基于CTI模式的問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)探索

【摘要】CTI教學(xué)模式的核心是實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)、理解、遷移與創(chuàng)新應(yīng)用，從而落實(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.將CTI模式與問題鏈有機(jī)融合，構(gòu)建了基于CTI模式的問題鏈教學(xué)框架，并以“平面向量的數(shù)量積”為例，展開了教學(xué)設(shè)計(jì)探索.

【關(guān)鍵詞】CTI模式；問題鏈；教學(xué)設(shè)計(jì)；核心素養(yǎng)；創(chuàng)新思維

數(shù)學(xué)教育的主要目的應(yīng)該是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，通過數(shù)學(xué)教學(xué)促使學(xué)生逐步更清楚、更全面、更深刻、更合理地學(xué)會(huì)思考，并從低階的具體知識(shí)、基本技能和解題技巧層面上升到高階的數(shù)學(xué)思維層面，促進(jìn)思維策略和思維品質(zhì)的提升[1].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）最突出的特色是繼承了義務(wù)教育課標(biāo)“四基”“四能”和“十大核心詞”的理念，凝練了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而明確了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程后應(yīng)該達(dá)成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力[2].提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才的應(yīng)有之舉.當(dāng)今世界競爭的實(shí)質(zhì)是以科技為基礎(chǔ)的綜合國力的競爭，但歸根結(jié)底是創(chuàng)新人才的競爭.黨的二十大報(bào)告中指出：要全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科、新興學(xué)科和交叉學(xué)科建設(shè).

在上述背景下，要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，傳統(tǒng)“滿堂灌輸”和“機(jī)械刷題”的數(shù)學(xué)教學(xué)方式顯然難以實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，這迫切需要優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法.通過不斷地教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為基于CTI模式的問題鏈教學(xué)在學(xué)生數(shù)學(xué)思維、核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)方面發(fā)揮著積極作用.因此，本文以“平面向量的數(shù)量積”為例，將CTI模式與問題鏈有機(jī)融合進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)探索.

1CTI模式與問題鏈教學(xué)的內(nèi)涵

1.1CTI模式的內(nèi)涵

CTI由Construct（建構(gòu)）、Transfer（遷移）、Innovate（創(chuàng)新）的首字母組成，CTI模式是喻平教授在建構(gòu)主義理論、成功智力理論和情境認(rèn)知理論的支撐下，提出的發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種教學(xué)模式[3]，其基本框架如圖1.

CTI教學(xué)模式以目標(biāo)設(shè)定為發(fā)動(dòng)機(jī).在宏觀上，目標(biāo)設(shè)定關(guān)注整個(gè)教學(xué)過程和教學(xué)評(píng)價(jià)；在微觀上，從創(chuàng)設(shè)問題情境出發(fā)，為學(xué)生營造知識(shí)探究與建構(gòu)的思考場域，知識(shí)建構(gòu)的效度為知識(shí)的理解、遷移與創(chuàng)新應(yīng)用奠定基礎(chǔ).總之，學(xué)生在充分經(jīng)歷知識(shí)的探究、建構(gòu)、理解、遷移與創(chuàng)新應(yīng)用的過程中有序落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2問題鏈教學(xué)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式，是對數(shù)學(xué)問題不斷深化、推廣、逐次引申、綜合而形成的若干問題.數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)問題鏈推進(jìn)教學(xué)過程，倡導(dǎo)利用主干問題及其關(guān)系緊密的子問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入思考、充分表達(dá)、建構(gòu)知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)思維脈絡(luò)的教學(xué).數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法之間的聯(lián)系是問題鏈教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維是問題鏈設(shè)計(jì)的基本依據(jù)[4].問題鏈教學(xué)將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引向深入，啟發(fā)學(xué)生積極思考，使得數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展[5].問題鏈教學(xué)的關(guān)鍵是在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)好的主干問題和子問題鏈，問題鏈設(shè)計(jì)的流程如圖2.

2基于CTI模式的問題鏈教學(xué)框架

CTI模式豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了理論指導(dǎo)，然而理論需要實(shí)踐落實(shí)才能發(fā)揮其應(yīng)有的功效.問題鏈教學(xué)是一種操作性強(qiáng)的教學(xué)實(shí)踐方法，將CTI模式與問題鏈教學(xué)有機(jī)融合，用CTI模式理論指導(dǎo)問題鏈教學(xué)實(shí)踐，以問題鏈教學(xué)落實(shí)CTI模式理論，不僅拓展了理論的外延，還豐富了實(shí)踐的內(nèi)涵.鑒于此，構(gòu)建如圖3所示的基于CTI模式的問題鏈教學(xué)框架.

