“分式”章起始課的教學設計與思考

[摘 要] 分式是初中階段重要內容之一. 研究者以“分式”的章起始課為例，具體從“問題定位起點，凸顯概念;類比喚醒經驗，構建方法;實驗揭示原理，思維生長;生活實際應用，拓展思維”等方面展開教學，并談幾點思考.

[關鍵詞] 章起始;教學;分式

觀察各個版本的數學教材，會發現每章的開頭都安排了章前圖、章引言或章節學習目標等，這些內容都是可以用來作為拓展章起始課的學習材料，對激趣啟思具有重要意義. 然而，當前仍有部分教師沒有對章起始課引起重視. 殊不知，章起始課是實施結構化教學的基礎，其內容豐富，蘊含著整個章節的核心知識與關鍵思想，具有統領章節的作用，對促進學生個體發展具有重要價值[1]. 本文以“分式”的章起始課為例談章起始課的教學設計，并展開教學反思.

教學簡錄

1. 問題定位起點，凸顯概念

問題1 若已知一個長方形的面積為10 m2，長為4 m，根據這個條件能獲得什么結論？

學生表示可獲得長方形的寬為m，教師趁機追問：如圖1，已知長方形的長為a m，面積為10 m2，那么該長方形的寬是多少米？

毫無懸念，學生快速分析出長方形的寬為 m.

追問：若已知某個長方形的面積為b m2，長為a m，該長方形的寬是多少米？

設計意圖 長方形是初中學生非常熟悉的一類平面幾何圖形，對根據長寬求面積每個學生都駕輕就熟. 用字母來表示長方形的長寬，屬于一種順應學生原有認知經驗的淺層抽象，這種抽象能將分式的基本形態展現出來，讓學生更加自然地接受分式的形成與存在意義.

問題2 若準備將一些橘子分給若干名學生，每個學生能分到幾個橘子？

這個問題條件比較模糊，大部分學生都認為條件中沒有“數”，不好決定怎么分配. 為了突破沒有數的問題，有學生提出通過“設未知數”來解決問題，即用字母來表示數. 具體為：設有x個橘子，y名學生，那么每個學生可獲得個.

追問1：若砂糖橘有a個，黃巖橘有b個，有4名男生，m名女生，平均每人能分得幾個橘子？

“分東西”是生活中常見的一種現象，教師所提出的問題沒有涉及數的目的在于喚醒學生的符號意識，讓學生自主想到設未知數來表達相應的問題，以體會分式的生活意義. 此處，學生列式為. 為了進一步啟發學生的思維，教師要求學生思考如下幾個問題：①以上幾個問題的結論，都是通過什么運算獲得的？（除法）②各個式子具有哪些相同點？（均為整式）③之前我們探討過整式的加法、減法、乘法，大家覺得接下來該研究什么了？（整式除法）.

在學生順利完成以上幾個問題后，教師帶領學生一起進行如下操作活動，要求各組學生互相配合，將手中的信封按照如下活動規則進行操作：各組安排4名學生共同參與，甲生從信封里抽出一張卡片，乙生抽出第二張，丙生將兩張卡片上的式子進行除法擺放，組成新的式子，丁生代表小組成員發言.

通過活動結論的展示，師生、生生共同討論哪些式子屬于分數，哪些式子屬于整式，剩下的式子因為分母中含有字母，因此既不屬于整式，也不屬于分數. 此時，教師揭曉答案——分式，并強調這就是本章節將要探討的內容.

設計意圖 “分橘子”活動，意在引導學生用數學的眼光和數學的思維來觀察與思考現實世界，隨著問題符號化的應用，學生逐漸抽象出分式的基本形態，并自主發現整式的除法運算. “拼式子”活動的開展，將兩個整式相除所存在的三類情況都展示出來，分別為分數、整式與分式. 學生通過對式子的觀察、分析與類比，去除可確定的分數與整式，剩下的就是分式了，通過對剩下式子的觀察，即可明確分式的定義.

2. 類比喚醒經驗，構建方法

師：大家聽到“分式”這個詞語，首先會聯想到什么詞語？

生1：分數.

