基于模型預測控制的重載列車軌跡跟蹤研究

摘 要：【目的】為提升重載列車的安全性、平穩性、節能性，減小車鉤力，提出了一種基于模型預測控制的重載列車軌跡跟蹤方法。【方法】首先，建立考慮車輛間車鉤力的重載列車多質點動力學模型；其次，將列車縱向沖動、運行能耗、速度跟蹤誤差轉化為符合模型預測控制框架的問題；最后，設計基于模型預測控制算法的速度跟蹤控制器，該控制器以目標速度曲線為輸入，列車控制力為輸出。【結果】提出了以提高參考速度曲線跟蹤精度、減小車鉤力沖動和降低列車運行能耗為目標的模型預測控制算法。【結論】基于實際車輛和線路數據開展了不同預測步長和不同權重系數對控制性能影響的仿真分析。通過仿真試驗，對比驗證了所提算法的有效性，該算法能夠提高列車速度跟蹤精度、減小車鉤力沖動和降低列車運行能耗。

關鍵詞：重載列車；多質點模型；列車自動駕駛；模型預測控制

中圖分類號：U268" " 文獻標志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2024）14-0004-07

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.14.001

Research on Trajectory Tracking of Heavy-Haul Trains Based on Model Predictive Control

Abstract： [Purposes] To enhance the safety， stability， and energy efficiency of overloaded trains and reduce the coupling force between cars， this paper proposes a trajectory tracking method for overloaded trains based on model predictive control.[Methods] Firstly， a multi-mass dynamic model of overloaded trains considering the coupling force between vehicles is established. Then， the longitudinal impulse of the train， train energy consumption， and speed tracking errors are transformed into problems conforming to the model predictive control framework. Finally， a speed tracking controller based on model predictive control algorithm is designed， with the target speed curve as input and train control force as output.[Findings] This paper proposes a model predictive control algorithm aimed at improving the accuracy of tracking the reference speed curve， reducing the impulse of the coupling force， and lowering train energy consumption.[Conclusions] Simulation analyses are conducted based on actual vehicle and track data to examine the effects of different prediction step lengths and weight coefficients on control performance. Through comparative simulation experiments， the effectiveness of the proposed algorithm is verified， demonstrating its ability to enhance the accuracy of train speed tracking， reduce coupling force impulse， and decrease train energy consumption .

Keywords：heavy-haul trains; multi-particle model;autonomous train driving; model predictive control

0 引言

鐵路運輸是當今社會中高效、便捷且成本較低的煤礦運輸方式之一，我國化石能源呈現較強的地域性特色，西部地區的煤、礦石等化石能源的儲存量較大，但從西部向東部發達地區運輸過程中的線路環境較為復雜，且包括多個含有長大下坡的困難區段［1］。另外，為提高運輸效率，列車載重量日益增大，車輛直接作用力也較大，導致重載列車車鉤力沖動比普通列車更大且變化復雜，對重載列車運輸提出了更高要求［2］。未來鐵路貨運的發展方向將是自動化、數字化、智能化和綠色化。在這個過程中，重載列車的自動控制將是未來發展的關鍵技術之一，其能在保證列車安全運行的同時，有效提高鐵路運營服務質量［3］。對重載列車運行控制技術的研究是實現列車自動駕駛的重要環節，本研究將針對提高列車速度曲線跟蹤精度、減小車鉤力沖動和降低列車運行能耗的運行控制算法進行研究。

列車自動控制算法中應用最為廣泛的經典算法主要有PID及其改進算法［4］，這些算法的優點在于結構簡單、便于實現；缺點在于其機理為將當前值與期望值進行調節，導致控制列車時級位切換過于頻繁，運行平穩性會降低，不利于節能駕駛。一些改進的PID算法較基礎的PID控制器而言性能更加優良，并在法國的巴黎、里爾等城市實現了應用［5］。馮健［6］將線性二次調節器引入列車精確停車控制中，并設計與PID控制器的仿真對比驗證。結果表明，相較于PID控制器，線性二次調節器停車精度更高，且操縱級位的切換頻率更低。自適應算法因其適應性強，無須手動調整參數的優點，也被應用于列車控制領域中［7］。吳鵬［8］設計了基于自適應滑模控制的停車控制器，考慮了外部擾動對控制器的影響，并基于城軌列車模型進行仿真計算，實現了系統參數不確定和具有外部擾動的情況下精確停車，并能保證乘客的舒適性。Wang等［9］在考慮外部未知阻力擾動的基礎上，對列車在運行過程中使用參數辨識的方法，實時獲取較為準確的列車制動特性參數，并設計廣義預測控制算法，實現列車速度跟蹤控制。另有學者將智能算法應用于列車速度跟蹤控制，其方法主要根據數據和規則開展［10-13］，不依賴于準確的模型。王義惠等［14］利用機器學習的方法針對朔黃鐵路的歷史運營數據，開展以減小重載列車縱向沖動為目標的多車智能協同控制研究。

