打破思維定勢減少解題廢招

【摘要】解題在鞏固數學知識、提升數學能力和發展核心素養等過程中發揮著極其重要的作用．在解題的擬定計劃與回顧反思環節要打破思維定勢、減少解題廢招，進而提升數學能力并發展核心素養．具體地，在日常教學與教研中，應弱化題型套路，注重過程分析；淡化特殊技巧，提倡通性通法；鼓勵大膽質疑，加強獨立思考．

【關鍵詞】思維定勢；解題廢招；技巧；質疑

解題在鞏固數學知識、提升數學能力和發展核心素養等過程中發揮著極其重要的作用，歷來被中外數學教育家所重視．單墫教授認為：“數學的一個顯著特點是有很多習題，這些習題不僅用來鞏固知識，而且可以培養能力，發展智慧，只有通過解題，才能更多、更好地掌握數學的內容、意義和方法．”[1]張景中院士也曾說：“數學的心臟是問題，學習數學，就要能解題，在解題中要發現問題、創造方法．”[2]美國數學家哈爾莫斯（P.R.Halmos）指出：“數學真正的組成部分是問題與解．學生在數學學習過程中要去解決一些具有一定難度和復雜性的問題，教師要訓練學生成為比我們更強的問題提出者與問題解決者”[3]．美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya）更是直呼“掌握數學就意味著善于解題”[4]，并在其名著《怎樣解題》《數學的猜想》《數學的發現》中不遺余力地大力倡導“數學啟發法”以提高師生解決數學問題的能力，對我國數學教育界影響極深．

近年來題型強化套路的訓練，使一些學生分析和解決問題的能力退化．不少兜圈子的解題“廢招”廣為流傳，而隨著搜題軟件的普及與廣泛使用，時而出現“劣幣驅逐良幣”的現象，給數學的教與學帶來了很不好的影響．

“廢招”的產生往往是受思維定勢的影響．整體上而言，思維定勢對于“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗）的積極作用不可忽視，它是我們構建知識框架和解題策略的必要階梯，但是，其對于“四能”（發現、提出、分析和解決問題的能力）也有不少消極影響，因為師生一旦熟悉了某種固定的模式以后，這種模式就會在頭腦中逐漸形成一種根深蒂固的刻板印象，難于接受其它的新思想，不知不覺地引起思路閉塞或智力枯竭，這對能力的提升和素養的發展不利．

就數學學科而言，由于思維定勢是在長期的學習和訓練中形成的基本套路模式，因而要想不被思維定勢的消極作用而引入歧途，必須在平時數學活動中加強打破思維定勢的刻意練習．解題作為師生最熟悉的數學活動，是打破思維定勢的重要陣地．波利亞將解題活動分為四個階段：弄清題意—擬定計劃—實現計劃—回顧反思[4]．可以發現，在解題的擬定計劃與回顧反思環節是打破思維定勢、減少解題廢招，進而提升數學能力并發展核心素養的最佳時刻．具體地，在日常教學與教研中，應弱化題型套路，注重過程分析；淡化特殊技巧，提倡通性通法；鼓勵大膽質疑，加強獨立思考．

1弱化題型套路，注重過程分析

陳省身先生在不同場合多次指出，中國要成為“數學大國”，就必須做“好”的數學．只有“好”的數學，才會有自己的特色，才能在國際數學界取得“獨立平等”的地位．張奠宙先生對此評論道：言下之意，中國數學家研究的不都是“好”的數學，有些是“不好”的數學．這是一個極為重要的忠告．數學教學當然不同于數學研究，但陳省身先生的觀點仍具有重要參考意義．解題是數學教學中必不可少的一部分，解題教學當然應選取“好”的數學問題并追求“好”的解法，以促進學生“四基”“四能”與“核心素養”的掌握、提升與發展．但“好”問題與“好”解法的標準又是什么呢？項武義教授主張通性通法，認為要教給學生“大巧”，要教學生“運用之妙，存乎一心”，以不變應萬變，不講或少講只能對付一個或幾個問題的“小巧”[2]．張景中院士認為“小巧”固不可取，但“大巧”也著實太難，就像練武功的上乘境界是“無招勝有招”，但武功仍要從一招一式入門，解題教學當然也是如此，提倡教給學生用一個方法解決一類問題的“中巧”[2]．