在此基礎上，教師要求學生說說在小學階段研究過分數的哪些內容，學生如數家珍，有分數的運算，如加法、減法、通分、約分，還有用分數解決實際問題等.

師：類比分數，大家覺得本章節我們研究分式，可能會探索哪些內容呢？

生2：可能會研究分式的概念、性質、運算、應用等知識.

設計意圖 分數是學生熟悉的內容，將學習分數的內容與方法提取出來與分式進行類比，一方面可喚醒學生研究分數時的經驗，讓學生通過對知識的整理從整體上回顧分數相關內容;另一方面為分式章節的學習搭建研究框架，讓學生學會站到宏觀的角度來審視章節教學內容，發展數學觀，真正促進思維的發展.

3. 實驗揭示原理，思維生長

師：確實，分式與分數存在不少類似的地方，分式究竟是否存在與分數類似的性質呢？請大家回憶下分數的性質，思考：若=，那么=嗎？

學生認為相等，但這僅僅是個猜想，想要證明猜想是否準確，還需進一步驗證. 但學生一下子想不到用什么辦法來驗證這個猜想，教師做如下引導：

師：現在我們回過頭來觀察圖1，圖中的10代表什么意思？

生：表示長方形的面積是10 m2.

師：那么10×2表示什么意思呢？

生3：表示兩個相等大小長方形的面積.

師：若我再給你們提供一個完全一樣的長方形，此時可以確定a×2代表了什么意思？

生4：代表了兩條長度均為a的線段或長為2a的線段.

師：能否用長方形紙片來探索這個問題？

如圖2，學生自主準備兩張長方形紙片，疊放到一起組成一個大的長方形，該長方形的一條邊長為2a，面積為20 m2，那么該長方形的另一條邊長為=，由此可確定該猜想成立. 再分析N個大小一樣的長方形進行類似拼接，有=.

為了進一步深化學生對分式運算的認識，教師帶領學生運用逆向思維進行分析：將圖1的長方形進行分割，若分割成兩個大小完全一樣的長方形，那么每個長方形的面積就是10÷2，長為a÷2，寬并沒有發生變化. 若按照這種分割方法繼續分割，將圖1分割成N個大小一致的長方形，有==.

通過以上探究活動的開展，學生充分認識到分式與分數同樣擁有類似的性質，接下來依然借助長方形紙片來研究分式的運算. 要求學生將兩張完全一樣大小的長方形換一種方式拼成一個大長方形.

如圖3，拼接而成的大長方形的長為+. 就這個式子的計算問題，師生進行了交流與探索，首先從分數的計算出發，回顧同分母的分數相加時，分子相加即可. 按照這個規則，學生提出這個式子相加的結論應為. 為了驗證這個結論是否正確，繼續回到圖形中來分析，拼接而成的長方形面積是20，寬為a，那么長就是，驗證成功.

也有學生提出，這個式子比較特殊，如果遇到+該怎么計算呢？學生一致猜想結論為. 借助數形結合思想分析，與可分別視為面積是p與q，寬均是a的長方形的長. 由于這兩個長方形的寬是相等的，如圖4，將它們拼成一個大長方形，以形助數可知拼接而來的長方形長為，由此進一步證實了猜想的正確性.

如圖5，借助類似的方法驗證-=，即將兩個等寬的長方形疊放在一起，未覆蓋到的陰影部分的寬就是差.

師：以上我們探究的是同分母情況下的分式加減，現在我們來探索異分母情況下的分式加減問題，同樣類比異分母的分數運算，大家說說如何計算+.

生5：先通分，將兩個分數轉化成分母一樣的分數，而后計算.

師：由此類推，異分母的分式該怎么處理？如遇到+的情況，怎么辦？

生6：同樣考慮將兩個分式轉化成同分母的分式，即+=+=.

師：非常好！現在我們掌握了同分母與異分母的分式加減運算，那么分式的乘除運算該怎么處理呢？

生：應該也是類比分數乘除運算進行處理.

