關(guān)于不定方程x3-1=151y2的整數(shù)解

收稿日期：2023-12-10

基金項(xiàng)目：普洱學(xué)院一流課程（2023YLKCZD010）。

作者簡(jiǎn)介：尹" 秘（2000-），女，云南曲靖，在讀碩士研究生，研究方向：不定方程。

通訊作者：王" 軍（1970-），男，湖南衡陽(yáng)，博士，講師，研究方向：橢圓曲線(xiàn)。

摘要：利用同余、遞歸數(shù)列、因式分解等相關(guān)性質(zhì)，證明了丟番圖方程x3-1=151y2有且僅有一個(gè)整數(shù)解（x，y）=（1，0）。

關(guān)鍵詞：整數(shù)解；不定方程；同余式；遞歸數(shù)列

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.1" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：" A" " " 文章編號(hào)：2095-7734（2024）03-0032-04

1引言

" 丟番圖方程一直是人們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，因?yàn)樗诿艽a學(xué)、編碼理論等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。另一方面，從二次丟番圖方程一直到高次丟番圖方程以及一些特殊類(lèi)型的丟番圖方程，其可解性沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的解決方法，對(duì)每一類(lèi)不定方程，需要具體問(wèn)題具體分析，從而采取行之有效的方法。例如佩爾方程x3-1=Dy2（D∈Z+，且D不含平方因子）的可解性問(wèn)題佐證筆者的看法。它一直是數(shù)論領(lǐng)域研究的一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題，不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究。關(guān)于它的研究進(jìn)展筆者概括如下。

" 柯召、孫琦[1][2]已經(jīng)完全解決了D中不含有3和6k+1型素因子的這類(lèi)不定方程，并證明了這類(lèi)丟番圖方程沒(méi)有整數(shù)解。而當(dāng)D中含有6k+1型素因子時(shí)，這類(lèi)不定方程x3-1=Dy2 的可解性是一個(gè)難以解決的問(wèn)題。[3]到目前為止，當(dāng)Dlt;100時(shí)，其可解性已經(jīng)被全部解決；[4]當(dāng)D=1，2，7，14，35，37，38，57，65，86，91時(shí)，無(wú)整數(shù)解；而對(duì)于其余的D僅有平凡解（x，y）=

（-1，0）。而Dgt;100時(shí)，只看到了一些零散的情況。[5-9]例如，魯偉陽(yáng)，高麗，郝虹斐在文獻(xiàn)[7]中證明方程x3-1=301y2 僅有整數(shù)解（x，y）=（1，0）；胡江美等人在文獻(xiàn)[10]中證明了方程x3+1=2019y2 的整數(shù)解，并得出了該方程僅有整數(shù)解（x，y）=（-1，0）；杜先存、萬(wàn)飛、楊慧章在文獻(xiàn)[11]中研究了丟番圖方程x3±1=1267y2的整數(shù)解，得出了x3-1=1267y2的整數(shù)解為（x，y）=（1，0），（60817，±421356），而x3+1=1267y2方程的解為（x，y）=（-1，0）。

" 雖然D含有6k+1的素因子已經(jīng)有不少的研究結(jié)果，但這類(lèi)方程的可解性仍沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的解決方法，因此，繼續(xù)研究它是非常有必要的。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)D=151時(shí)的情形進(jìn)行了研究。用遞歸數(shù)列、同余和因式分解等初等方法證明了不定方程x3-1=151y2有唯一的整數(shù)解。

" 為了完成證明，先給出如下一些引理。

2引理

引理1[12]不定方程4x4-3y2=1僅有正整數(shù)解（x，y）=（1，1）。

引理2[12]不定方程x4-3y2=1僅有整數(shù)解（x，y）=

（±1，0）。

引理3[13]不定方程x2-Dy4=1，僅有兩組正整數(shù)解。

引理4[13]當(dāng)Dlt;400時(shí)，其中D為3，5，8，14，15，18，

20，24，33，35，39，48，60，63，65，68，79，80，83，95，99，105，120，138，143，150，156，168，183，189，195，203，224，248，254，255，258，264，288，315，320，325，328，333，360，390，399時(shí)，方程x2-Dy4=1有正整數(shù)解。對(duì)其余的D，方程x2-Dy4=1無(wú)正整數(shù)解。

引理5[12][13]如果K是方程x2-Dy2=M的一個(gè)結(jié)合類(lèi)，而K的基本解是u0+v0■，則方程x2-Dy2=M屬于結(jié)合類(lèi)K的全部整數(shù)解可由x+y■=（u0+v0■）（x0+y0■）n，n∈Z表出，其中Pell方程x2-Dy2=1的基本解是x0+y0■。

