應用多樣證明方法 實現思維自然生成

[摘 要] 幾何課教學中，教師要認真籌備，預設各種各樣的證明思路，引導學生應用不同的方法證明，以此幫助學生積累豐富的證明經驗，提高學生的分析和推理能力. 另外，教師要創造機會讓學生經歷證明思路形成的過程，逐步得出某些數學結論或關系，以此實現學生思維的自然生成，提高學生數學學習能力.

[關鍵詞] 過程;自然生成;數學水平

幾何推理與證明既是初中數學教學的重點，又是困擾師生的難題. 此類問題之所以難，一是幾何圖形復雜多變;二是證明思路復雜多樣. 證明時，學生觀察的角度不同，添加輔助線的方式不同，其證明方法也會有所不同，這也給作業批改帶來了挑戰和壓力. 在實際教學中，教師應引導學生從多樣性的證法中尋找解決問題的一般思路與方法，以此讓學生掌握一定的解題方法與思維方式，提高學生解題效率和解題信心. 筆者在教學“矩形對角線相等”這一性質時，引導學生應用多樣的方法證明結論，以此助力學生生成數學思維.

教學案例

“矩形的性質與判定”是平面幾何的重點內容，它既是平行四邊形的延續，又為后面正方形的學習提供了知識和方法保障. 而“矩形的對角線相等”這一性質是本課的核心內容，為了體現核心內容的價值，教師不能簡單地將結論呈現給學生，而是應該引導學生經歷性質定理的推導過程，這樣不僅可以幫助學生深刻地理解知識，而且可以幫助學生掌握一定的解題方法，提高幾何思維水平.

1. 課前分析

在本課前，學生已經學習了平行四邊形的性質及判定，具有一定的分析和推理能力，這為多元探究的開展打下了基礎.

2. 課前預設

教學中，學生通過折疊、測量等活動猜想“矩形對角線相等”，但是猜想不能作為結論，為此本節課的重點為“矩形對角線相等”這一猜想的證明. 結合已有認知，學生可以應用以下三種方法證明兩條線段相等：

（1）利用全等三角形證明兩條線段相等. 通過簡單的處理，使得所證的兩條線段所在的三角形全等.

（2）利用等腰三角形的判定定理證明兩條線段相等. 若兩條線段恰好在同一三角形中，則可以直接證明;否則需要根據圖形的結構特點變換構造，從而得到符合條件的等腰三角形.

（3）利用等量代換證明兩條線段相等. 該方法需要尋找中間量來傳遞，難度略大. 對于尋找相等的中間量，一般會涉及線段垂直平分線的性質、平行四邊形和直角三角形的性質等內容.

結合以上分析不難發現，證明“矩形對角線相等”可以應用多種方法. 教師要鼓勵學生嘗試從不同角度證明，以此發散學生的數學思維，幫助學生積累活動經驗.

3. 教學片段

問題呈現：如圖1，已知矩形ABCD，連接AC，BD，求證：AC=BD.

問題給出后，教師讓學生以小組為單位，盡量多地尋找證明方法. 學生積極思考、交流，課堂氣氛活躍.

生1：我們小組通過證明△ABC≌△DCB，得到AC=BD.

師：你們是怎么想到的呢？

生1：因為線段AC，BD分別在△ABC，△DCB中，所以若能證明△ABC和△DCB全等，問題即可迎刃而解. 根據矩形的定義，易證兩個三角形全等.

師：很好，利用全等三角形的性質證明線段相等是一個非常重要的方法. 還有其他證明方法嗎？

生2：我們小組從矩形的自身特點出發，利用勾股定理證明了兩條線段相等. 如圖1，線段AC，BD分別是Rt△ABC和Rt△DCB的斜邊，而兩三角形的直角邊AB與CD、BC與CB分別相等，根據勾股定理易證AC=BD.

師：也不錯，利用特殊圖形的性質來解決問題是非常重要的手段. 還有其他方法嗎？（學生不語）

師：是否存在這樣一個中間量，可以溝通線段AC和BD呢？（學生積極思考，嘗試通過平移變換構造中間量）

生3：如圖2，將AC平移，這樣可以確定中間量DE. 利用垂直平分線的性質易證BD=DE，又AC=DE，從而得到AC=BD.

