基于電測法測量彈性模量和泊松比的實驗研究

摘要：測量材料的彈性模量和泊松比是材料力學實驗的一項重要實驗項目。為了豐富材料力學實驗教學手段和教學內容，把理論計算、有限元仿真技術和電測法測試技術有機的融合在一起。分別通過電測法、ABAQUS軟件模擬和理論計算方法得到低碳鋼的彈性模量和泊松比。結果表明：模擬結果和理論計算結果幾乎相等，但是電測法實驗測試結果與理論計算結果之間的誤差相對較大，主要是由于電阻應變片在試樣表面的黏貼質量不高和試樣的幾何尺寸測量不精確造成的。

關鍵詞：電測法ABAQUS軟件 彈性模量 泊松比材料力學實驗

中圖分類號：TB302.1

AnExperimental Study on the Measurement of the Elastic Modulus and Poisson's Ratio Based on the Electrical Measurement Method

CHEN Hongbing HU Libang YAO Liping LI Li

College of Engineering and Technology， Southwest University， Chongqing，400715 China

Abstract：Measuring the elastic modulus and Poisson's ratio of materials is an important experimental project inExperimentsofMechanics ofMaterials. In order to enrich the teaching methods and teaching contents of Experiments ofMechanics ofMaterials， theoretical calculation， finite element simulation technology and electrical measurement testing technology are organically integrated， andthe elastic modulus and Poisson's ratio of low-carbon steel are obtained by electrical measurement， ABAQUS software simulation and theoretical calculation methods. The results show that simulation results are almost equal to theoretical calculation results， but the error between the experimental measurement results of the electrical measurement method and the resultsof theoretical calculation is relatively large， which is mainly caused by the poor bonding quality of the resistance strain gauge on the surface of the sample and the inaccurate measurement of the geometricdimension of the sample.

Key Words：Electrical measurement method; ABAQUS software; Elastic modulus; Poisson's ratio; Experiments ofMechanics of Materials

目前，很多高校的材料力學實驗不管是在教學內容上還是在教學方法上都沒有得到長足發展，主要原因：（1）材料力學實驗項目依附于理論課，新的理論沒有增補進教材，導致實驗項目更新緩慢；（2）學時數縮減，無法充實更多的實驗項目；（3）經費缺乏，實驗設備更新緩慢；（4）教學方法沒有得到根本性的改進，實驗課仍然以講授和演示為主[1]。因此，實驗課的吸引力不足，學生的學習積極性不高。為了改變這種狀況，實驗項目應具有一定的前沿性和挑戰性，教學手段應具有一定的先進性和互動性。將有限元分析技術引入教學過程中有利于激發學生興趣，使實驗課變得生動形象，培養和鍛煉學生解決復雜工程問題的能力。已有一些學者利用有限元仿真技術輔助實驗教學，例如：苑霄雯等人[2]利用ANSYS軟件模擬了低碳鋼的拉伸實驗；王國明等人[3]利用ANSYS軟件模擬了矩形截面梁的純彎曲實驗；張建勛等人[4]利用ABAQUS軟件模擬得到的各種應力、應變云圖，直觀、形象地解釋了材料力學的基本概念和材料的變形過程；趙通來等人[5]利用ABAQUS軟件模擬了飛機起落架的結構強度，對起落架的結構設計和輕量化減重進行了優化分析。從以上文獻可以看出，ABAQUS 有限元分析軟件在材料力學實驗教學和工程實踐方面都有廣泛應用。

1測量彈性模量和泊松比的實驗原理

1.1彈性模量的概念及測試方法簡介

彈性模量E和泊松比μ是表征材料力學性能的兩個重要參數，開發一種新材料或者實際工程應用中均需要知道這兩個參數，才能夠確保材料的安全使用。從微觀上來講，彈性模量是由材料內部的原子與原子之間的結合力強弱決定的，是反映材料的內在本質特征參數[6]。材料的晶體結構類型、晶體的點陣間距、孔隙率等都是其重要影響因素。從宏觀上來講，彈性模量E是表征材料抵抗彈性變形能力的指標。一般而言，E越大，材料產生彈性變形所需的應力就越大，彈性變形就越困難，反之則反。工程上常把E稱作材料的剛度。

