“新質生產力”引領下的數學成長型思維培養

[摘 要] 新質生產力不僅代表著先進的教育技術，教學方法和手段的更新迭代，更代表著教育理念和育人模式的創新. 初中數學壓軸題不應當被學生當作一道難以逾越的鴻溝，教師可以通過恰當的教學方式，讓學生轉換思維，糾正這一錯誤觀念. 文章以分析一道壓軸題為例，展示不同的解題方法與思維方式，強調教師應通過創造挑戰和鼓勵探索的教學方式培養學生的成長型思維，提高他們解決問題的能力.

[關鍵詞] 成長型思維;壓軸題;初中數學

很多時候，教師容易忽略試卷最后一題的講解，認為最后一題講了也沒多大用處，就算這題懂了，如果下次換一道題，大部分學生還是不會做. 既然這樣，還不如將講課的重點放到前面的中等題或中難題上. 學生只要把前面的部分都做對了，也一樣可以拿到高分，畢竟不是所有學生都有做壓軸題的天賦. 這種教學習慣很容易導致一部分學生認為最后一題可以放棄. 這種思維方式，我們將其叫作固定性思維. 擁有該種思維方式的學生認為人的智力、能力等素質是固定不變的. 顯然，如果在數學中用這樣的思維學習，將不利于學生數學素養的成長與發展. 所以，教師應當在課堂上幫助學生發展成長型思維，讓學生相信能力是可以通過學習得到成長的.

理論基礎

2022年國際學生評估項目（PISA）測試的分析結果表明，成長型思維模式可以幫助學生克服與成績相關的焦慮. 事實上，學生在數學這門學科上的成績焦慮，可以說是所有學科里面最為靠前的，數學成績的每次上下波動，都會強烈牽扯到學生和家長的情緒.

成長型思維最早由斯坦福大學的Carol Dweck及其團隊提出，即具有成長型思維的學生認為自身的智力和能力是可以通過學習或努力而改變的. 研究表明，學習可以刺激大腦增長，并強化突觸之間的連接. 強大的神經網絡能讓學習能力提升，即智力與能力確實可以通過學生自身的學習與努力得到發展.

筆者對某次周練試卷的最后一題進行解題思路分析，希望幫助學生認識到最后一題并不是洪水猛獸，而是可以被攻克的，學生的數學能力也不是固定不變的，可以通過學習得到提升.

試題再現

已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分別為射線AC，線段AB上的點，且AD=BE. 連接DE，將DE繞點E逆時針旋轉90°后得到FE，連接DF與BC交于點M.

（1）如圖1，當tan∠ADE=，AE=時，求BE的長;

（2）如圖2，連接AF，N為線段AF的中點，連接MN，求證：BE=MN.

解題分析

1.第（1）問的思路分析

此問的條件較為具體，教師可引導學生從“tan∠ADE=”這一條件出發，進行思考. 在此條件下，我們通常會想到兩種方法：①構造直角三角形;②等量代換，將其轉換到另一個直角三角形中. 特別地，看到“tan∠ADE=”這一條件時，我們還可以聯想到“12345”模型，嘗試構造45°角. 但是在嘗試的過程中會發現該模型并不適用于本題，故而可選擇直接構造直角三角形這一方式來求解. 如圖3，過點E作EK⊥AD于點K，則△AEK為等腰直角三角形. 由此可求出EK的長，再根據tan∠ADE=，可求得KD的長為3，AD的長為4. 接著由條件AD=BE，可求得BE=2.

2. 第（2）問的思路分析

該問根據題目條件和圖形特征，考慮多種解題思路：①從定義出發，思考“手拉手”模型;②從垂直出發，構造“一線三垂直”模型;③從定線共角出發，思考四點共圓;④從邊與邊的關系出發，思考數量代換法. 具體思路如下.

思路1 從定義出發，思考“手拉手”模型.

從條件“AD=BE”出發，嘗試推出AD = 2MN . 即需要在圖中構造出含有BE，且與BE有關系的等腰直角三角形. 故過點E作PE⊥BE交BC的延長線于點P，如圖4，此時PE=BE，可得到BE = BP = AD. 這一步將證明AD = 2MN轉換成了證明BP = 2MN. 題目已知N為線段AF的中點，此時只需證明M為線段DF的中點.

