分類討論，解決圓的問題

在復習圓的內容時，我們經常會遇到多解的問題，這時，就需要進行分類討論。分類討論思想是初中數學中一個重要的思想方法，也是中考復習中必須要掌握的思想方法之一。需要進行分類討論的原因是由于某種因素導致問題的情形不確定。那如何進行分類討論呢？關鍵在于分類標準的確定。我們要在理解和掌握分類原則、方法、技巧的基礎上，做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分門別類不重復、不遺漏地分析討論”。

一、源于對稱性的分類討論

例1 ⊙O的半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則AB與CD間的距離為 。

【解析】由于圓是軸對稱圖形，所以當我們畫定弦AB時，弦CD的位置就不確定了，會有兩個位置，一是與弦AB在圓心的同側，二是與弦AB在圓心的兩側。

當弦CD與弦AB在圓心O的同側時，如圖1，過點O作OE⊥AB于點E，交CD于點F，連接OA、OC。由AB∥CD，得到OF⊥CD。根據垂徑定理，得AE=3，CF=4。再在Rt△OAE和Rt△OCF中，分別利用勾股定理求出OE=4，OF=3。所以AB與CD之間的距離EF=OE-OF=4-3=1。

當弦CD與弦AB在圓心O的兩側時，如圖2，過點O作OE⊥AB于點E，反向延長OE，交CD于點F，連接OA、OC。同理可求出OE=4，OF=3。所以AB與CD之間的距離EF=OE+OF=4+3=7。

二、源于外心位置的分類討論

例2 已知點O是△ABC的外心，∠BOC=130°，則∠A= 。

【解析】三角形的外心與三角形的位置隨著三角形的形狀不同而發生改變：若三角形是銳角三角形，則外心在三角形內；若三角形是鈍角三角形，則外心在三角形外；若三角形是直角三角形，則外心在直角三角形的斜邊上。本題由于△ABC的形狀不能確定，且∠BOC=130°，故可分為O、A在BC的同側（即△ABC為銳角三角形或∠A是銳角的直角三角形）與O、A在BC的兩側（即△ABC為∠A是鈍角的鈍角三角形）兩種情況進行討論。如圖3所示，因為∠BOC=130°，所以∠A=[12]∠BOC=65°；如圖4所示，∠A=180°-65°=115°。

三、源于圖形變化的分類討論

例3 如圖5，已知⊙P的半徑是1，圓心P在拋物線y=（x-2）2上運動，若⊙P與坐標軸相切，滿足題意的⊙P有 個。

【解析】圖形運動時，位置會發生變化，與其他圖形的相對位置就會發生改變。⊙P在運動過程中可能會和x軸相切，也可能會和y軸相切。因此，我們應分與x軸相切和與y軸相切兩種情況。

①⊙P與x軸相切。由⊙P的半徑是1可知，點P的縱坐標為±1，若點P的縱坐標為1，則1=（x-2）2，解得x1=3，x2=1，所以點P的坐標為（3，1）或（1，1）；若點P的縱坐標為-1，-1=（x-2）2，此時方程無解。

②⊙P與y軸相切。由⊙P的半徑是1可知，點P的橫坐標為±1，若點P的橫坐標為1，則y=1，即點P的坐標為（1，1）；若點P的橫坐標為-1，則y=（-1-2）2=9，即點P的坐標為（-1，9）。

綜上可知，滿足題意的⊙P有3個。

例4 如圖6，AB為半圓的直徑，AB=10，點O到弦AC的距離為4，點P從點B出發沿BA方向向點A以每秒1個單位長度的速度運動，連接CP，當△APC為等腰三角形時，點P運動的時間是（ ）秒。

A.[145]或4 B.[145]或5

C.4或5 D.[145]、4或5

【解析】本題點P在運動過程中，△APC的形狀也發生了變化，所以△APC為等腰三角形就會有三種情況：CP=CA、PA=PC、AP=AC。 過點O作OD⊥AC于點D，根據垂徑定理以及勾股定理求得AC=6。

①當CP=CA時，如圖7，過點C作CE⊥AB于點E，連接BC。因為AB是直徑，所以∠ACB=90°。因為D是AC的中點，O是AB的中點，所以BC=2OD=8。進而可求出CE=[245]。在Rt△ACE中，AE=[AC2-CE2]=[185]，所以BP=AB-2AE=[145]。所以t=[145]（秒）。

②當PA=PC時，則點P在AC的垂直平分線上，所以點P與點O重合，PB=5，此時t=5（秒）。

③當AP=AC=6時，PB=AB-AP=4，此時t=4（秒）。

綜上所述，t=[145]或4或5。故選D。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）