隨著科學技術的不斷進步，測定彈性模量的方法多達十余種，涉及的實驗原理和技術手段各不相同。根據國家標準《金屬材料 彈性模量和泊松比試驗方法》（GB/T 22315—2008）可知測量彈性模量主要有靜態法和動態法兩類方法[7]。其中，靜態法是指對試樣施加軸向力，在其彈性范圍內測定相應的軸向變形和橫向變形，然后計算求解彈性模量和泊松比，通過圖解法和數據擬合法進行數據處理。常用的靜態測量法有引伸計測量法和電測法等。然而，在材料力學實驗教學過程中，使用電測法更易于實施實驗教學和提高學生的感性認識和實驗的可操作性。測定彈性模量的圖解法有3種[7]：（1）通過在測得的軸向力-軸向變形曲線上確定一段直線段，然后在該直線段上選取A、B兩點，A、B兩點的縱坐標和橫坐標的增量之比即為楊氏模量，如圖1（a）所示；（2）通過在測得的軸向力-軸向變形曲線上，通過與所規定的上、下兩應力（或應變）點A、B畫一條弦線，該弦線的斜率即為弦線模量，如圖1（b）所示；（3）通過在測得的軸向力-軸向變形曲線上，然后通過規定應力（或應變）值對應的R點作曲線的切線，該切線的斜率即為切線模量，如圖1（c）所示。

動態法（或共振法）主要是指依據聲共振原理測定試樣的機械共振頻率，以便測定動態彈性模量、動態切變模量和動態泊松比等[7]。共振法[6]可以分為懸絲耦合彎曲共振法、單懸臂彎曲共振法和自由梁彎曲共振法等，如圖2所示。一般推薦采用懸絲耦合共振法，它具有振幅大，共振易判定，振動長度易測定，溫度適用范圍廣等優點。

1.2基于電測法測量彈性模量和泊松比的實驗方法

在材料力學實驗中，通常采用電測法來測試材料應變的大小，它的基本原理是將高靈敏度的電阻應變片用膠水牢固地黏貼在光滑的被測構件表面[8]。應變片將隨構件一起變形，應變片變形后其電阻值改變，應變片電阻值改變將破壞測試電橋的平衡，從而輸出電流（或者電壓），然后換算成應變值，最后根據胡克定律就可得到應力值。電測法具有測量精度高、應用范圍廣和影響小等優點。

當試樣受到軸向拉伸時，根據材料體積不變原則，試樣的軸向伸長必然引起橫向收縮。若軸向應變為ε_1，橫向應變為ε_2；二者之比為一常數，其絕對值稱作橫向變形系數，又稱泊松比，用μ來表示。當試樣受到軸向拉伸時，就會產生彈性變形，通過應變儀可以測得軸向應變和橫向應變。試樣的橫截面面積為A0，施加的載荷為 F，則可計算得出彈性模量 E和泊松比μ為：

E=σ/ε_1 =F/（ε_1×A_0 ）（1）

μ=|ε_2/ε_1 |（2）

為了驗證應力與應變的線性關系，一般采用增量法，逐級加載。如果在各次載荷增量△F 作用下，測得相應的應變增量基本相同，就可以驗證虎克定律的正確性。假定各次測得?ε_1和?ε_2的平均值分別為?ˉ（ε_1 ）和?ˉ（ε_2 ），則彈性模量和泊松比又可表達為：

E=?F/（?ˉ（ε_1 ）×A_0 ） μ=|（?ˉ（ε_2 ））/（?ˉ（ε_1 ））|（3）

2 ABAQUS軟件模擬分析

ABAQUS 軟件是一款功能強大的有限元分析軟件，它既能分析簡單的線性靜力學問題，又能解決復雜的非線性問題[6，7]。本實驗的模擬分析流程如下。

（1）建立仿真模型。利用ABAQUS軟件繪制試樣的三維模型，試樣長為150mm， 寬為28mm， 厚為3mm的一個矩形截面長條試樣。（2）設置參數。低碳鋼 Q235，材料的彈性模量 E= 210GPa，采用線彈性材料模型。（3）分析步設置。選擇靜力學分析，時間設置為1，不考慮幾何非線性，初始增量步設置為0.01，最小增量步為10-5，最大增量步為0.1。（4）載荷與邊界條件。模型下端面加載固定約束，設置一參考點與上端面耦合，分別施加500N和3000N于參考點。（5）劃分網格。設置好所有的邊界條件后，對三維模型進行網格劃分，網格尺寸為2.5mm，選用最常用的 C3D8R 單元類型。（6）后處理與數據分析。提交計算并等待計算完畢后，在后處理階段顯示 ODB 文件中的分析計算結果， 包括變形前后的模型圖、各種變量的分布云圖等。為了節省篇幅，圖3僅展示了試樣的網格模型圖、施加500N和3000N的橫向和軸向應變云圖。