模型預測控制的特征是預測模型、滾動優化、反饋校正，在控制器設計中可以充分考慮到列車的各種約束和多目標優化，更適合應用于列車控制領域。王鵬玲［15］首先根據多目標優化的列車參考速度曲線，然后引入模型預測控制設計考慮列車安全追蹤的列車速度跟蹤控制器。郭洋洋［16］設計了模糊控制與預測控制結合的高速速度跟蹤控制器，并根據實際線路條件，計算了列車模擬速度曲線，以此為目標進行速度跟蹤仿真驗證，仿真結果驗證了算法的有效性。付雅婷等［17］針對重載列車速度跟蹤控制問題，引入了一種改進的廣義模型預測控制算法，提高了在線求解最優控制輸入的速度。Lin等［18-19］針對處于長大下坡線路的重載列車駕駛問題，建立了再生制動和空氣制動列車控制模型，經過數值仿真，發現在長大下坡區段全電制動工況比使用惰行工況更加節能，算法對比模糊預測控制取得了更優的節能效果。上述的研究從多種角度對列車的運行控制進行了闡述，但較少有研究將重載列車車輛間的車鉤力限制納入控制問題的求解約束中。而重載列車由于其車身長，整體重量大的特性，如果不對車廂間車鉤力限制納入考慮之中，將無法保證重載列車運行安全。本研究以重載列車為研究對象，首先建立考慮車鉤力的重載列車多質點運動學模型；然后根據運動學方程轉化狀態空間方程，并建立以速度跟蹤精度、車鉤力沖動和列車運行能耗為價值函數的模型預測控制問題；最后基于HXD1電力機車與朔黃鐵路部分區段，開展不同預測步長和不同權重系數下控制器的性能驗證。

1 列車運動學模型

重載列車在鐵路上進行運輸作業時會受到多種力的作用，包括運行阻力、機車牽引力、列車制動力等。列車運動學模型的建立是后續研究控制方法的基礎，在以往的研究中，多數學者采用單質點模型進行列車建模。該方法將列車視作一個質點，以坡段為單位，雖然計算過程簡單，但當經過變坡點時，附加阻力會發生階躍跳變現象，準確度有待提升。

1.1 列車多質點模型

為改善單質點模型不精確的問題，本研究建立了重載列車多質點運動學模型，除了對列車整體進行受力分析外，對車廂間的相互作用力也進行了詳細分析，如圖1所示。

除了首尾兩節車輛缺少一個車間偶合力之外，中間車輛的受力分析均相同。定義車輛編組數目為[n]；第[i]輛車的質量、位移和速度分別為[mi]、[si和vi]；第[i]輛車所受的牽引力、制動力、運行阻力、前車車鉤力和后車車鉤力分別為[Fti]、[Bi]、[Wi]、[F?i?1]、[F?i]。

1.2 列車受力分析

列車的運行阻力由基本運行阻力[Wb]與線路附加阻力[Wa]組成。基本運行阻力又可分為機械阻力[Wmac]與空氣阻力[Wair]，其中機械阻力與列車運行速度成正比，空氣阻力與速度的平方成正比，其計算可由Davis表示見式（1）。

[Wb=Wmac+Wair=（c0+c1vi+c2v2i）?mi?g?10?3]" " （1）

式中：[c0]、[c1]、[c2]為基本運行阻力系數；[g]為重力加速度常數，取9.81 m/s2；[mi]為第[i]輛車的質量，t；[vi]為第[i]輛車的速度，m/s。

列車的附加阻力與所處線路有關，在坡道上運行時，坡道附加阻力[Wi]是由列車所受到的重力分力引起的，曲線附加阻力[Wr]是由線路鋼軌對車輛內外輪擠壓所引起的，隧道附加阻力[Wt]是列車經過隧道時對隧道內空氣擠壓所引起的，以上阻力單位均為kN。計算分別見式（2）至式（4）。

式中：[θ]為所處線路坡道的坡度千分數，上坡為正、下坡為負；[R]為所處線路的曲線半徑，m；[l]為所處線路的隧道的長度，km。

車輛與車輛之間通過車鉤進行物理耦合連接，從而實現力在車輛間的傳遞。這種耦合關系用“彈性—阻尼”部件進行描述，其結構簡圖如圖2所示。

緩沖器在車輛連接中起到緩和與傳遞列車力的作用，其性能與特性直接影響到車輛間的沖動狀態，MT-2型摩擦式緩沖器在我國重載貨運列車上應用較為廣泛，其性能優異、結構簡單、適用性強、成本低［20］。當MT-2緩沖器受力時，由摩擦力提供阻尼，其特性見式（5）至（7）。