引理6[12][13]設(shè)p是一奇素?cái)?shù)，且（a，p）=1那么

（1）x2≡a（modp）有解的充要條件是a■=1（modp）。

（2）x2≡a（modp）無(wú)解的充要條件是a■=-1（modp）。

引理7[12][13]設(shè)p是素?cái)?shù)且不定方程x2-Dy4=±p有整數(shù)解。則當(dāng)p|2D時(shí)，它有一個(gè)結(jié)合類(lèi)解；當(dāng)p 2D時(shí)，它有兩個(gè)互為共軛的結(jié)合類(lèi)解。

3主要結(jié)果及證明

定理：不定方程x3-1=151y2僅有整數(shù)解（x，y）=（1，0）。

證明：因?yàn)椋▁-1，x2+x+1）=1或3，則不定方程有以下4種可能的情形：

情形（一）：x-1=151z2，x2+x+1=w2，y=zw，（z，w）=1；y，z∈Z

情形（二）：x-1=z2，x2+x+1=151w2，y=zw，（z，w）=1；y，z∈Z

情形（三）：x-1=453z2，x2+x+1=3w2，y=3zw，（z，w）=1；y，z∈Z

情形（四）：x-1=3z2，x2+x+1=453w2，y=3zw，（z，w）=1；y，z∈Z

" 下面分別討論這4種情形：

情形（一）：由x2+x+1=w2得出x=0，-1，將x=0，-1代入方程x-1=151z2中，顯然不成立。

情形（二）：由x2+x+1=151w2得到（2x+1）2-151（2w）2=-3。因?yàn)椴欢ǚ匠蘕2-151Y2=-3有兩個(gè)共軛的結(jié)合類(lèi)解，基本解分別為86+7■，-86+7■，所以X2-151Y2=-3的全部解分別表示為：

X+Y■

=±（xn+yn■）

=±（86+7■）（un+vn■）

=±（86+7■）（1728148040+140634693■）n

和

X+Y■

=±（xn+yn■）

=±（-86+7■）（un+vn■）

=±（-86+7■）（1728148040+140634693■）n

其中1728148040+140634693■是U2-151V2=1的基本解。因此有2x+1=±xn或2x+1=±xn，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)4種情況，容易得到xn=-x-n，yn=y-n。當(dāng)2x+1=±xn，n∈Z時(shí)，有2z2+3=±xn。

易驗(yàn)證下面的遞推公式成立：

un+2=3457496080un+1-un，u0=1，u1=1728148040；（1）

vn+2=3457496080vn+1-vn，v0=0，v1=140634693；（2）

xn=86un+1057vn，xn=-86un+1057vn；（3）

xn+2=3457496080xn+1-xn，x0=86，x1=297271601941；（4）

xn+2≡-x（mod2）（5）

由（4）和（5）式知，當(dāng)2|n時(shí)，則2|xn，但2 2x+1，從而2z2+3=±xn不可能成立。因此，只需要考慮當(dāng)2 n時(shí)，2z2+3=±xn這兩種情形。

（i）當(dāng)2z2+3=xn時(shí)，由（4）式得x2k+1≡1（mod3），然而2z2+3≡-1，0（mod3），顯然矛盾。因此，當(dāng)2 n時(shí)，2z2+3=xn不可能成立。

" （ii）當(dāng)2z2+3=-xn時(shí)，由（4）式得x2k+1≡（-1）k7（mod19）。從而4z2=2x2k+1-6≡（-1）k14-6（mod19），則有-2x2k+1-6≡8（mod19），k=2m-1（mod19），k=2m+1，k=2m∈Z。當(dāng)k=2m時(shí)，假設(shè)x2≡-2x4m+1-6（mod19）有解，由8■=89≡-1（mod19）知x2≡-1（mod19）矛盾，因此x2≡

-2x4m+1-6（mod19）無(wú)解。當(dāng)k=2m+1時(shí)，假設(shè)x2≡

-2x4m+1-6（mod19）有解，-2x4m+3-6≡-1（mod19），x2≡-1（mod19），則產(chǎn)生矛盾。因此x2≡-2x4m+3-6（mod19）無(wú)解。

" 綜上所述，當(dāng)2 n時(shí)，2z2+3=±xn不可能成立，于是知情形（二）無(wú)解。

情形（三）：由x2+x+1=3w2得（2w）2-3（■）2=1。將x-1=453z2代入得（2w）2-3（302z2+1）2=1，則會(huì)有|2w|+（302z2+1）■=rn+sn■=（2+■）n，其中（2+■）n，n∈z給出了當(dāng)Rgt;0時(shí)Pell方程R2-3S2=1的所有整數(shù)解。因此有sn=302z2+1，n∈z，易驗(yàn)證下列的遞推公式成立：

sn+2=4sn+1-sn，s0=0，s1=1" （7）

rn+2=4rn+1-rn，r0=1，r1=2 （8）

rn+1=2rn-3sn，sn+1=rn+2sn （9）

r2n=r■■-3s■■，s2n=2rnsn（10）

r■■-3r■■=1，（rn，sn）=1 （11）

由（7）式得s4k≡0（mod4），s4k+1≡1（mod4），s4k+2≡1（mod4），s4k+3≡1（mod4），下面分情形討論：

" （A）當(dāng)n=2m時(shí)，根據(jù)（10）式得s2m≡0（mod2），但sn=302z2+1≡1（mod2）矛盾，所以在此情形下方程無(wú)解。