然而，在實際教學中不難發現，“小巧”“中巧”時常被異化為題型套路的訓練，諸如羅列高考題型強化套路的備考策略大行其道，使得學生分析問題的能力退化，以致很多學生遇到陌生新穎的問題時舉足無措．張英伯教授就曾對大學生過于熱衷于歸納題型的學法提出批評，并反復告誡學生弄明白知識并做一些習題來予以深化和鞏固更為重要[5]．例如，高考壓軸題中頗為流行的“導數在證明數列不等式問題中的應用”，隨著題型套路的訓練與不斷強化，探索思考的方向往往是利用函數不等式進行一系列賦值后再累加（乘），因此問題的關鍵在于構造恰到好處的函數不等式．其實，有時題型套路的先入為主替代了一些直觀上的過程分析，使得原本可以很直觀的結果變得抽象，原本可以很簡潔的解法變得冗余，出現一些無須有的解題“廢招”．下面結合教學、模擬測試中的兩道實例，揭示其解題過程中的“廢招”，以警示在解題教學與命題實踐中均要弱化題型套路，注重過程分析，在好問題與好解法中提升數學能力并發展核心素養．

2淡化特殊技巧，提倡通性通法

通性是指數學概念所反映的基本性質，通法是指解決數學問題的通用方法，通性通法則是指解決具有相同性質數學問題所用的通用方法[6]．數學通性通法的發展側面反映著數學的發展．一種新概念新技巧新思想的誕生，就如星星之火，指引著大家不斷探索與挖掘其普適性，在更廣泛的范圍內解決更多的問題，直至發展成通性通法．然而，在一些教學與教研活動中，卻時常可見一些輕視通性通法、重視特殊技巧的不良傾向，仿佛所用技巧越高級、變換越莫測就越能體現出水平，這削弱了數學“火熱的思考”而加強了“冰冷的美麗”，對數學的教與學弊大于利．李邦河院士就曾大聲疾呼地指出：“數學根本上是玩概念的，不是技巧，技巧不足道也．”[7]單墫教授也多次在文章或著作中呼吁：“解題最好單刀直入，抓住實質，直剖核心，不要拖泥帶水、兜圈子，使出一些‘廢招’，解法應當以簡單、自然為上．”[8]下面結合教學、書刊中的兩道實例，揭示其解題過程中的“廢招”．

對以上變式問題及其數形結合的解法至少有兩個問題值得思考：一是其證明多大程度上依賴于圖2中幾何構造的特殊技巧，是否會像例2那樣，有被忽略的更直接干脆的通性通法；二是從平面到空間的類比遷移這一步，看似簡單自然，但在筆者的教學實踐中卻發現這是思維的一道門檻，跨越起來并不輕松，因而也應加強其必要性的反思．

3鼓勵大膽質疑，加強獨立思考

打破思維定勢、減少解題廢招的另一重要路徑是提倡質疑思維，要積極地保持和強化自己的好奇心和想象力，不迷信權威，不輕信直觀，不放過任何一個疑點，盡可能多地向自己提出與研究對象有關的各種問題．教學中要充分挖掘學生的創新潛能，不僅要提倡學生打破常規思維的約束，積極探索新穎、獨特的解題方法，而且要鼓勵學生大膽質疑，善于獨立思考，養成愛提問題的好習慣．

總之，在平時解題活動中的擬定計劃和回顧反思環節可加強打破思維定勢、減少解題廢招的刻意練習．應弱化題型套路，注重過程分析；淡化特殊技巧，提倡通性通法；鼓勵大膽質疑，加強獨立思考．具體地，可通過對典型問題的一題多解、多題一解等來培養思維的發散機智，提高思維的流暢性；通過對典型問題的一題多變（變條件、變結論、變命題）、引申和拓寬等來培養思維的轉向機智，提高思維的變通性；通過引導學生積極主動尋找創新性的簡捷解法，提高思維的獨特性．隨著思維的流暢性、變通性和獨特性提高，逐漸實現打破思維定勢，減少解題廢招，提升數學能力和發展核心素養的目標．

參考文獻

[1]單墫．解題研究[M]．上海：上海教育出版社，2013：1-12．

［2］張景中．一線串通的初等數學[M]．北京：科學出版社，2009：251-263．

［3］Paul Halmos．The Heart of Mathematics[J]．The American Mathematical Monthly．Vol．87，No．7（Aug．-Sep．，1980）：519-524．

［4］G·波利亞．怎樣解題：數學思維的新方法[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上海科技教育出版社，2011．

［5］張英伯．張英伯文集：數學與數學英才教育[M]．上海：華東師范大學出版社，2021：301-313．

［6］金鐘植．“數學通性通法”的研究綜述及其現實意義[J]．數學通報，2021，60（01）：7．

［7］李邦河．數的概念的發展[J]．數學通報，2009（08）：4．

［8］單墫．解題漫談[M]．上海：上海教育出版社，2016：219-221．

［9］Arthur Engel．Problem-Solving Strategies[M]．Springer，1997：184，198．

［10］黃漢橋，程漢波．加強命題，巧證數列不等式[J]．數學教學，2013（03）：45-47．

作者簡介程漢波（1990—），男，湖北孝感人，博士，高中數學一級教師；主要從事數學競賽與數學教育研究．