式中：[st]、[st-Δt]分別為相鄰車輛在當前時刻與上一時刻的相對位移，單位為m；[vt]、[vt-Δt]分別為相鄰車輛在當前時刻與上一時刻的相對速度，m/s；[f?l]、 [f?l]分別為緩沖器的加載曲線和卸載曲線；[F?（st，st）]為列車的車鉤力，kN。

綜上所述，通過受力分析并根據牛頓第二定律，建立重載列車多質點動力學方程見式（8）。

2 模型預測控制器設計

為實現重載列車的安全、平穩、節能運行，理想的方法是對優化的參考曲線進行跟蹤，以獲得更好的控制效果。模型預測控制方法通過在有限預測時域內，在每個采樣時刻，利用當前的狀態來求解最優控制問題產生的最優控制序列，并將控制序列的第一個控制量作用于預測模型。同時，重載列車在運行過程中會受到自身牽引特性的限制和輪軌黏著限制以外，還有基于安全考慮的其他強制約束，而模型預測控制可以直接將系統的約束納入考慮，因此，模型預測控制在解決重載列車控制問題上具有明顯優勢。

2.1 預測模型轉化

模型預測控制算法是以狀態方程為基礎開展的。因此，需要將運動學方程轉化為符合預測模型的狀態空間方程。

地鐵列車與高鐵列車是分散式動力單元，不同的是重載列車是動力集中式編組，僅有機車才能提供列車牽引力和電制動力，其余車輛只能提供空氣制動力。牽引力與制動力需要滿足的約束條件見式（9）、式（10）。

[uj∈[?Bmax，Ftmax]] （9）

[uc∈[?Bairmin，?Bairmax]] （10）

式中：[uj]和[uc]分別為機車的控制力和車輛的控制力，kN；[Bmax]、[Ftmax]、[Bairmin]、[Bairmax]分別為機車的最大制動力、機制的最大牽引力、車輛的最小空氣制動力、車輛的最大空氣制動力，kN。

列車的車鉤力大小取決于相鄰車輛之間的相對位移與相對速度，表達式見式（11）。

因此，對于單節車輛[i]的運動學方程就可以轉化為式（12）。

第i輛車與第i+1輛車的相對速度表示見式（13）。

2.2 線性化處理

重載列車的牽引特性、制動特性、基本阻力、車鉤力都具有非線性關系，從而導致不同的控制序列可能會實現相同的穩態，增加了問題求解的復雜度。因此，有必要將重載列車模型非線性部分進行處理，便于控制器的設計。

車鉤緩沖器的“彈性—阻尼”作用導致了列車模型的非線性特征，且結果難以測量，對這一部分的線性化可以忽略[di]項部分，簡化后的列車狀態方程見式（14）至式（16）。

式中：[u'i]為經過等校后的控制輸入量，為便于書寫，后續[u'i]用[ui]進行表示，kN；[γi]為經過等校后的第[i]節車輛的部分運行阻力，kN；[c0i、c1i、c2i]為第i列車的列車系數；[Wai]為第i列車阻力，kN。

定義重載列車的速度及相鄰車輛的相對位移為系統的狀態量[x]，即[x=[v1，v2，…，vn，s12，s23，…，sn?1n]T]，系統的控制輸入[u]為[u=[u1，u2，…，un]T]。從而系統的狀態空間方程見式（17）至式（22）。

用零階保持器即可將上述連續時域狀態空間方程進行離散化。

2.3 模型預測問題構建

[fT2=2λe[γ1，…，γn]]" （27）

式中：[t0]和[te]分別表示列車運行的開始時刻與結束時刻；[λv]、[λe]、[λf]分別為速度跟蹤誤差、列車運行能耗、車鉤力沖動的權重系數。

重載列車運行過程受到牽引力、制動力、車鉤力等限制，為確保列車運行安全性，需要設置控制問題的約束條件見式（28）。

[uimin≤ui+γi≤uimax， i=1，2，…，nΔuimin≤Δui+Δγi≤Δuimax， j=1，2，…，nF?min≤F?i≤F?max， k=1，2，…，n?1] （28）

式中：[uimin]和[uimax]為重載列車控制力的最小值和最大值，kN；[Δuimin]和[Δuimax]為相鄰兩步長列車控制力變化的最小值和最大值，單位為kN；[F?min]和[F?max]為車輛間車鉤力的最小值和最大值，kN。

模型預測問題是在狀態空間方程式（17）與約束條件式（28）下實現目標函數式（23）最小。在預測時域[Np]內求出未來[Nc]步長控制時域的輸入量，每次取控制序列中的第一個輸入作為實際系統的輸入，在下一采樣時刻取更新的狀態量來重新計算，實現滾動優化。

