一種對接機構的誤差分析與可靠度分析

摘"要：為滿足大型部件的對接工作要求，采用一種6自由度對接調姿機構。通過D-H法對機構建立運動學數學模型，進行正逆向運動學分析。對機構末端進行位姿誤差分析與可靠度分析，得到末端位姿誤差與各關節運動學參數之間的關系，分析出對末端誤差影響最大的誤差源，為后續提高精度提供理論依據。

關鍵詞：對接機構；運動學；誤差分析；可靠度分析

中圖分類號：TH115""文獻標志碼：B""文章編號：1671-5276（2024）02-0079-04

Error and Reliability Analysis of Docking Mechanism

DAI Ping1， WANG Qingyun2

（1. School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China；

2. Jiangsu Jinling Institute of Intelligent Manufacturing Co.， Ltd.， Nanjing 210006，China）

Abstract：In order to meet the docking requirements of large components， a 6-DOF docking attitude adjustment mechanism is adopted. The kinematics mathematical model of the mechanism is established by D-H method， and the forward and inverse kinematics are analyzed. The position and pose error and reliability of the end of the mechanism are studied to obtain the relationship between the position and pose error of the end and the kinematics parameters of each joint， and the error source grealy affecting the end error is analyzed， which provides a theoretical basis for the subsequent improvement of accuracy.

Keywords：docking mechanism；kinematics；error analysis；reliability analysis

0"引言

大型精密部件的對接裝配是決定產品制造效率和質量的關鍵環節。一旦產品的對接精度不滿足設計要求，就需要重新對接，嚴重的情況下還會導致產品報廢，影響后續生產實驗，影響生產效率，造成經濟損失［1］。因此設計對接機構以及對其進行可靠性分析是非常有必要的。

在機構的誤差分析和可靠度分析方面，張志雄等［2］以6自由度機械臂為研究對象建立誤差模型，利用蒙特卡洛法進行仿真實驗，得到了由于對中誤差引起的機械臂末端定位誤差分布特點。宋晨等［3］針對所設計的一種具有串并聯特征的6自由度調姿機構進行了運動學分析、誤差分析以及靈敏度分析，得到了調姿機構末端的位姿誤差仿真曲線和各運動參數對位姿誤差的靈敏度大小。

本文根據產品對接要求，設計了一種6自由度對接機構。通過D-H法建立對接機構的運動學模型并進行正逆向運動學分析。為了提高對接精度，對機構進行了誤差建模與分析，得到了機構的末端誤差范圍。利用蒙特卡洛法結合誤差模型分析出機構的主要誤差源，為調整對接機構結構參數提供了參考依據。

1"對接機構概述

對接機構主要由升降、行走、偏航、俯仰、橫移以及滾轉6部分組成，如圖1所示。升降、行走以及橫移機構的導軌安裝在不同平臺上，由各機構伺服電機驅動滾珠絲杠，帶動各平臺實現移動。偏航機構通過伺服電機與減速器實現產品部件1繞z軸的姿態調整。俯仰機構與滾轉機構是通過驅動蝸桿轉動帶動蝸輪軸兩側的齒輪分別與兩側齒弧嚙合，使得俯仰機構和滾轉機構沿設計的弧形槽轉動，實現產品部件1繞x、y軸的姿態調整。