從圖3可以看出，在試樣中間區域不管是橫向應變還是軸向應變均顯示其變形是均勻的彈性變形。另外，試樣的橫向應變為壓縮應變，為負值，如圖3（b）和（d）所示；試樣的軸向應變為拉伸應變，為正值，如圖3（c）和（e）所示。在圖3（c）和（e）的插圖中，可以看出應力-應變呈線性相關性，即屬于彈性變形，而且當F=3000N時，試樣的應力和應變值與F=500N時的應力和應變值具有6倍的關系，這說明采用等增量逐級加載是可靠的，模擬結果是準確的、有效的。

3實驗測試及結果分析

基于電測法測試低碳鋼的彈性模量和泊松比的實驗裝置全景，如圖4（a）所示。用低碳鋼板材自制的實驗裝置，如圖4（b）所示，試樣的橫截面尺寸為：b=28 mDsJSG2U823IqA/6hupqq6Q==m，t=3mm。在試樣的正反面沿軸向和橫向分別貼有應變片 R1和 R2，如圖4（b）所示。當試樣受到軸向拉伸時，寬度方向受到壓縮變形，產生負的應變；長度方向受到拉伸變形，產生正的應變。實驗采用ETM105D電子萬能試驗機給試樣施加拉力，采用等增量逐級加載方式（?F=500N），從500N～3000N每增加一級載荷，試驗機自動停止加載，即保載30 s，以便從靜態電阻應變儀上讀出數據，加載曲線如圖4（d）所示。實驗過程由試驗機程序自動控制，實驗操作方便，加載力值精度高。實驗采用CM-1L型靜態電阻應變儀，采用半橋單臂溫度補償測量電橋連接方式，應變片電阻為120Ω，靈敏系數K=2.08，如圖4（c）所示。最后，記錄實驗數據，如表1所示。

材料力學教材推薦的低碳鋼的彈性模量E為196～216GPa，μ為0.24～0.28 的取值范圍[9]。從表2可以看出，實驗測得的彈性模量稍微偏高，模擬分析的彈性模量與理論計算使用的彈性模量幾乎相等，說明模擬結果準確有效。另外，實驗測試的泊松比和模擬的泊松比均在允許取值范圍內，實驗測試值稍微偏高，這可能是由于電阻應變片黏貼質量不高和試樣幾何尺寸測量不精確造成的?？傮w而言，3種數據的誤差均較小，說明用這3種方法測試低碳鋼的彈性模量和泊松比是可靠的、準確的。

4 結論

通過理論分析計算了低碳鋼試樣施加F=500N時的拉伸軸向應力和軸向應變參數；通過ABAQUS軟件模擬了低碳鋼試樣的拉伸變形，獲得了各種加載條件下的應變云圖與應力-應變曲線，根據結果計算了彈性模量和泊松比；通過電測法實驗測試了低碳鋼的軸向應變和橫向應變，計算了彈性模量和泊松比。通過對比分析3種數據，發現它們之間的誤差較小，證明實驗裝置是可靠的，模擬分析結果是正確的。通過引入有限元分析技術，有利于豐富實驗教學手段和實驗教學內容，提高實驗課的吸引力，激發學生的學習興趣，為培養和鍛煉學生利用力學知識和有限元分析技術解決復雜工程問題提供了強力支撐作用。

參考文獻

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[3] 王國明，鄧立君，湯沛源. 有限元分析在材料力學實驗教學中的應用[J].中國現代教育裝備， 2020 （1）： 95-97.

[4] 張建勛，徐志敏，白金文. ABAQUS 軟件在“工程力學”課程教學中的應用[J].裝備制造技術， 2023 （8）：101-103.

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