指向深度學習的單元教學活動設計

［摘 要］ 單元教學能促進學生深度學習的發生. 文章以“三角函數”單元教學為例，借助大概念“單位圓”設計系列單元教學活動，幫助學生構建結構化知識體系，持續進階地發展學生的數學學科核心素養，實現數學的育人價值.

［關鍵詞］ 單元教學活動；大概念；三角函數；單位圓

引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱新課標）強調重視單元教學，以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實［1］. 單元教學是促進學生深度學習的重要方式，通過大背景、大概念、大思路來進行高觀點的結構化管理，能有效提升教師的教學質量和學生的學習能力. 因此，整體把握教學內容，理解數學知識產生和發展的過程，厘清單元邏輯主線，突出單元教學的主干知識和研究路徑，促進深度學習的發生是一線教師亟待解決的問題.

基于深度學習的單元教學大概念提取

“大概念”能反映學科的本質，居于學科的中心地位，是具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法［2］. 系統化的單元教學設計需要整體規劃單元教學任務，以“大概念引領，大任務驅動”的方式設計結構化單元教學活動，在統一背景下關聯課時教學活動［3］. 單位圓模型在三角函數單元中具有廣泛的解釋力. 通過單位圓建立本單元的研究框架，構建三角函數的定義，可以直觀研究誘導公式、三角函數的圖象與性質、三角恒等公式等，對于學生理解知識間的聯系，探索新問題具有持久的可遷移價值.

本文基于深度學習理論，以三角函數中的“單位圓”為大概念，作為該單元的邏輯主線設計單元教學活動，促進學生在系統化的學習中積累數學活動經驗，構建結構化的知識網絡，促進深度學習的發生.

以“單位圓”為大概念的單元教學活動設計

為了發揮單位圓的作用，人教A版（2019）教材在引入弧度制時就給出了單位圓的定義，并在后續內容的處理中，始終以單位圓為載體，串聯三角函數單元中的知識與活動.

活動1 單位圓視角下弧度制的引入.

如圖1所示，兩個以點O為圓心，半徑分別為r和r的圓，探究圓心角θ與弧長l，l以及半徑的關系.

學生探究 由l=r，l=r可知，θ確定時，弧長的確定還需要給定半徑；而==是一個隨著θ的確定而唯一確定的定值.

教師啟發 當半徑r=1時，就能用弧長l來表示圓心角θ，實現用實數表示角的大小的目的，為用角作為函數自變量進行研究打下基礎.

設計意圖 通過單位圓模型體驗單位圓的特殊性和代表性，實現實數與角的一一對應，使自變量與因變量的形式得到統一，為定義三角函數埋下伏筆.

活動2 單位圓視角下的三角函數的定義.

觀察圖2，當角α變化時，探究其終邊與單位圓交點的坐標的變化情況.

學生探究 任意角α的終邊OP與單位圓的交點P（x，y）是唯一確定的，而且點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數；當角的終邊相同時，與單位圓的交點的坐標也相同，對應關系具有“周而復始”的特點.

教師啟發 給出三角函數的定義（簡稱單位圓定義法）：正弦函數、余弦函數和正切函數都是以角α為自變量，以其終邊與單位圓的交點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，統稱為三角函數；單位圓上的點的坐標重復出現，非常直觀地體現了三角函數的周期性.

設計意圖 回顧三角函數的發展史，任意角的三角函數正是由圓周運動的研究而產生的，歷史上曾被稱為圓函數.單位圓定義法可以啟發學生反思弧度制引入的必要性，也有利于學生在大概念的視角下逐步構建三角函數的知識體系.

活動3 在單位圓中推導誘導公式.

如圖3所示，觀察角α，π-α的終邊與單位圓的交點P，P之間的對稱關系，試用角α的三角函數值表示角π-α的三角函數值.

學生探究 由角α，π-α的終邊關于y軸對稱，可得cos（π-α）=-cosα，sin（π-α）=sinα. 借助GeoGebra軟件，從幾何直觀出發，繼續探究角α的三角函數值與π+α，±α，-α的三角函數值之間的關系.

教師啟發 這些角的終邊在單位圓上的對稱關系具有一般性，由這些對稱關系得到的等量關系式就是誘導公式.

設計意圖 利用單位圓抽象三角函數的定義后，引導學生從單位圓的對稱性中得到啟示，使用數形結合方法推導誘導公式，從而發展學生的數學抽象、直觀想象等數學學科核心素養；引導學生逐步熟悉三角函數的單位圓定義，明確研究路徑，有助于學生在后續學習中利用單位圓推導三角函數的其他公式，促進深度學習的發生.

活動4 單位圓定義法的應用一：畫出正弦函數的圖象并研究其性質.

利用計算機軟件，在坐標軸上標注點（x，sinx），畫出三角函數的精確圖象，研究三角函數的性質.

學生探究 設角x的終邊與單位圓的交點為P（cosx，sinx）. 用軟件Geo-Gebra繪制動點D（x，sinx）；當點P在單位圓上旋轉運動時，對點D（x，sinx）開啟跟蹤，得到點D的軌跡就是正弦函數y=sinx的圖象（如圖4所示）. 點P的縱坐標按照0→1→0→-1→0…的規律連續且周而復始地變化，根據誘導公式得到正弦函數在定義域R上的完整圖象（圖象關于原點對稱）. 觀察正弦函數的單調性、最值，并記錄下來（見表1）.

