指向初中數學關鍵能力的中考特征分析與啟示

摘 要 為提高命題質量，進一步發揮考試評價導向作用，深化義務教育教學改革，基于數學關鍵能力構建評價框架及指標體系，對東、中、西部地區六大省份2023年初中數學學業水平考試試卷進行數學關鍵能力指標賦能及特征分析。研究發現：六省中考命題對九大數學關鍵能力考核權重大小分配結構基本一致，且東部地區命題著重綜合素養，中部地區命題著重創新改革，西部地區命題著重基礎知識。為促進教育公平，依據評價結果從數學觀察能力、數學思考能力、數學表達能力三個方面給予中考備考建議。

關 鍵 詞 數學關鍵能力;初中數學;評價指標;評價體系;初中學業水平考試;中考備考

引用格式 佘詩恬，吳仁芳，夏世嬌.指向初中數學關鍵能力的中考特征分析與啟示[J].教學與管理，2024（25）：66-71.

在智能信息時代，具備數學核心素養的學生在未來將具有更強的國際競爭力。初中數學課程具有基礎性、綜合性、發展性等特點，對培養學生數學核心素養和綜合能力至關重要。數學關鍵能力是數學核心素養的核心部分和外在表現，其培養是促進初中數學核心素養形成的關鍵。一方面，2019年教育部頒布《關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》強調科學命題的重要性，《義務教育課程標準（2022版）》則提出要更新教育評價觀念，強化素質導向，注重對正確價值觀、必備品格和關鍵能力的考察，開展綜合素質評價[1]，可見考察數學關鍵能力已成為中考改革的新趨勢。另一方面，自2021年以來，為加強命題管理、提高命題質量，我國教育部加快推動中考省級統一命題步伐，中考命題關系到各地對國家教育質量標準的理解與執行，為實現教育高質量發展，推進義務教育更廣泛更優質的發展，中考命題應逐步走向省級統一。本研究基于數學關鍵能力構建評價體系，選取北京、上海、湖南（長沙）、山西、云南、陜西六省2023年數學初中學業水平考試真題卷進行賦能整合，分析東、中、西部地區中考命題特征，以此豐富全國中考命題中數學關鍵能力的測評實踐，并對我國初中數學關鍵能力培養提出建議。

一、初中數學關鍵能力評價體系

1.初中數學關鍵能力的內涵與表現

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱高中課程標準）中提出數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現[2]，初中生數學關鍵能力無疑也將成為數學義務教育階段的重點培養目標。隨著基礎教育綜合改革的推進，數學學科教育逐步向素質育人、智慧育人方向轉變，其中數學關鍵能力相較于其他數學核心素養具有更容易量化考核的特征，也是中考命題的重要依據。因此，構建基于數學關鍵能力的初中生數學學業水平考試評價體系，對于規范數學關鍵能力考核有重要意義。

關于數學關鍵能力的組成要素，喻平認為高中課程標準中蘊含了高中生需具備的數學核心素養6種關鍵能力，從能力角度理解，檢測學習質量就應當從這6個關鍵能力開展[3]。朱立明在構建初中生數學關鍵能力測評模型時，依據文獻和專家咨詢最終確定測評三大維度為數學觀察能力、數學表達能力和數學思考能力[ 4 ]。《義務教育數學課程標準（2022 年

版）》（以下簡稱義務教育課程標準）中明確界定我國義務教育階段數學學科培養的核心素養主要體現在會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界三個方面[5]，并對其中包含的學生核心素養和各個素養的內涵和體現作出具體界定（見表1）。