2"對接機構運動學分析

2.1"對接機構運動學坐標系建立

本文利用D-H法將結構復雜的對接機構看作一系列連桿通過關節串聯而成的運動鏈［4］。為了研究末端位姿與各關節變量之間的關系，需要建立連桿坐標系，如圖2所示。

根據D-H法建立的對接機構連桿坐標系的D-H參數如表1所示。

2.2"對接機構正逆運動學分析

正運動學分析是將機構關節變量作為自變量建立正運動學模型，描述機構末端執行器的位置和姿態與基座之間的運動關系。

根據D-H法建立的兩個連桿坐標系之間的齊次變換矩陣的一般表達式為

i－1iT=cθi－sθi0ai－1

sθicαi－1cθicαi－1－sαi－1－sαi－1di

sθisαi－1cθisαi－1cαi－1cαi－1di

0001（1）

式中：s為sin；c為cos。

對接機構各關節變換矩陣以及末端桿件相對于基座的變換矩陣如下：

01T=10000100001－179+d10001（2）

12T=100a100－1234－d201000001（3）

23T=-sinθ3-cosθ30a2001d3-cosθ3sinθ3000001（4）

34T=cosθ4－sinθ40000－1－d4sinθ4cosθ4000001（5）

45T=0－10a41000001－70+d50001（6）

56T=cosθ6－sinθ60a50010－sinθ6－cosθ6000001（7）

06T=01T12T23T34T45T56T

=nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001（8）

式中：nx=s3s4c6+c3s6；ny=c3s4c6－s3s6；

nz=－c4c6；ox=－s3s4s6+c3c6；

oy=－c3s4s6－s3c6；oz=c4s6；ax=s3c4；

ay=c4s6；az=s4；

px=a1+a2-（d5+d4）c3+a5s3s4－a4s3c4；

py=d2+（d4+d5）s3+a5c3s4－a4c3c4；

pz=d1+d3－a4s4-a5c4；

其中si為sinθi；ci為cosθi；i=1，2，3，4，5，6。

機構逆運動學是正運動學的逆過程，是在已知末端位姿矩陣的條件下求解滿足條件的關節變量的問題。由式（8）可得12個非線性方程，求解得到各關節變量結果如下：

d1=pz-d3+a4s4+a5c4

d2=py-（d4+d5）s3+a5c3s4+a4c3c4

θ3=arcsinaxay

θ4=arcsinaz

d5=px-a1-a2+d4c3-a5s3s4+a4s3c4c3

θ6=arcsinozc4（9）

3"對接機構誤差分析

3.1"對接機構末端運動學誤差模型建立

影響機構絕對定位精度的因素有很多，而這些因素產生的誤差都可以視為機構實際運動學參數值與理論設計的運動學參數值之間產生的偏差。

為分析機構運動學參數誤差與末端誤差的關系就需要建立機構的誤差模型。本文采用矩陣法［5］對機構進行誤差分析。首先利用正運動學推導出坐標系下的微分運動學關系，進而考慮機構D-H參數誤差，建立關節運動學誤差模型，從而建立對接機構末端運動學誤差模型。

當兩個坐標系描述同一個微分運動dT時，由位姿變換關系可得：

Δ·T=T·Δi，即

Δ=T·Δi·T－1（10）

式中Δi=1－δizδiydixδiz1－δixdiy－δiyδix1diz0001

式（10）化簡整理成矩陣的形式：

dδ=Ri－1Pi－1×Ri－10Ri－1·diδi（11）

式中：di表示微分平移矢量；δi表示微分旋轉矢量；Ri－1為兩坐標系變換矩陣T的旋轉矩陣；Pi－1為位移矩陣。該式表示了兩坐標系微分平移矢量和微分旋轉矢量之間的關系。

當誤差用D-H參數來表示，兩個相鄰關節位姿變換矩陣微分關系可以表示為

dAi=Aiαi－1Δαi－1+Aiai－1Δai－1+AidiΔdi+AiθiΔθi（12）

將該式化簡整理成矩陣的形式如下：

di=dxidyidzi=100·Δai－1+0－sinαi－1cosαi－1·Δdi+0－cosαi－1·ai－1sinαi－1·ai－1·Δθi（13）

δi=δxiδyiδzi=100·Δαi－1+0－sinαi－1cosαi－1·Δθi（14）

式中Δai－1、Δαi－1、Δdi、Δθi表示D-H參數的誤差。

考慮機構各關節運動學參數誤差后，結合正運動學可以得到對接機構末端運動學誤差模型如下：

Tn+dTn=（A1+dA1）（A2+dA2）…（An+dAn）（15）

將式（15）展開且忽略二階以上高階誤差項得

dTn=∑6i=1（Ti－1·δAi·T－1i－1Tn）（16）

結合式（13）、式（14）可以得到末端誤差矢量公式如下：

dn=dnxdnydnz=∑6i=1（Ri－1·W1i·Δai－1+Ri－1·W2i·Δdi+

Ri－1·W3i·Δθi+Pi－1×Ri－1·W1i·Δαi－1+

Pi－1×Ri－1·W2i·Δθi）

δn=δnxδnyδnz=∑6i=1（Ri－1·W1i·Δαi－1+Ri－1·W2i·Δθi）（17）

式中：dn、δn分別表示末端位置誤差矢量和末端姿態誤差矢量；W1i、W2i、W3i分別表示式（13）、式（14）中相對應的矩陣。該公式表示了各關節運動參數與末端位姿誤差之間的關系。