師：很好，請詳細說一說你的證明過程.

生4：過點D作DE∥AC，交BC的延長線于點E. 又AD∥BE，所以四邊形ACED是平行四邊形，所以AD=CE，AC=DE. 又BC=AD，AD=CE，所以BC=CE，又∠DCB=90°，所以DC垂直平分BE，于是有BD=DE. 所以AC=BD.

在生4給出構造法后，學生探究的積極性高漲，在此基礎上又得到了其他構造方案.

生5：生4是通過AC確定中間量，也可以通過BD確定中間量. 過點B作AC∥BF，交DC延長線于點F，如圖3. 其證明方法與上面相同.

師：生4和生5利用平移和垂直平分線的性質證明了以上結論，還有其他方法嗎？

生6：還可以利用軸對稱變換來構造. 如圖3，延長DC至點F，使CF=DC，連接BF. 根據以上經驗易證四邊形ABFC是平行四邊形，所以AC=BF，所以AC=BD.

生7：如圖4，取BC中點G，連接OG. 根據已知易證OG是△ABC的中位線，所以OG∥AB，故∠OGC=∠ABC=90°，即OG垂直平分BC，所以OB=OC. 在矩形ABCD中，AC=2OC，BD=2OB，所以AC=BD.

師：非常好，生7利用構造中位線同樣證明了結論. 對于同一問題，思考的方向不同，其證明的方法也會不同，在平時的練習中，我們要多看、多想、多做，這樣往往會收獲更多.

教后反思

數學教學的目的不單是要學生掌握知識，更重要的是培養學生自主學習能力，要讓學生學會學習. 教師作為課堂教學的組織者、啟發者，要提供機會讓學生去思考、去發現、去嘗試，以此生成多種思想方法，提高思維品質.

1. 深度挖掘教材，理解知識本質

在日常教學中，部分教師認為教學的重心應放在概念、公式、定理等基礎知識的應用上，所以在該性質定理的教學過程中，他們利用全等簡單證明矩形對角線相等這一性質后，就給出大量的練習讓學生強化鞏固. 而定理的證明蘊含著多樣的思想方法，若教學中忽視有效拓展，則錯失了一次提升學生幾何思維能力，發展學生實踐能力的機會. 同時，若教學僅僅是“講授+練習”，將影響學生參與課堂的積極性，影響課堂教學效果. 因此，在課堂教學中，教師要深度挖掘教材，引導學生從不同角度思考和解決問題，讓學生體驗解決問題的多樣性，培養創新意識，提高解決問題的能力. 另外，教學中追求多種證明方法，不僅可以提高學生參與課堂的積極性，激活學生的思維，而且可以實現知識的橫縱聯系，培養學生良好的思考習慣. 例如，生7之所以聯想利用中位線來證明這一性質，其實是對前面幾種證明方法的延伸. 既然兩條線段相等，那么兩線段的一半自然也相等，由此聯想到中位線，而中位線恰好是不久前學習的知識，這樣通過有效的拓展與延伸，實現了知識的完美銜接.

2. 鼓勵多角度探究，提升思維品質

不同的學生，其學習能力、思維方式不同，為此在證明中會出現不同的結果. 在日常教學中，若教師僅僅將多樣的證明結果呈現給學生，不僅不利于學生提升分析和解決問題能力，而且會增加學習負擔. 在實際教學中，教師要提供機會讓學生自己去思考，并在適合的時機進行啟發和引導，繼而讓學習自然而然地發生. 例如，在本課教學中，教師將證明的主動權交給學生. 學生利用全等三角形和勾股定理證明結論后，教師沒有結束該問題的探究，而是繼續啟發學生思考，引導學生構造中間量，學生又發現了多種證明方法，有效激發了學生的潛能，促進了學生思維的生成.

總之，教學中，教師要認真理解教材、理解學生，以學生原有認知為出發點，充分預設，充分發揮個體差異優勢，引導學生多角度探究，以此提高學生數學思維能力.