是長時間觀察得到的采樣值，時間均值很好求

且均值具有各態歷經性。但時間自相關函數不好求，采用定理法

因此得證， ，故滿足自相關函數各態歷經性。綜上所述，這個過程具有各態歷經性。

（三） 各態歷經性在工程上的應用

在研究中經常會遇到這樣的問題，即對一些設備的性能進行分析，獲得它們的一些特征參數。如果從狀態變量分析，就需要知道概率密度函數，而概率密度函數需要大量的觀測和試驗，需要多套設備或系統，工作量大、處理復雜，在很多領域這種方式難以實現。比如，我們想獲取一些航天設備接收機的噪聲特征，如果從狀態維度去分析，就需要在同一時刻對多臺設備接收通道進行信號采集，這種方式意味著需要生產多臺同樣的設備，所消耗的時間成本和金錢成本是巨大的。此時，如果我們所研究的對象具有各態歷經性，那么我們就能化繁為簡，從時間變量的角度，通過長時間的觀測獲取數據，完成特征的提取，且這種方式僅需要單套設備/系統，工作量小，處理簡單，易于實現。

舉一個在航天微波遙感中的應用實例：噪聲抑制。由于接收通道存在熱噪聲，因此在遙感圖像中噪聲總是存在的。抑制噪聲對圖像的影響，核心步驟：信號采集，噪聲特征的分析以及建模后在圖像中的應用。但這當中存在以下待解決的三個問題。

第一：噪聲和信號混疊怎么辦？如何獲取干凈的噪聲信號？

第二：如果能獲取干凈的噪聲信號？我們又去分析哪些有效特征？

第三：如果特征都獲取了，噪聲是否具有各態歷經性？可否在后續圖像應用中使用呢？

首先，在信號采集時，如果噪聲和信號混疊，我們設計了定標網絡，采用“不發只收”的方式（圖4），即衛星不對外發射信號，但把接收機打開，這時候采集到的信號就是接收通道的熱噪聲信號（圖5）。

圖5 噪聲信號

得到純凈的噪聲后，對噪聲進行進一步的分析。噪聲服從0均值的高斯分布，只要知道均值a和方差？滓2即可精確描述信號的概率分布函數

均值為0時，方差可由自相關函數計算得到

因此我們只需要分析噪聲的均值和自相關函數即可得到概率分布。

完成信號特征提取后，提取的參數在后續圖像中是否能應用，則需要判斷噪聲是否具有各態歷經性。采用前面所說的定理法。根據均值各態歷經定理，只需要證

明 ，即

同理，根據自相關函數各態歷經定理，只需要證明

即 。

解決了上述3個問題后，我們將成果應用在圖像處理中，可以看到，利用各態歷經性抑制噪聲，顯著提升了圖像的清晰度。如圖6所示。

（四） 各態歷經性反映出的課程思政

各態歷經性的本質是狀態量與時間量在統計學上的一致，時間和狀態兩個不同維度下的隨機過程，在均值和自相關函數的結果上相同。應用于解決實際工程問題時，如果從狀態維度上難以實現，那不妨轉換到時間維度上考慮問題，某些看似復雜的問題就會化繁為簡，達到事半功倍的效果。

其實這種轉換維度、化繁為簡的思想不僅可以應用在科研工程上，同樣可以應用于生活中[5-6]。遇到覺得難以解決問題或者事情，“死磕到底”未必有效，有時候轉換思維，從另一個角度看問題，或許就會發現事情并沒有想象的復雜，原來還有另外的解決途徑。就好比詩人蘇軾所作詩句“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中”告訴我們的道理一樣，換角度觀察事物，多維度冷靜分析，才能透過表象看清本質。

三 結束語

為幫助學生更好地學習和掌握隨機過程理論課程內容，本文以平穩隨機過程的各態歷經性為例，結合了擲骰子實驗、余弦函數等例子，從特殊中總結出一般，從實際引申到理論，將深奧難懂的物理概念簡化、具象化，更易于學生理解和吸收；并在系統介紹了各態歷經性的相關概念后，結合航天微波遙感工程實例，將理論應用到實際中來，突出了理論知識的應用價值，加深學生對所學知識的認識，形成學以致用、用以促學的良性循環[7]，更有利于引導學生發散思維主動思考，提高自身思維能力，讓學生對理論和工程實踐之間的聯系有了更深入的理解。

本文設計的教學課程在幫助學生學習和掌握各態歷經性本質的同時，也讓學生意識到數理概念不僅只是具有物理意義的，其中映射出的思想或道理，對人生同樣具有一定的指導意義[5-6]。最后，筆者通過實踐證明，在課堂教學過程中，相關案例的引入能讓學生對課程內容理解程度更深，接受度更高，課堂預期效果完成度更高。

參考文獻：

[1] 陳建華，李海燕，張榆鋒，等.《隨機過程》精品課程建設與教學改革探索[J].中國科技信息，2010（18）：283-284.

[2] 熊丹，吳傳菊.工科研究生隨機過程課程教學改革研究[J].高師理科學刊，2015，35（1）：67-70.

[3] 徐華平.比照推演式教學方法在工科“隨機過程理論”課的應用[J].高教論壇，2011（11）：41-43.

[4] 周蔭清.隨機過程理論[M].北京：電子工業出版社，2006.

[5] 孫兵，李建楠，李景文，等.平均互信息量的案例式教學方法研究[J].電氣電子教學學報，2022，44（4）：78-81.

[6] 孫兵，李建楠，李景文，等.“信息論基礎”課程教學中的思政元素設計[J].工業和信息化教育，2021（9）：83-86.

[7] 孫春香，李冠軍.基于創新人才培養目標下“應用隨機過程”教學改革探討[J].中國多媒體與網絡教學學報（上旬刊），2021（4）：80-82.