2.初中生數學關鍵能力的評價指標

為探究初中學業水平考試對數學關鍵能力的考察情況，還需要進一步對數學關鍵能力進行合理科學的層次劃分。SOLO理論將學生思維能力水平從低到高，從簡單到復雜分為五個水平，分別為：前結構水平、單一結構水平、多元結構水平、關聯結構水平、拓展抽象結構水平[6]。SOLO理論可以全面具體地判斷學生答題水平情況，如判斷學生能力的掌握情況。在構建數學核心素養知識評價體系框架中，喻平綜合考慮布盧姆模型、PISA模型和 SOLO模型，提出以數學核心素養劃分的理論概念：知識獲取可分為三種形態，知識理解、知識遷移和知識創新[7]。其中知識理解指對知識本身的內涵和知識間邏輯關系的理解，在應用知識的過程中體會數學方法，進一步加深對知識的認知，并逐步形成數學基本技能;知識遷移是指學生把已經理解的知識和形成的基本技能遷移到不同情境之中，促進新知識的學習或在不同情境中解決問題;知識創新是指學生解決非常規的開放性問題，或生成超越教材規定內容的數學知識，將問題概括并轉化為新問題的能力。

依據表1初中階段數學核心素養的內涵及外延，參考喻平與朱立明等人提出的核心素養劃分標準，將9大關鍵能力劃分為27個水平等級，構建初中數學關鍵能力評價指標體系（見表2）。