證明M為線段DF的中點最為直接的方法，是證明DM=MF，其可以通過構造全等三角形得到. 如圖4，過點D作DO∥BF交BC于點O. 如果能證明△OMD≌△BMF，結論成立. 根據題目條件，有EP=EB，ED=EF，∠PED =∠BEF，所以△EPD≌△EBF. 所以PD=BF. 由于BP=AD，CA=CB，所以BP-CB=AD-CA，即CP =CD. 所以∠CPD=∠CDP=45°. 又可推出∠EBF=90°，∠POD=45°，∠MOD =∠MBF=135°，OD=BF=PD，由此可證得△MOD≌△MBF，所以M為線段DF的中點，證畢.

在同樣的思路方法指引下，我們還可以過點F作PD的平行線與MB的延長線交于點T.

一般來說，這種方法講到這里就可以結束了，但是為了讓學生的成長型思維得到發展，教師可以追問學生：仍然是“手拉手”模型，如果過點E作EK⊥EB，且使EK=EB，連接BK，FK呢？由“手拉手”模型得到的全等三角形，可以鋪墊出兩個及兩個以上的結論，有了等邊、等角之后，再通過垂直構造等腰直角三角形和“8”字全等三角形（如圖5）.

思路2 從垂直出發，構造“一線三垂直”模型.

從等腰直角三角形出發，可以通過構造“一線三垂直”模型（如圖6），得到全等三角形，即△EPD≌△FQE，從而得到EP=QF，PD=QE. 要證AD=2MN，可延長CB與QF的延長線交于點T，過點E作ES⊥BC于點S，容易證得四邊形PCTQ為矩形. 根據以上條件可以證得“8”字全等三角形，即△MCD≌△MTF，從而得到M為線段DF的中點.

思路3 從定線共角出發，思考四點共圓.

從Rt△DEF出發，先證明M為線段DF的中點，即證明EM為△EDF的中線. 根據等腰三角形的“三線合一”性質，只需證明EM為△EDF的高線. 因此過點D作DH⊥AB于點H，連接FB，EM（如圖7）. 由AD=DH=BE，得DH=BE. 可證△EDH≌△FEB（SAS），得∠EBF=∠EHD=90°. 根據E，M，B，F四點共圓，有∠EMF=∠EBF=90°，即可證得. 四點共圓的方法可以幫助學生找相等的角，雖然這種方法不能正式用到考試的作答當中，但是該方法很多時候可以幫助學生快速找到等角，為解題打開思路，這對于培養學生的成長型思維也具有意義與價值.

思路4 從邊與邊的關系出發，思考數量代換法.

從要證明的邊與邊的關系入手，先過點D作DH⊥AB于點H，交CM于點Q（如圖8），連接FB. 由AD=DH=BE可得DH=BE. 可證△EDH≌△FEB（SAS），得到∠EBF=∠EHD=90°，EH=BF. 設DC=QC=x，AC=y，則可以得到BQ=（y-x），AD=（x+y），BF=EH=DQ=2x. 于是可證△DQM≌△FBM（AAS），所以M為線段DF的中點，證畢.

教學思考

通過本題的講解，筆者發現在壓軸題的講解上，如果教師只是將解題方法灌輸給學生，學生是不會在這種習題課上得到成長的. 長此以往，學生仍然會覺得以自己的能力不可能解決得了最后一題. 所以筆者認為教師可以在講授思路的過程中，為學生制造一些有益的困境，以幫助學生思考，并適當地制造挑戰性追問，為學生的學習構建支架，讓學生在教師的引導下一步步發現解決問題的方法和思路. 教師還要讓學生在不同的方法中進行不同的解法思考，爭取做到同題不同法，同法不同方. 下面給出幾點壓軸題教學的講授建議：

（1）鼓勵學生直面壓軸題;

（2）鼓勵學生用能想到的各種方法嘗試解決問題;

（3）鼓勵學生坦然面對錯誤的方法嘗試;

（4）鼓勵學生堅持到底.

學生在面對數學難題時容易出現畏難情緒，躊躇不前. 我們要培養出具有創造性能力的人才，就應當從平時做起，從最能激發學生想象力和創造力的思維難題做起. 在解決難題的過程中，學生很容易進入不平衡的狀態，雖然這種狀態會使學生感到不舒服，但是皮亞杰認為不平衡狀態能給學生帶來智慧和發展，也就是會發展學生的成長型思維. 因此教師需要在難題中幫助學生發展成長型思維，在課堂中不斷地為學生創造有益的困境、有挑戰性的問題與任務，讓學生認為自己面臨的困境和自己在困境中產生的種種錯誤是可以幫助自己發展能力的. 總而言之，教師在教學過程中需要幫助學生內化成長型思維，這樣不僅可以提高學生的解題能力，還能培養出新時代所真正需要的創新型人才.