通過圖3可知，問題鏈教學(xué)讓CTI模式的各環(huán)節(jié)有效落地.具體來說，創(chuàng)設(shè)情境問題鏈為CTI教學(xué)模式提供了思考的場域，誘發(fā)學(xué)生積極思考；創(chuàng)設(shè)探究問題鏈，突出知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，有利于在CTI教學(xué)模式中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)；創(chuàng)設(shè)思辨問題鏈，啟發(fā)學(xué)生積極辨析，有利于在CTI教學(xué)模式中達(dá)成知識(shí)理解；創(chuàng)設(shè)類比問題鏈，展現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，有利于在CTI教學(xué)模式中完成知識(shí)的遷移；創(chuàng)設(shè)開放問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，有利于在CTI教學(xué)模式中實(shí)現(xiàn)知識(shí)創(chuàng)新.總之，基于CTI模式的問題鏈教學(xué)可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才提供了實(shí)踐范式.

3基于CTI模式的問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“向量具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景，向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問題中也發(fā)揮著重要作用.” [2] 所以，在教學(xué)中應(yīng)積極關(guān)注其豐富的物理背景，突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的融合，感悟知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解.

3.1內(nèi)容分析

在內(nèi)容分析上，首先，平面向量的數(shù)量積是向量加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算的延續(xù)，然而與之不同的是數(shù)量積是一種新的向量運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果不再是向量，而是數(shù)量；其次，要充分挖掘平面向量數(shù)量積運(yùn)算的實(shí)際背景，特別是聯(lián)系物理中力做功的熟悉背景，借助功是一個(gè)標(biāo)量，它用力和位移兩個(gè)矢量來定義，自然過渡到數(shù)學(xué)上就是向量的數(shù)量積；最后，在理解向量數(shù)量積概念的基礎(chǔ)上，從幾何和代數(shù)視角出發(fā)，深度挖掘向量數(shù)量積的幾何意義、運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算律，從而構(gòu)建聯(lián)系緊密、系統(tǒng)的平面向量數(shù)量積的知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖4.

3.2學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，在知識(shí)層面，已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念、向量加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算，對物理上的矢量和標(biāo)量等知識(shí)也有一定的理解；在方法層面，學(xué)生在學(xué)習(xí)向量加、減和數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，已經(jīng)經(jīng)歷和初步體會(huì)了研究向量運(yùn)算的一般方法：先從熟悉的特殊模型（主要涉及物理模型）中抽象概括出概念，然后再與前面已經(jīng)學(xué)過的實(shí)數(shù)運(yùn)算類比研究其運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律.通過分析，雖然在知識(shí)和方法層面都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊，從心理上可以消除學(xué)生的陌生感，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極心理傾向，然而向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算和其他向量運(yùn)算有本質(zhì)的不同，即有形有數(shù)的兩個(gè)向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后只剩下數(shù)量的結(jié)果，教學(xué)中要努力化解學(xué)生的這種認(rèn)知固化和偏差.

3.3教學(xué)目標(biāo)

基于上述內(nèi)容和學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）借助向量加法等學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以物理中的“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義、物理意義和幾何意義；

（2）掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，會(huì)計(jì)算向量的模和夾角，能判定兩向量的垂直等關(guān)系，并對知識(shí)進(jìn)行遷移應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力；

（3）通過探索性和開放性問題鏈，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的創(chuàng)新應(yīng)用，體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.

其中，教學(xué)重點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運(yùn)算律，教學(xué)難點(diǎn)是平面向量數(shù)量積概念的抽象概括.

3.4教學(xué)過程

3.4.1創(chuàng)設(shè)情境問題鏈，提供思考場域

問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些向量運(yùn)算？這些向量運(yùn)算的結(jié)果是什么？

問題2我們是如何引入向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算的？又是按照什么樣的邏輯順序研究這些運(yùn)算的？

問題3如圖5，一物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s，且力F的方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向成θ角，請同學(xué)們思考：力F做的功W如何表示？功W，力F和位移s各是什么量？

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)是自然的，而不是人為強(qiáng)加的.平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的加、減、數(shù)乘線性運(yùn)算一樣，也有其數(shù)學(xué)背景和物理背景.奧蘇貝爾認(rèn)為：理解的本質(zhì)是在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系.所以，問題1、2的目的是喚醒學(xué)生對已有數(shù)學(xué)背景的回憶和重溫研究向量運(yùn)算的邏輯順序，問題3是一道物理情境問題.如此設(shè)置問題鏈，目的是為學(xué)生提供思考場域，也為數(shù)量積概念的抽象做好鋪墊.