在初中數學關鍵能力評價表的基礎上，參照義務教育課程標準的9大核心素養，對表2中27項水平指標做詳細解釋。

A1：能從簡單問題中抽象出數學研究對象并用數學符號表達;具備運用基礎知識解決數量、幾何與代數中的簡單問題的能力。

A2：在新的常規化情境中，能抽象出核心概念、基本命題、重要定理、相關事實和結論 ，并有效運用這些要素解決情境問題。

A3：在新情境中能靈活運用概念、定理、命題和方法抽象出數量關系和空間規律性 ;能通過抽象思維提出和分析問題。

G1：能識別基本幾何圖形，如點、線、面、三角形、 四邊形等，并能通過想象與構造利用已有的幾何知識解決簡單的空間幾何問題。

G2：利用幾何圖形建立數形之間的關系;通過圖形與量的關系洞察數學知識之間的內在聯系 ;利用幾何圖形解決一般性的復雜問題。

G3：能利用圖形對復雜情境進行深入分析并提出相應數學問題，借助幾何直觀解決非常規數學問題;用數形結合的思想解決現實問題。

S1：在一般情景中能實現現實實物與對應幾何圖形的相互轉化;能認識和表述簡單物體的空間位置信息與運動規律。

S2：在復雜情境中能實現現實實物與對應幾何圖形的相互轉化;表達物體復雜的運動和變化;通過理解圖形的運動和變化規律解決問題。

S3：能將感知過的空間模型或實物重現并解決現實問題;能用空間概念對現實世界的空間形式進行觀察、分析、理解。

C1：在簡單情境中 ，通過已學的數學法則，提出解決問題的策略;完成簡單的繪圖、作輔助線并解決簡單的幾何、測量、方案設計問題。

C2：在常規情境下，發現多個數學關系與規律并提出解決問題的多種策略;完成常規的幾何、測量、方案設計問題;對設計類問題提出問題解法。

C3：在科學情境中探索并提出有價值的數學問題;能考慮現實意義（如路程最短、效率最高等）進行解題;對實際問題能提出一種以上的解決方案。

O1：掌握包括加、減、乘、除等基本運算法則;能鎖定正確運算對象及對應意義;保證簡單運算的準確性和熟練度。

O2：能在常規性復雜運算問題中綜合運用所學知識，保持清晰的解題思路，逐步求解;根據題目特點選擇合適的運算策略和方法。

O3：在掌握基本運算方法的基礎上，能靈活運用運算技巧和方法解決非常規運算問題，在運算過程中發現數學規律，總結方法，形成個人解題思路。

R1：理解和應用基本的邏輯推理規則和方法;能用給定的信息證明簡單的定理、命題 ;具備思考和表達簡單數學問題的能力。

R2：能借助初中常見的推理方式進行探索推理，準確闡述證明過程;在常規性問題中能識別關鍵信息和問題之間的關聯，并選擇合適的策略解決問題。

R3：具有批判性思維，能在新的情境中對推理過程不斷修正，用數學語言予以表達、分析和證明;能通過邏輯推理解決非常規的問題。

D1：對數據和統計有基本認識;熟悉統計中數據收集、整理、分析的過程，并利用其對數據進行分析和推斷;能夠使用簡單統計信息解決相關問題。

D2：在新的情境下，能運用統計的方法對數據進行整理、分類、分析;運用適當的概率或統計模型來描述規律，并解決相應問題。

D3：對不同的數據結果進行解釋和比較;能評估數據的可靠性和有效性，了解誤差和偏差可能對結果產生的影響。

M1：能運用基礎的數學工具，利用初中常見模型建模解決簡單的數學問題。

M2：能在面對優化問題、概率問題、幾何問題等實際問題中，運用數學基本知識建立恰當的數學模型解決常規性問題。

M3：能運用數學語言、符號和公式描述情境中的數學關系，發現或提出問題;并通過邏輯推理和數學運算求解模型，解決非常規的問題。

AC1：理解數學的概念、原理和方法，能利用自身的數學知識體系解釋現實中的簡單規律;能用數學的方法解決簡單的現實世界的數量和圖形有關的問題。

AC2：在新的現實情境中，能通過問題描述感悟其中一到兩個與現實世界中的數量和圖形有關的問題并加以解決。

AC3：能將現實世界和數學問題相聯系，主動地利用數學知識解釋現實生活中的現象和規律，解決現實世界中的復雜問題。

3.關鍵能力指標權重的分析方法與原則

（1）分析方法

根據中國地理地區劃分，我國內地省級行政區可劃分為東部地區、中部地區和西部地區，三大地區的數學基礎教育水平、數學中考命題方案、考察數學關鍵能力的情況均有不同。本研究從東、中、西部地區分別選取兩個省份（湖南省份以長沙市為代表），共六個省份2023年數學初中學業水平考試真題卷作為原始數據，根據初中生數學關鍵能力的評價體系表與各水平具體內涵，采用分值標記法對各關鍵能力水平指標賦值。基于中考命題的綜合性和各省份命題特點的地域性，為保證賦值過程的科學嚴謹，規定賦值過程遵守一定原則。

（2）分析原則

①考核同一能力選取最高水平

數學關鍵能力水平劃分過程中遵循由低到高的準則，各關鍵能力水平具備一定的包含關系，后一水平包含前一水平的內涵要求，當題目涉及同一能力的不同水平考核時，只選取最高水平作為賦值參考。

②考核同一試題限定數量和比重

初中學業水平考試需注重試題綜合性，注重考查基礎知識、基本技能、思維過程、創新意識和分析與解決問題的能力。因此初中學業水平考試需注重試題綜合性，在試題中易出現考核多種數學關鍵能力的情況，為體現各能力的權重關系，也為保證賦值過程的完整性，在賦值過程中遵守從重到輕的原則，對題目中考察占比過少的數學關鍵能力不進行賦值，優先標記其他重點考核能力。同時為方便數據統計，賦值分數最小單位為0.5分。

③賦值過程采用“分—合”的方式

賦值由三位作者與數學教育相關的研究生共同完成，采用“分—合”的賦值方式，先由第一作者對六省試題進行第一次賦值，依據第一次賦值結果與第二第三作者逐題核對調整賦值，最后參考數學教育相關研究生的意見探討出統一結論，得到最終賦值結果。

以下為賦值例題（2023年北京市數學中考真題卷第21題）參考：

對聯是中華傳統文化的瑰寶。對聯裝裱后，如圖1所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊。一般情況下，天頭長與地頭長的比是6∶4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的。某人要裝裱一副對聯，對聯的長為100cm，寬為27cm。若要求裝裱后的長是寬的4倍，求邊的寬和天頭長。（書法作品選自《啟功法書》）

本題考查了一元一次方程的應用，以中華傳統文化為背景，需要考生依據問題描述感悟現實情境中的數量與圖形關系，考查了應用意識AC2（1分）。同時需要抽象出新情境中的相關定理和方法，應用相關命題抽象出數量關系與空間規律，考查了抽象能力A3（2分），再依據抽象出的對象建立數學模型并解出具體答案，考查了模型觀念M2（2分）和運算能力O2（1分）。