教師啟發 借助單位圓和信息技術研究正弦函數的圖象與性質，體現了數形結合思想方法. 你能依據這個研究路徑，類比得到余弦函數、正切函數的圖象與性質嗎？

設計意圖 通過單位圓標注點的坐標，把正弦函數的圖象與性質的研究歸結為點的縱坐標與旋轉角x之間的對應關系的探討，這是一個一般函數概念指導下的探究活動，用以加深學生對單位圓視角下的弧度制、三角函數一般定義的認識；類比正弦函數的研究路徑，確立研究三角函數的圖象與性質的基本框架，讓學生在遷移學習中積累基本活動經驗，發展數學學科核心素養.

活動5 單位圓定義法的應用二：推導兩角和與差的正弦、余弦公式.

在單位圓中點A，B，C，D的坐標如圖5所示，探究三角形中的等量關系，以及cos（α-β）與角α，β的正弦函數值、余弦函數值之間的關系.

學生探究 由單位圓的對稱性可證△BOC與△DOA全等，則DA=BC，根據兩點間的距離公式可得兩角差的余弦公式；再分別用-β，±β代替β，推導出其他三組公式（兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式、兩角和的正弦公式）.

教師啟發 兩角和與差的正弦、余弦公式隨著三角學的誕生而誕生，有著悠久的歷史. 在眾多推導和證明方法中，美國數學家麥克肖恩使用的方法更加直觀和簡便：利用線段或坐標直觀表示α-β的三角函數，再借助平面幾何中的全等三角形的性質，抓住變化中不變的量構建方程，然后用函數代換思想推導出上述公式［4］.

教師追問 利用單位圓和上述思想方法，你能證明以下等式嗎？

（1）（sinα+sinβ）=sin·cos；

（2）（cosα+cosβ）=cos·cos.

設計意圖 兩角和與差的正弦、余弦公式是推導其他三角函數公式的起點，其本質是借助單位圓以坐標的形式將三角函數寫出來，體現了幾何直觀與代數運算的特點，凸顯在變化中尋找恒等關系的數學思想方法.教師的追問，既是對單位圓大概念的深化，又是對學生素養提升的考查. 數學史的引入，讓學生感受數學家細致嚴謹的精神品格和在專業領域的責任擔當，這也是對深度學習理念的體現和落實.

單元教學活動設計反思

在單元教學中，教師借助大概念進行整體單元活動設計，能幫助學生完善知識體系，促進深度學習的發生，落實數學學科核心素養（見圖6）. 同時教師也要開展反思，不斷提升單元教學活動設計能力.

首先，單元教學活動設計要注重教學內容的系統性與研究思路的一致性.學生學習學科的基本結構，以“聯想與結構”的方式去理解，是深度學習發生的重要特征［5］. 新課標加強了函數主題與三角函數內容的整體性，把“三角恒等變換”納入“三角函數”中. 教材按照“事實背景—角與弧度—數學對象—圖象與性質—三角恒等變換—事實應用”的結構展開教學. 因此，三角函數的單元活動設計，要特別注重體現函數的一般研究思路，強調任意角和三角函數值的對應關系，并以單位圓的幾何直觀為認知邏輯鏈，將三角恒等變換與三角函數有機融合起來.

其次，單元教學活動設計要促進學生數學學科核心素養連續性和進階性的發展. “活動與體驗”是深度學習的特征之一，即讓學生典型地、簡約地經歷結構性的關鍵過程與關鍵內容，促進學生自覺成長［5］. 在活動2中，需要學生把握住角α與x，y的幾何元素之間的對應關系，突破以往對基本初等函數的“代數運算”的認識，體會引入弧度制的必要性，發展數學建模、直觀想象等素養；活動3、活動4是對單位圓定義的遷移應用，需要學生抓住“本質與變式”，注意問題的提出與解決，歸納思想方法，進一步發展數學抽象素養；活動5則體現了數學結合思想的應用. 由兩角和與差的正弦、余弦公式推導出二倍角公式，以及和差化積、積化和差等一系列三角函數公式，讓學生充分體驗化歸思想，構建完整的知識體系. 單元教學下的每一個活動設計都應具有進階性，從而促進學生的數學學科核心素養進階發展，促使深度學習的發生.

最后，單元教學活動設計要關注持續性的教學評價，全面實現數學的育人價值. 深度學習將教學的“價值與評價”自覺化、明細化，幫助學生形成正確的價值觀，形成有助于學生自覺發展的核心素養［5］. 在單元活動的全過程中，教師始終要以學生為活動的主體，引導學生獨立思考、交流分享，并在探究中及時給予激勵性的評價，持續激發學生的數學探究熱情. 教師可以在課堂觀察、師生活動、小組互評等活動中，設置評價標準，記錄學生的學習過程，展示數學學科核心素養的發展過程. 例如，在活動4中，需要學生通過類比歸納，推導余弦、正切函數的圖象與性質，教師引導學生交流展示、探討互評，將學生的知識構建過程外顯化，有利于形成你追我趕的良性學習競爭，樹立正確的數學學習觀和價值觀.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 頓繼安，何彩霞. 大概念統攝下的單元教學設計［J］. 基礎教育課程，2019（18）：6-11.

［3］ 劉琦琦，吳立寶，宋書寧. 指向深度學習的單元教學設計——以“拋物線及其標準方程”為例［J］. 中國數學教育，2022（24）：38-44.

［4］ 蔡真逸. HPM視角下借助圓串起的三角函數單元教學［J］. 上海中學數學，2022（Z2）：17-20+45.

［5］ 劉月霞，郭華. 深度學習：走向核心素養［M］. 北京：教育科學出版社，2018.