3.4.2創(chuàng)設(shè)探究問題鏈，實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)

探究活動(dòng)1數(shù)量積的概念

問題4你能用文字語言和符號(hào)語言表達(dá)功的計(jì)算公式嗎？如果將公式中的矢量力和位移推廣為一般向量，你會(huì)概括出什么結(jié)論？

問題5向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有差異嗎？向量數(shù)量積公式還有其他變形形式嗎？影響向量數(shù)量積的因素有哪些？請?zhí)顚懴卤恚?/p>

向量夾

角α范圍0≤α＜π2α=π2π2＜α≤πa·b的符號(hào)探究活動(dòng)2數(shù)量積的幾何意義

問題6如圖6，我們把bcosα叫做向量b在向量a方向上的投影.那么你能通過畫圖和用符號(hào)語言表述向量a在向量b方向上的投影嗎？

問題7根據(jù)問題6 ，向量數(shù)量積的幾何意義是什么？

探究活動(dòng)3數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算律

問題8通過上述學(xué)習(xí)，我們知道功的數(shù)學(xué)本質(zhì)是力與位移的數(shù)量積.那么，一質(zhì)量為5 kg的物體，求在下列各情況下該物體的重力所做的功：

（1）物體水平運(yùn)動(dòng)5米；

（2）物體豎直下降5米；

（3）物體豎直上升5米；

（4）物體沿傾斜角60°的斜面向上運(yùn)動(dòng)5米.

追問將（1）（2）（3）推廣到一般向量，你能獲得哪些結(jié)論？比較（1）（4），你會(huì)發(fā)現(xiàn)a·b和a·b有什么大小關(guān)系？

問題9我們已經(jīng)學(xué)過實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律是否適用于向量？請同學(xué)們大膽猜測，細(xì)心求證.

設(shè)計(jì)意圖探究活動(dòng)1和活動(dòng)3都是立足向量的物理情境，類比學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，抽象、概括和表達(dá)平面向量數(shù)量積的概念、運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律.探究2在必要的情境提示下，啟發(fā)學(xué)生探究數(shù)量積的幾何意義.總之，情境是經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的土壤，學(xué)生在新舊經(jīng)驗(yàn)的相互作用下積極探究，從而實(shí)現(xiàn)有意義的知識(shí)建構(gòu).

3.4.3創(chuàng)設(shè)思辨問題鏈，達(dá)成知識(shí)理解

問題10辨析下列正誤，并說明理由.

（1）0·a=0；（2）|a·b|=|a||b|；

（3）|a+b|=|a|+|b|；（4）a2=|a|2；

（5）（a·b）2=a2·b2；

（6）已知a≠0，且a·c=a·b，則b=c.

問題11設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，辨析下列結(jié)論的正誤，并說明理由.

（1）a·c-b·c=（a-b）·c；

（2）（b·c）·a-（c·a）·b不與c垂直；

（3）|a|-|b|＜|a-b|；

（4）（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2.

問題12已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，請?zhí)接懴蛄縠1+ke2與ke1+e2的夾角分別為銳角、直角和鈍角時(shí)，k的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖問題10到問題12主要通過進(jìn)階式的問題鏈，促使學(xué)生在經(jīng)歷由易到難的思辨過程中，達(dá)成對向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運(yùn)算律等基本知識(shí)的理解和對向量夾角等基本運(yùn)算的掌握.

3.4.4創(chuàng)設(shè)類比問題鏈，突出知識(shí)遷移

問題13用向量數(shù)量積知識(shí)證明下列問題：

（1）菱形的兩條對角線互相垂直；

（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，證明：a2=b2+c2-2bccos A.