" （B）當(dāng)為n=2m+1時(shí)。

（1）當(dāng)m=2k時(shí)，由302z2=s4k+1-1=r4k+2s4k-1=r■■+3s■■+4r2ks2k-（r■■-3s■■）=2（3s2k+2r2k）s2k=2r2k+1s2k得151z2=r2k+1s2k。由于（r2k+1，s2k）=（2r2k+3s2k，s2k）=（2r2k，s2k）=2，所以不妨設(shè)z=2uv，其中g(shù)cd（u，v）=1，則有如下幾種情形：

" （i）當(dāng)r2k+1=2×151u2，s2k=2v2時(shí)，有r■■-12v4=1。根據(jù)引理4可知，r■■-12v4=1無(wú)正整數(shù)解，故僅有整數(shù)解（±1，0）。從而有rk=1，sk=0，當(dāng)sn=302z2+1≡1（mod2）時(shí)，原方程無(wú)解。

（ii）當(dāng)r2k+1=2u2，s2k=2×151v2時(shí)，有4u4-3s■■=1。根據(jù)引理1得，4u4-3s■■=1有且僅有（u，s2k+1）=（1，1）這組正整數(shù)解，即r2k+1=2，s2k+1=1。當(dāng)v=0，z=0，w=1時(shí)，求出原方程的解為（x，y）=（1，0）。

" （2）當(dāng)m=2k+1時(shí)，由302z2=s4k+3-1=r4k+2+2s4k+2-1=r■■+3s■■+4r■■s■■=2（3s■■+2r■■）s■■=2r■■s■■，151z2=r■■s■■，（r■■，s■■）=（2r■■+3s■■，s■■）=（2r■■，s■■）=1，所以不妨設(shè)z=uv，（a，b）=1，則有：

" （i）當(dāng)r■■=151a2，s■■=b2時(shí)，r■■-3b4=1。根據(jù)引理3知，方程r■■-3b4=1最多有兩組正整數(shù)解，從而知該方程的非負(fù)整數(shù)解為（r■■，b）（1，0）（2，1）（7，2）。因?yàn)閎是奇數(shù)，則r■■=2，b=1，v=0，z=0，w=1。此時(shí)，原方程的解為（x，y）=（1，0）。

" （ii）當(dāng)r■■=a2，s■■=151b2時(shí)，有a4-3s■■=1。根據(jù)引理2可知，方程a4-3s■■=1僅有整數(shù)解為（a，

s■■）=（1，0）。此時(shí)，求出原方程的解為（x，y）=（1，0）。

" 綜上所述，方程x3-1=151y2在情形（三）的條件下僅有整數(shù)解為（x，y）=（1，0）。

情形（四）：由x2+x+1=3×151w2得（2x+1）2-3×151（2w2）=-3。由x-1=3z2，得（6z2+3）2-453（2w2）=-3。因?yàn)椴欢ǚ匠蘕2-453Y2=-3有且僅有一個(gè)結(jié)合類(lèi)解，其基本解是1575+74■，因此X2-453Y2=-3的全部解可表示為

X+Y■

=±（xn+yn■）

=±（1575+74■）（un+vn■）

=±（1575+74■）（1653751+77700■）n

其中1653751+77700■是Pell方程U2-3×151V2=1的基本解。設(shè)6z2+3=±xn，從而有（6z）2=

±6xn-18。容易得到下列遞推公式：

un+2=3271502un+1-un，u0=1，u1=1653751 （12）

vn+2=3271502vn+1-vn，v0=0，v1=77700" （13）

xn+2=3271502xn+1-xn，x0=1575，x1=5209317225 （14）

由（14）得xn≡0（mod5），但6z2+3≡z2+3≡-1，2，3（mod5）。因此6z2+3=±xn不可能成立，則情形（四）無(wú)解。

" 綜上所述，不定方程x3-1=151y2僅有整數(shù)解（x，y）=（1，0）。

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On the Integer Solutions of the Indefinite Equation x3-1=151y2

YIN Mi， XIANG Wanguo， WANG Jun*， SHANG Yu

（School of Mathematics and Computer Science，Yunnan Minzu University，Kunming 650504，Yunnan; College

of Mathematics and Computer Science， PuEr University，Pu'er 665000，Yunnan，China）

Abstract：This paper has proved that the Diophantine equationhas and only has one integer solution，by using the congruence，recursive series，factorization and other related properties.

Keywords：integer solution; indefinite equation; congruences; recurrent series