“移花接木”求面積

求陰影部分面積是與圓有關(guān)的常見中考題型，主要考查扇形的面積計算公式。這類試題常常不是直接考查扇形面積的計算公式，而是需要先采用“割”或“補”的方法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再進(jìn)行計算。有時，我們還會同時用到“割”和“補”的方法，也就是對圖形的陰影部分進(jìn)行“移花接木”。

一、利用全等“移花接木”

例1 （2023年·內(nèi)蒙古包頭）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，以點B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為 。

【解析】從圖形可以看出：陰影部分是個不規(guī)則圖形，如果單純采用“割”的方法會比較煩瑣。注意到四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以知道△AOD與△COB全等，故可將△AOD“移”到△COB處，“接”成扇形BED。此時，陰影部分的面積就轉(zhuǎn)為求扇形BED的面積。由勾股定理得出BD=[22]，所以陰影部分的面積為[45π×（22）2360]=π。

二、利用旋轉(zhuǎn)“移花接木”

例2 （2023年·湖南婁底）如圖2，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（ ）。

A.[43]π-[3] B.[43]π-[32]

C.[23]π-[3] D.[23]π-[32]

【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：陰影部分分散在兩處，而且均為不規(guī)則圖形，所以我們需要考慮能否把它們“移”到一起。如圖3，連接OA、OC、OD。由⊙O是正六邊形的外接圓，可求得∠COD=60°，∠AOC=∠MON=120°，所以∠AON=∠COM。 所以扇形OAN逆時針旋轉(zhuǎn)120°后能與扇形OCM重合，兩塊陰影部分“接”到一起組成弓形。所以S陰影=S扇形COD-S△COD。又因為S扇形COD=[60×π×22360]=[23]π，S△COD=[12]×2×[3]=[3]，所以S陰影=[23]π-[3]。故選C。

三、利用等積“移花接木”

例3 （2023·安徽淮南鳳臺四中三模）如圖4，點B在半圓O上，直徑AC=10，∠BAC=36°，則圖中陰影部分的面積為（ ）。

A.5π B.[52]π C.10π D.[54]π

【解析】圖中陰影部分同樣分為不相鄰的兩塊，必須“移”動拼成一塊。我們觀察圖4，不難發(fā)現(xiàn)，OB是△ABC的中線，所以O(shè)B把△ABC分成面積相等的兩個三角形，即△AOB的面積與△COB的面積相等，從而可以把兩塊陰影部分“接”到一起轉(zhuǎn)化為扇形OBC。因為∠BAC=36°，所以∠BOC=2∠BAC=72°。因為直徑AC=10，所以O(shè)C=5。所以S扇形OBC=[72π×52360]=5π。所以S陰影=5π。故選A。

例4 （2023·廣西南寧高新區(qū)三模）如圖5，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A、D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=8，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是（ ）。

A.[64π3] B.[32π3]

C.[64π3]-[83] D.[64π3]-[323]

【解析】圖中陰影部分沿AB“割”成弓形和△ABD。連接OA，如圖6，因為∠ABO=60°，OA=OB，所以△AOB是等邊三角形，所以O(shè)A=OB=AB=8。因為AD∥BO，所以∠OAD=∠AOB=60°，可得△AOD是等邊三角形，所以四邊形ABOD是菱形，AB∥DO，△ABD與△AOB是同底等高的三角形?！鰽OB與△ABD通過等積變換，與弓形“接”成扇形OAB，此時S陰影=S扇形AOB=[60π×82360]=[32π3]。故選B。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué)）