設(shè)計(jì)意圖通過設(shè)計(jì)類比問題鏈，將向量數(shù)量積知識(shí)與初中平面幾何知識(shí)和高中解三角形知識(shí)聯(lián)系起來，不僅構(gòu)建了知識(shí)體系，而且實(shí)現(xiàn)了向量數(shù)量積知識(shí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的遷移應(yīng)用，這也是教材編寫者的意圖.知識(shí)的遷移應(yīng)用是在知識(shí)理解基礎(chǔ)上的第一次進(jìn)階，能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.4.5創(chuàng)設(shè)開放問題鏈，關(guān)注知識(shí)創(chuàng)新

問題14質(zhì)量m=2.0 kg的物體，受到與水平方向夾角為α=37°的斜向上拉力F的作用，沿水平面移動(dòng)了｜s｜=1.0 m的距離.已知F=10 N，物體受到的摩擦力是它與水平面間壓力的0.2倍，求力F對物體做的功.（取g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

問題15我們已經(jīng)學(xué)了向量的加法、減法、數(shù)量積，請同學(xué)們思考向量是否存在除法？

設(shè)計(jì)意圖問題14聯(lián)系數(shù)量積的物理背景，情境更為復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)科之間的跨學(xué)科學(xué)習(xí).問題15屬于開放題，開拓了學(xué)生的眼界，雖然有一定的思維與邏輯難度，然而學(xué)生從小學(xué)開始就學(xué)習(xí)加減乘除四則運(yùn)算，這里已經(jīng)學(xué)了向量的加法、減法和數(shù)量積，引導(dǎo)學(xué)生思考是否存在向量除法，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.知識(shí)的創(chuàng)新應(yīng)用是在知識(shí)理解基礎(chǔ)上的第二次進(jìn)階，能夠培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性和創(chuàng)新性.

4設(shè)計(jì)反思

基于CTI模式的問題鏈教學(xué)雖然對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高和核心素養(yǎng)的發(fā)展有所幫助，也為培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才提供了實(shí)踐范式，然而在課堂教學(xué)中還需關(guān)注以下四方面.

第一，創(chuàng)設(shè)相關(guān)性的問題情境是前提.情境是提出問題的載體、經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建和學(xué)科育人的土壤.情境的相關(guān)性指問題在情境中自然產(chǎn)生的，而非人為編造，反映了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的真實(shí)脈絡(luò)，問題的解決也需要借助情境信息.如在向量數(shù)量積知識(shí)的建構(gòu)環(huán)節(jié)，正是創(chuàng)設(shè)了真實(shí)的物理情境，才順利抽象概括出向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).

第二，設(shè)計(jì)進(jìn)階性的引領(lǐng)問題是基礎(chǔ).什么是好的引領(lǐng)問題？我們認(rèn)為，在學(xué)生的心理和認(rèn)知承受范圍內(nèi)，以促進(jìn)學(xué)生的積極思考為目的，以實(shí)現(xiàn)課堂自然生成為追求，緊扣當(dāng)前數(shù)學(xué)一般觀念，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，且具有一定的思維跨度才是好的引領(lǐng)問題[5]，即引領(lǐng)問題具有進(jìn)階性，促進(jìn)學(xué)生在不斷學(xué)習(xí)進(jìn)階的過程中達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)[6].

第三，踐行靈活性的問題使用是關(guān)鍵.盡管基于CTI模式的問題鏈教學(xué)中的問題以教師課外預(yù)設(shè)為主，然而真實(shí)的數(shù)學(xué)課堂是在師生互動(dòng)中推進(jìn)的，即課前預(yù)設(shè)的問題鏈不能完全線性、僵化和原封不動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，教6e9160f7fac96739639b6820e1f0d4ad380e46e590ff480917b36701e4fbce32學(xué)中生成的一些與課堂切合度高的問題也要靈活運(yùn)用，即踐行靈活性的問題使用.

第四，突出伴隨性的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)是保障.基于CTI模式的問題鏈教學(xué)從問題開始，中間由問題鏈推動(dòng)，最后又以問題結(jié)束.這種教學(xué)模式模糊了新知建構(gòu)、例題講解等教學(xué)環(huán)節(jié)間的界限，整個(gè)過程在問題解決中展開，所以要在教學(xué)過程中伴隨性地對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行評(píng)價(jià)，動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)學(xué)生表現(xiàn)出來的知識(shí)運(yùn)用、技能遷移和思維創(chuàng)新能力.

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作者簡介劉再平（1987—），男，陜西漢中人，陜西省教學(xué)能手，陜西師范大學(xué)教師發(fā)展學(xué)院博士研究生；主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

羅新兵（1974—），男，安徽桐城人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.