探索知識形成過程 提升數學抽象素養

［摘 要］ 抽象是數學學科的特性之一，其貫穿數學知識產生、發展和應用的過程. 在日常教學中，教師應結合教學實際設計一些有價值的探究活動，引導學生探尋知識的由來，使學生體驗數學抽象過程、積累數學活動經驗，發展學生的數學能力，提升學生的數學抽象素養.

［關鍵詞］ 抽象過程；形成過程；抽象素養

眾所周知，數學知識是在生產、生活中抽象而來的，可以說沒有抽象就沒有數學研究對象. 抽象是數學學科的顯著特征，其決定在數學教學中要重視學生數學抽象思維能力的培養，這是學生理解知識、應用知識的關鍵. 不過，學生抽象思維能力的培養難以靠講授來實現，它需要學生在學習過程中慢慢體驗、慢慢感悟. 在實際教學中，教師應重視引導學生經歷數學知識形成、發展和應用的過程，深入挖掘蘊含其中的數學思想方法，以此鍛煉學生的思維品質，提高學生的數學抽象能力. 筆者教學“二項式定理”時，從培養學生數學抽象思維的角度出發，精心設計探究活動，促使學生在探索中深刻理解知識的同時，掌握數學研究方法，發展數學抽象素養.

教學片段

探索1 利用數學知識估算.

師：無論是在生活中，還是在學習中，我們經常會遇到一些開方問題，那么你能用數學知識估算嗎？（學生積極思考、交流）

生1：可以先估算整數部分，因為13=1，23=8，所以的整數部分為1. 對于小數部分該如何估算，我還沒有想好.

師：通過剛才的探索我們已經知道的整數部分為1，不妨設=1+x，0<x<1，則2=（1+x）3=1+3x+3x2+x3≈1+3x，所以x≈，≈. （筆者呈現分析過程）

師：仿照上述過程，估算和（n≥2，n∈N*）.

生2：的整數部分為1，設=1+y，0<y<1，則2=（1+y）2020，不過（1+y）2020的展開式是什么呢？如果知道它的展開式，那么就能估算了.

生3：對！我估算時也遇到了同樣的問題. 設=a+b，則2=（a+b）n. 如果知道（a+b）n的展開式，那么問題就能獲解了.

設計意圖 從學生熟悉的內容出發，創設二項式展開問題引發認知沖突，凸顯學習二項式定理的必要性，以此激發學生的學習動機，點燃學生的探究熱情.

探索2 求（a+b）（c+d）和（a+b）·（c+d）（e+f）的展開式.

筆者引導學生通過列表的形式來呈現展開式（如表1、表2所示）.

表1 （a+b）（c+d）的展開式

[第一個括號 第二個括號 項 a c ac d ad b c bc d bd ]

設計意圖 在教學中，筆者從學生的已有知識和經驗出發，通過舊知回顧為新知探索架設思維“階梯”，使深度學習自然而然地發生. 在解決問題時，筆者刻意引導學生用列表的方式呈現展開式，以此借助表格的直觀性使學生體會多項式乘法規律——二項式定理，體驗數學抽象過程.

探索3 探究（a+b）3的展開式.

設計意圖 對于（a+b）3的展開式學生并不陌生，學生可以根據立方和公式直接給出答案. 不過這里所關注的不是結果，而是知識探索過程. 在教學中，筆者引導學生類比前面的探索結果和方法，根據計算結果總結展開式中的項數、系數，以及項的特點，由此為二項定理的抽象做鋪墊.

探索4 探究（a+b）6的展開式.

在解決該問題時，筆者啟發學生根據探索3的經驗猜想結果. 從教學反饋來看，學生能夠根據經驗順利猜出展開式中的項數，以及項的特點，不過學生在猜想每一項前面的系數時犯難了. 筆者及時給予啟發和引導，讓學生從計算原理的角度對展開過程進行分析，用組合數表示展開式中的各項系數.

設計意圖 隨著冪的次數逐漸增加，讓學生意識到單純利用多項式乘法法則難以高效解決問題，由此增加學生探索定理的迫切感. 在此過程中，筆者根據內容特點和學生的認知規律，引導學生在由淺入深的逐層探究中發現蘊含其中的規律，培養和提升學生的數學抽象素養.

探索5 探究（a+b）n的展開式.

該探究是本節課的教學重點，也是教學難點，不過有了前面的鋪墊，學生在知識上、方法上、心理上已經做好了充分的準備. 在該探索中，學生仿照（a+b）6的展開式的探究方法，得到（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn（n∈N*）.