3 仿真驗證

為驗證本研究所提的重載列車運行控制算法的正確性和有效性，在MATLAB環境下進行編程，開展基于模型預測控制算法的仿真優化，包括不同預測時域下的對比仿真和不同權重系數下的對比仿真。本研究選用的重載列車編組為“1+1”編組，總重量為20 000 t，電力牽引機車為HXD1型，該機車最大功率9 600 kW，列車參數見表1。仿真線路選取朔黃線路的定州西至安國區段，跟蹤的目標參考曲線選取為實際運行所采集的數據。

本研究控制器設置的控制步長均為5 m，對比仿真案例的預測步長[Np]與各項權重系數[λv]、[λe]、[λf]見表2。

Case1、Case2、Case3的預測步長不同，其余權重系數均相同，將三者作為預測步長仿真組。

Case1、Case4、Case5的預測步長相同，但是Case4的能耗權重系數增大至Case1的10倍，Case5的速度誤差與車鉤力沖動權重系數增大至原來10倍，將三者作為權重系數組。對分類后的兩組進行對比仿真驗證。

不同預測步長時的重載列車速度跟蹤情況如圖3所示，點線和虛線分別表示ATP限速和目標參考速度曲線。由圖 3可知，三種案例下的控制器都能實現在不超過限速的情況下，對參考速度曲線實現較準確的跟蹤，從速度誤差曲線來看，Case2的速度誤差較其他兩者更大。

不同預測步長時的牽引力、電制動力、車鉤力情況如圖4所示。由圖4可知，三種參數設置下的牽引力、電制動力、車鉤力均在約束限制內，其中Case2和Case3的制動力出現了與所需的參考力差距較大的情況。列車的最大車鉤力出現在仿真初始階段，這是因為此時列車所處線路為下坡，且車速較大。

設置不同預測步長時性能指標見表 3。由表3可知，預測步長由10降低至5時，速度跟蹤性能、列車縱向沖動、運行能耗三項性能均有所降低，速度誤差、車鉤力、能耗均增加。相較于Case1，Case3的速度誤差有所增大，但車鉤力與列車運行能耗都得到了降低，這可能是因為Case3預測了較大的步長，造成產生了較大的誤差，從而降低了速度跟蹤精度。

由此可見不是預測步長越大，跟蹤性能就越好，同時預測步長增大也會帶來計算量增大的問題。

不同權重系數時的重載列車速度狀態情況如圖 5所示。由圖5可知，三組權重系數下的控制器都能實現在不超過限速的情況下，對參考速度曲線

實現較好的跟蹤。從速度誤差曲線來看，與預測步長組不同的是，權重系數對照組中三種案例的速度誤差情況差別不大。

不同權重系數時的牽引力，電制動力、車鉤力情況如圖 6所示。由圖6可知，三種參數設置下的牽引力、電制動力均能滿足實際所需，Case5在仿真初始階段出現了較大的列車壓鉤力。

設置不同權重系數時性能指標見表 4。由表 4可知，Case4與Case1相比，速度跟蹤性能變化差異較小，列車縱向沖動有所增大，列車運行能耗由313.873 kW·h變化至306.188 kW·h，出現了明顯的降低。這是因為相較于Case1，Case4在速度跟蹤與縱向沖動權重系數不變的情況下，運行能耗權重系數由增大10倍時。而Case5與Case1相比，增大了速度跟蹤與縱向沖動權重系數，但性能變化并不明顯，可能是由于系統的動態特性導致對權重系數的變化不敏感所致。綜上所述，在控制器實際投入列車運行中時，應綜合考慮預測步長和權重系數對控制器性能的影響，挑選適合具體情況的控制參數配置以應對不同情況。

4 結論

本研究建立重載列車多質點運動學模型，研究考慮車廂間作用力的重載列車運行控制，將重載列車控制問題轉化為模型預測控制問題，加入速度跟蹤、運行能耗、車鉤力沖動三項指標，設計了基于模型預測控制的列車速度跟蹤控制算法。并采用HXD1機車特性與朔黃線路部分區段進行了數值仿真，設置了5種參數案例，分為預測步長與權重系數對照組進行分析，驗證了本研究控制算法的有效性。仿真結果表明，在保證重載列車的牽引力、制動力、車鉤力均在安全約束的限制條件下，本研究控制算法均能實現較好的跟蹤效果。同時，通過選擇合適的預測步長，可以保證較好跟蹤性能的同時，不增加多余的計算量；通過選擇不同的系統權重系數矩陣，可以實現目標中速度跟蹤、運行能耗和車鉤力沖動不同的側重。綜上所述，在實際列車運行控制中，應根據具體線路、運行需求等選擇合適的控制器參數應用于列車。

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