設計意圖 知識的內部發展與邏輯推理有著密不可分的聯系，分式與分數在結構上有著高度相似性，其運算法則是否有聯系呢？圖形的拼接詮釋了這個問題. 此環節，著重在學生猜想的基礎上進行驗證，將抽象的數學原理變成直觀可視化的圖形，數形結合思想的應用，不僅幫助學生建立了良好的數學思維模式，還進一步提升了學生的推理能力.

4. 生活實際應用，拓展思維

問題3 某人準備從蘇州去往北京，已知這兩座城市間的距離為1237千米，可選擇的交通工具有高鐵與動車，若高鐵的車速為a km/h，那么乘坐高鐵需要耗費多少時間？如果動車車速為高鐵速度的0.7倍，乘坐動車需要多少時間抵達北京？若高鐵比動車少2小時抵達，嘗試用方程描述數量關系.

設計意圖 這是一個學生熟悉的生活性問題，此問的設計意在充分調動學生的探索欲，引出“分式方程”，讓學生對解分式方程產生內驅力.

教學思考

1. 確立教學主線，確保知識的完整性

英國威廉·布萊克認為：自然界是一個連貫統一的整體，數學學習同樣如此. 數學學科本就是一個體系化的整體，知識與知識之間存在一定的聯系，如知識各部分之間或同一內容的前后邏輯關系都體現出整體性[2]. 結合章起始課的教學特征，就是要想方設法讓學生通過學習建構系統化的研究思路與知識框架，明晰知識與知識間的聯系.

就本節課而言，教材明確寫出來的內容屬于教學“明線”，如分式的概念、基本性質、運算、解分式方程等都屬于知識脈絡，教學是圍繞這些知識點而展開的. 若僅關注知識的掌握與理解程度還不夠，真正意義上的章起始課教學還要注重以知識為載體發展學生的思維，將隱性的數學思想方法、活動經驗等揭露出來.

2. 在“做中學”，保持邏輯的連貫性

讓學生掌握研究方法是數學教學的根本目的，因此教師應注重引導學生通過“做中學”來訓練思維，發展“三會”能力. 在章起始課教學中，教師可帶領學生通過實踐操作的方式感知知識研究的基本套路，基于結構、邏輯等項目幫助學生厘清思想方法的一致性與邏輯思維的連貫性.

本節課，將“想數學”與“做數學”兩種學習方法有機地結合在一起，以確保學生邏輯思維保持連貫性. “想”指學生通過與分數運算的類比，形成猜想;“做”是指通過操作驗證猜想的科學合理性. 隨著長方形面積、寬度與長度的變化，學生的思維也隨之變得深刻. 由此可見，以“做中學”為支架的數學教學是解決數學內部矛盾，發展學生推理能力的重要舉措.

3. 立足高立意目標，促進思維的系統性

從哲學的角度來看，章起始課的教學設計需要從宏觀的角度來實施，應將塑造完整的“人”作為教學的方向，讓學生具備“學一課，知整章，鏈全冊”的視野，將系統與要素、要素與要素間的聯系作為研究對象[3].

本節課中，教師對分式的概念、性質、運算以及應用等的教學采取了一般化策略，沒有將每一部分的內容展開進行詳細的研究，而是遵循知識生長路線借助數形結合思想與類比思想來實施，讓學生充分感知分數與分式間的聯系，并借鑒分數的研究方法來分析分式的相關內容. 從某種意義上來說，這是促進學生思維系統化的途徑.

總之，章起始課教學是發展學生數學核心素養的重要途徑. 教師應從思想上與行動上充分重視章起始課教學，讓學生通過一節課的學習獲得一章節的核心知識，搭建知識框架，提煉數學思想方法，以進一步完善認知結構，為后續學習奠定基礎.

參考文獻：

[1]余建國. 讓章起始課的教學設計更大氣——以“向量的概念及表示”為例[J]. 數學教學研究，2014，33（09）：19-23，28.

[2]章建躍. 注重數學的整體性，提高系統思維水平（續）——人教版《義務教育教科書·數學》九年級下冊介紹[J]. 中學數學教學參考，2015（08）：4-6.

[3]黃玉華. “高立意”下的章節統領課教學實踐與思考——以“分式”教學為例[J]. 中學數學，2017（24）：23-25.