設計意圖 數學學習是一個不斷發展、不斷抽象、不斷完善的過程，較低層次的抽象是高層次抽象的基礎. 因此，在探究（a+b）n的展開式時，促使學生以已有知識和經驗為新知識的生長點，仿照（a+b）6的展開式的探究方法自主發現規律并總結結果，從而培養學生的抽象素養.

探究6 結合二項式定理（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*），回答以下問題.

（1）二項展開式一共有多少項？（n+1項）

（2）二項展開式的次數有何特點？（每一項的次數都是n；a按降次數排列，次數由n降到0；b按升次數排列，次數由0升到n.）

（3）二項式系數是什么？（C，k=0，1，…n）

（4）二次展開式的通項是什么？（T=Can-kbk，0≤k≤n，k∈N*，這是展開式的第k+1項.）

設計意圖 筆者引導學生解決問題，歸納總結二項展開式的特征，提高學生數學歸納、數學推理和數學抽象的能力. 通過對二項展開式的深度探究，為后續應用做好了充足準備.

探究7 如何靈活利用二項式定理解決問題？

此環節，筆者從學生的認知規律出發，結合教學實際設計例題，讓學生的解題能力和思維能力在由淺入深、由簡入繁的探究中逐步提升.

例1 求（b+a）n的展開式.

變式題：求（x-1）4的展開式.

例2 求（2x+1）5的展開式的第4項系數.

變式題：求（2x+1）5的展開式中x3的系數.

例3 求

1+x+

的展開式中x2的系數.

問題給出后，筆者先讓學生獨自求解例1、例2及兩道變式題，然后讓學生通過互評完善解答過程. 對于例3，部分學生因式子煩瑣而出現了畏難情緒. 為了幫助學生克服畏難情緒，筆者鼓勵學生以小組合作的方式探索例3. 在學生互動交流的過程中，筆者給予引導和點撥，學生通過相互啟發、相互補充，給出了三種解法：

解法1 因為

1+x+

=

1+x+

1+x+

…

1+x+

，共10個因式相乘，含x2的項是從2個括號中取x，從8個括號中取1得到的，所以含x2的項為C·x2=45x2，故x2的系數為45.

解法2 因為

1+x+

=

（1+x）+

，所以其展開式的通項為T=C（1+x）10-k

=C（1+x）10-kx（0≤k≤10，k∈N）. 因為0≤k≤10，k∈N，當k=0時，則含x2的項為（1+x）10中含x2的項，即Cx2=45x2，故x2的系數為45.

解法3 設從10個括號中取a個1，b個x，c個，于是有1axb

=xb-2015c. 令a+b+c=10，

b-2015c=2，其中a，b，c∈N，解得a=8，

b=2，

c=0.所以含x2的項為Cx2=45x2. 故x2的系數為45.

設計意圖 提供例題是鞏固知識、強化技能的必經之路，也是發散數學思維、提升數學能力的重要手段. 因此，在課堂教學中，筆者利用好例題，充分發揮其積極作用，促使學生在例題探索中深刻理解知識、應用知識. 在例3的探索過程中，學生給出了多種解題思路，體現不同層次的學生對二項式定理的理解程度. 教學中通過集中展示、對比分析，幫助學生積累豐富的解題經驗，有利于學生數學學習能力的提升和數學抽象素養的落實.

教學思考

數學抽象是重要的數學思想方法. 數學抽象一般有三個階段：第一階段為簡約階段，即通過化繁為簡、化特殊為一般的轉化，把握事物的本質屬性；第二階段為符號階段，即去掉具體內容，利用概念、符號、圖形、關系等將事物的本質屬性用簡約化的語言表達出來；第三階段為普適階段，即通過探索、推理、驗證等過程建立數學模型，并利用數學模型解決相關問題. 可見，數學抽象形成于數學知識產生、發現和應用的過程中. 因此，教師要精心設計各個教學環節，創造機會讓學生去發現、去探索、去提煉，潛移默化地培養學生的抽象素養.

數學概念具有高度抽象性，它是培養學生數學抽象素養的好素材. 在概念教學中，教師不要急于將概念呈現給學生，而應創設有效情境引導學生親身經歷概念抽象的過程，以此培養學生數學抽象素養. 例如，在本節課教學中，筆者通過環環相扣的問題，引導學生在逐層探索中認識二項式定理，教會學生抽象方式，提高學生的自主探究能力.

總之，培養學生數學抽象素養時，切勿急于求成，而應引導學生經歷數學知識發現、發展和應用的過程，理解問題的抽象方式，落實數學學科核心素養.