二、六省中考試卷關鍵能力特征分析

依據上述賦值方法和原則，對北京、上海、長沙、山西、陜西和云南六省2023年學業水平考試數學試卷賦值，因各省總分不一致，賦值結果按照權重=（分數/試卷總分）×100%的公式換算權重標準化賦值，為方便統計運算過程中所有數據取小數點后一位進行記錄，最終得到數學關鍵能力權重匯總表（見表3）。

1.整體數據直觀分析

由圖2、表3可知，六省在中考卷命題以素養立意為核心，考察數學思維，突顯數學學科特點。在考察基礎知識基礎技能的同時充分融合考察九大數學關鍵能力。圖3所示，各省對抽象能力、運算能力、推理能力和幾何直觀的考核權重最大，運算是解決數學問題的基本工具。在2023年六省的初中學業水平考試數學科真題卷 （以下簡稱六省中考卷）以代數式、方程的變換、統計量、幾何圖形角度和邊長的計算等形式考核學生運算能力;抽象能力和推理能力權重二者在數學問題的發現和探索中具有不可或缺的作用。數學抽象能力在中考卷中主要體現在數感、量感和符號意識的進一步感知;推理能力作為數學學科的本質特征，在中考卷中則主要以邏輯推理和命題證明的形式考核。

空間概念和幾何直觀在義務教育課程標準中是貫穿義務教育各學段的兩個數學關鍵能力，兩者與高中階段的直觀想象有內在關聯，在表現特征上體現出發展性[8]。幾何直觀有利于幫助學生構建抽象概念的關聯橋梁，推進學生發展幾何推理能力，在中考卷中，各省均傾向于借助幾何內容綜合考核學生數學思維，此外還設置幾何壓軸題，綜合性地考察學生對幾何推理和空間想象能力。

應用意識、模型意識、數據觀念在初中階段的要求相較于其他能力比較簡單，在中考卷中也僅考核簡單的應用和模型意識;數據觀念的考核相較于“意識”的要求更進一步，主要集中在對統計相關的統計量計算和統計圖繪制考核，要求學生對統計的概念和基本特征有所掌握。

2.各地區數學關鍵能力考核特點

（1）東部地區

以北京、上海為代表的東部地區經濟發達，教育資源豐富，學生基礎普遍較好，在此基礎上東部地區在中考命題上著重學生綜合素質和創新能力的考察，試題中增加了一些具有挑戰性和創新性和開放性的題目，從選拔“會做題的學生”到選拔“有能力的學生”。東部地區命題尤其在主觀題中綜合性較強，如北京卷第25題，從實際情境中抽象出用水量、總用水量等數學對象，并進一步抽象出函數關系，考查學生“用數學的眼光觀察現實世界”的能力。東部地區命題關注能力導向，充分體現數學學科育人價值，強調生活化問題的解決。引導學生將數學與現實世界相連，如上海卷第22題以加油卡銷售為情境背景，突破傳統命題思路，整體難度中等，考查“用數學的思維思考現實世界” 的能力，該題目或成為未來中考命題趨勢，即將數學對象和數學問題隱藏在現實情境之中。

（2）中部地區

以長沙（湖南）、山西為代表的中部地區水平相對均衡，教育資源相比東部地區有些許差距，近兩年隨著經濟的發展，中部地區響應國家教育政策展開了一系列基礎教育改革措施，在中考命題中逐步走向個性化和多元化發展，注重對基礎知識和基礎技能的考察的同時，融合對關鍵能力的考核，體現對學生個性化發展的關注。長沙作為第二批基礎教育改革試驗區，以完善基礎教育綜合評價體系為目標，為堅持素養育人，在中考中設立新題型，如長沙卷第25題為函數新定義題型，對學生的思維能力、創新能力、實踐能力有進一步要求。山西中考命題更是提出以“一核六維四手段”為命題理論體系，意在減少機械記憶試題，提高探索性、開放性、綜合性試題考核比例，從而落實“雙減”政策，實現立德樹人的教育改革目標。如山西卷第22題，以擺放旋轉幾何圖形為主，考察旋轉、全等三角形判定、三角函數等基礎知識，通過現實情境背景和問題中蘊含的思想層層遞進，給學生提供了發散思維的空間。

