從三個角度看圓的復習

圓是重要的幾何圖形之一，它具有軸對稱性和中心對稱性。圓的學習建立在前面學習的直線型圖形有關性質的基礎上，具有較強的綜合性，也是中考的必考內容。

一、復習策略

1.從“對稱”的角度復習圓的性質

圓既是軸對稱性圖形，又是中心對稱圖形，同時還具有旋轉不變性，即繞圓心任意角度旋轉，最終都能與原來的圖形重合，這些是圓的最基本的性質。“圓心角、弧、弦之間的關系”“垂徑定理”“切線長定理”等都是從這些角度來進行探索和證明的，許多中考試題都可以利用“圓的對稱性”來思考，可以發現多種情況、簡化解決問題過程以及快速得到結論等。因此，在圓的復習中，我們要加強對“對稱性”的理解，提高運用“圓的軸對稱性”解決問題的能力。

2.從“過程”的角度強化解題細節

在圓的復習中，我們需要抓住“過程”，研究細節。一是抓住知識的探索“過程”。通過經歷“觀察→操作→猜想→推理”的認識過程，提升自己認識問題、分析問題的能力。二是抓住教材例題的規范“過程”。中考中許多同學由于解題不規范而導致失分，因此，在復習時，我們要對教材中的例題認真研究，特別要關注解題的步驟，對自己的書寫過程進行糾正與完善。

3.從“生成”的角度凸顯思想方法

中考除了考查圓的基礎知識、基本方法外，還考查思想方法的掌握情況，進而考查數學素養。圓這一專題蘊涵許多重要的數學思想方法。如，在探索圓周角與圓心角之間數量關系的過程中，需要對圓心相對于圓周角的位置進行分類，體現了分類思想；將圓錐側面展開，轉化為平面圖加以研究，實現由空間到平面的轉化，體現了轉化思想；對圓心相對于圓周角的位置的分類，實現由特殊到一般的轉化；對點與圓、直線與圓的位置關系的研究，反映了數與形之間的內在聯系，體現了數形結合的思想……因此，我們在復習時要有意識地反思知識形成過程中所蘊含的數學思想方法。

二、典型例題

例1 如圖1，AC、BC為⊙O的兩條弦，D、G分別為AC、BC的中點，⊙O的半徑為2。若∠C=45°，則DG的長為（ ）。

A.2 B.[3] C.[32] D.[2]

圖1 圖2

【解析】如圖2，連接AO、BO、AB，根據圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°。因為⊙O的半徑為2，所以AB=[22+22]=[22]。因為點D、G分別是AC、BC的中點，所以根據三角形的中位線定理可得DG=[2]。故選D。

【點評】此題主要考查了三角形中位線定理、勾股定理以及圓周角定理，解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

例2 已知四邊形ABCD內接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑。

（1）如圖3，連接OA、CA，若OA⊥BD，求證：CA平分∠BCD；

（2）如圖4，E為⊙O內一點，滿足AE⊥BC，CE⊥AB。若BD=[33]，AE=3，求弦BC的長。

【解析】（1）因為OA⊥BD，由垂徑定理可證得弧AB與弧AD相等，進而可證得∠ACB=∠ACD，即CA平分∠BCD。

（2）如圖5，延長AE交BC于點M，延長CE交AB于點N，由“直徑所對的圓周角是直角”可證得∠BAD=∠BCD=90°。由AE⊥BC，CE⊥AB，可證得∠AMB=∠CNB=90°，所以AD∥NC，CD∥AM，進而證明四邊形AECD是平行四邊形，從而有CD=AE=3。再由勾股定理即可得出BC=[BD2-CD2]=[（33）2-32]=[32]。

【點評】本題綜合考查圓的相關知識，主要考查垂徑定理、圓周角定理及其推論、勾股定理、平行四邊形的性質與判定，熟練掌握圓周角定理的推論是解題的關鍵。

例3 （1）在同一平面內，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（ ）。

A.2 B.5 C.6 D.8

（2）如圖6，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點B，點C在PA上，且CB=CA。若OA=5，PA=12，則CA的長為 。

【解析】（1）根據圓心到直線l的距離為3，而圓的半徑為2，此時直線與圓相離，如圖7。BO的延長線與⊙O的交點，即為要求的點P位置，此時點P到直線l的距離最大，BP=5。故選B。

（2）如圖8，連接OC。根據切線的性質可得∠OAP=90°；然后利用“SSS”證明△OAC≌△OBC，從而可得∠OAP=∠OBC=90°；再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP=13；最后，根據△OAC的面積+△OCP的面積=△OAP的面積，進而可求得AC=BC=[103]。

【點評】第（1）問主要考查直線與圓的位置關系；第（2）問主要考查直線與圓的位置關系中相切的相關知識，看到切線想到垂直，看到圓外一點到圓上某點距離跟某個切線長相等，想到它也是切線是解決本題的關鍵。

例4 （1）中國高鐵的飛速發展，已成為中國現代化建設的重要標志。如圖9是高鐵線路在轉向處所設計的圓曲線（即圓弧），高鐵列車在轉彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A、B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉角α為60°。若圓曲線的半徑OA=1.5km，則這段圓曲線[AB]的長為（ ）。

A.[π4]km B.[π2]km

C.[3π4]km D.[3π8]km

（2）如圖10，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點O，以OC為半徑的扇形的圓心角∠FOH=90°，則圖中陰影部分面積是 。

（3）如圖11，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC邊上的高AD=2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為 。

【解析】（1）由圓的切線可得∠OAC=∠OBC=90°，進而可求得∠AOB=60°，再根據弧長公式計算可求曲線[AB]的長為[60π×1.5180]=[π2]（km）。

（2） 由正方形的性質可得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°；再由∠FOH=90°，可得∠BOE=∠COG，進而可證得△OBE≌△OCG（ASA），則S△OBE=S△OCG，進而推出S四邊形OECG=S△OBC=4。所以S陰=S扇形OFH-S四邊形OECG=[90π×（22）2360-]４=

2π-4。故答案為2π-4。

（3）所得幾何體為圓錐的組合圖形，其表面積為底面半徑為2、母線長為3和4的兩個圓錐的側面積之和。所以得到的幾何體的表面積為π×2×3+π×2×4=14π。故答案為14π。

【點評】本例是與圓相關的計算的三道典型題。第（1）問是與生活實際結合考查弧長的計算公式，第（2）問是與其他知識結合考查扇形面積計算公式以及求陰影部分面積的方法，第（3）問是通過求幾何體的表面積考查圓錐的側面積的計算公式。解決這些計算問題的關鍵是結合圖形找準公式中的對應量。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）

領" 銜" 人：高榮興

組稿團隊：江蘇省泰州市姜堰區高榮興初中數學名師工作室