（3）西部地區

以陜西、云南為代表的西部地區教育資源相對東、中部地區較為匱乏，學生基礎普遍較弱，因此西部地區中考命題更加注重對基礎知識和技能的考察，適當降低題目難度，確保學生順利完成考試。如云南卷第18題，針對基礎幾何問題考查學生對于三角形相似、線段關系等基本公理的應用能力。在西部地區的教育特點與需求下，命題也適時增加了一部分與現實生活緊密相關的題目，以考察學生對知識的實際應用能力。如陜西卷第7題，其內容結合陜西飲食文化與幾何知識，貼合課程標準中對弘揚優秀傳統文化的要求，并且結合學生認知水平和生活經驗來設計生活情境。

三、指向初中數學關鍵能力的中考備考建議

中共中央、國務院印發的《關于深化教育教學改革 全面提高義務教育質量的意見》中指出：堅持全面發展，為學生終生發展奠基，從考察“一時能記住的知識”轉向“一生能帶走的能力”。因此在備考過程中，學生應以基礎知識為本，回歸課本，體悟知識的本質，教師應引導學生全方位體會數學學科的魅力，從而落實核心素養的培育。

1.培育數學觀察能力，用數學眼光考量世界

數學觀察是一種主動、積極的思維活動，在觀察過程中，學生需要根據觀察到的數學特征或現象進行分析、抽象、比較、概括，以此確認被觀察事物的性質和關系。以六省命題結構為參考，通過以下途徑在教學過程中培養數學觀察能力。其一，培育觀察意識，從熟悉生活情境中觀察并感知問題，引發學生認知沖突，加強學生“用數學”的意識。其二，激發觀察興趣。教師在教學過程中有意識地向學生設計數學觀察發現數學原理和概念的例子，并設置趣味性環節，使學生在一種輕松的環境下感受觀察過程，對數學觀察產生興趣。其三，應用觀察方法。教師在教學過程中循序漸進地引導學生提出問題，觀察過程一環扣一環，既要觀察到表面的、明顯的特點，也要觀察到隱藏的、未知的信息。

2.培育數學思考能力，用數學思維理解世界

初中數學思考能力主要集中在運算能力和推理能力的培養，初中生思維能力的高低，是推動數學教育高質量發展的關鍵。在教學過程中，教師需有意識地培養學生良好的運算習慣，在解題過程中應當清晰寫出每一步計算步驟，確保推理嚴謹性。一方面，在運算過程中，學生需要不斷梳理思路，運用數學概念和法則，使得運算技巧與邏輯思維、推理能力等有效整合。另一方面，教師可通過小組學習或項目式學習的方式，引導學生主動思考，合作交流。這種互動性學習可以有效弱化不同學生思維能力差距，讓大部分學生都能在學習過程中進行思維碰撞，實現能力的提升。

3.培育數學表達能力，用數學語言描述世界

數學表達能力在學生培養數學關鍵能力的過程中占據著重要地位，課標要求初中生要會用數學語言表達現實世界。在各省中考命題卷中，考題大量結合實際生活，將數學問題隱藏在生活情境中，意在考察學生數據觀念、模型觀念和應用意識的能力。教師在教學過程可融入“沉浸式”教學，讓學生自行感悟統計、模型的特點。例如給予學生統計圖表，讓學生自行觀察和發現圖表中蘊含的信息;同時要創設合適的生活化情境，讓學生在已有的知識基礎上自己提出問題、分析問題、解決問題，嘗試建立數學模型。

參考文獻

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[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2018：4.

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[5] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022 年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：5-11.

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[7] 喻平.數學核心素養評價的一個框架[J].數學教育學報，2017，26 （02）：19-23+59.

[8] 鮑建生，章建躍. 數學核心素養在初中階段的主要表現之四：空間觀念[J].中國數學教育，2022（17）：3-8.

【責任編輯 王澤華】

*該文為湖南省自然科學基金面上項目“圖中單調性拓撲指數極值問題的研究”（2018JJ2249）、湖南省教育廳教改項目“新課標下數學學習力形成的機制研究”（HNJG-2024-0522）的研究成果

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