3.2"對接機構的誤差分析

為確定可靠性分析中的誤差半徑，需要考慮機構所有的誤差源，計算末端位姿誤差范圍。本文考慮的誤差源主要有各運動變量和各關節運動參數對末端位姿誤差范圍的影響。

綜合考慮各種誤差因素對誤差源的影響，設計各誤差源均服從正態分布，位移運動變量的標準差為0.01mm，姿態運動變量的標準差為0.01°，各關節運動參數的標準差為0.005。

按照表1給定的條件和誤差模型公式，使用MATLAB編寫程序，通過仿真得到對接機構末端位姿誤差范圍如圖3所示。

對接機構末端x方向位置誤差范圍為［-0.21，0.18］mm；y方向位置誤差范圍為［-0.43，0.44］mm；z方向位置誤差范圍為［-0.47，0.48］mm；姿態誤差范圍均在±0.000 75°范圍內。由此可見位置誤差普遍比姿態誤差大，且y、z方向位置誤差相對較大，但以上誤差均在對接機構誤差允許的范圍內。

4"基于蒙特卡洛法的可靠性分析

蒙特卡洛法是一種基于概率論與數理統計的算法，蒙特卡洛模擬方法就是將需要解決的問題轉化成概率模型，并通過計算機得到一系列的隨機結果，然后對結果進行統計得到問題的解［6］。

本文將對接機構的可靠性分析轉化為概率模型，對機構的各種誤差源進行隨機抽樣并帶入誤差模型計算，分析研究得到末端誤差值，得出影響機構末端精度的主要誤差源。

設對接機構末端誤差dn、δn落在一定范圍內的概率來表述機構的誤差值，稱作對接機構的可靠度［7］。將誤差值在允許誤差范圍以內的試驗次數記作n，總試驗次數為N，則該誤差源的可靠度P=n/N。

首先考慮各關節運動參數對末端誤差的影響，進行5組抽樣計算。第1組運動參數標準差為0.005，其余4組分別將4個運動參數標準差縮小5倍，其余運動參數不變。允許位置誤差范圍分別是±0.055mm、±0.12mm、±0.13mm，允許姿態誤差范圍均為±0.000 2°，每組樣本總數為50 000組，各運動參數的可靠度抽樣計算分析結果如表2所示。

由表2可知， Δαi－1對機構可靠度的影響最明顯。因此關節運動參數Δαi－1是對接機構的關鍵誤差源。

考慮到各關節對末端誤差的影響，進行7組抽樣計算。第1組6個關節的Δα值的標準差為0.005，其余6組分別將每個關節的Δα值縮小5倍。由于對接機構的y、z方向位置誤差范圍比較大，因此主要考慮這兩個方向的誤差可靠度。允許誤差范圍和樣本數不變，各關節Δα值的可靠度抽樣計算分析結果如表3所示。

由表3可知，關節4和關節6的Δα值對機構可靠度的影響最明顯。綜上關節4和關節6的Δα值是影響對接機構末端誤差的主要誤差源，在加工裝配過程中要嚴格控制其誤差范圍。

5"結語

1）介紹了對接機構的設計和工作原理。該對接機構可以實現大型產品部件在6個自由度上的位姿調整，完成對接裝配。

2）對機構進行了正逆向運動學分析，得到了機構的正運動學數學模型以及反解表達式。

3）對機構進行誤差建模與可靠性分析，通過仿真運算得到機構末端位姿誤差范圍，利用蒙特卡洛法對機構進行可靠性分析，得到影響機構末端位姿誤差的主要誤差源為關節4和關節6的Δα值，為提高對接機構的位姿精度提供了依據。

參考文獻：

［1］ 王丙戌. 導彈總裝對接平臺的設計與研究［D］. 沈陽：東北大學，2019.

［2］ 張志雄，江志新，楊擁民，等. 關節對中誤差對機械臂末端定位精度影響［J］. 國防科技大學學報，2014，36（6）：185-190.

［3］ 宋晨，楊洋，張雷雨，等. 一種六自由度調姿機構的運動學與誤差分析［J］. 機械設計與研究，2017，33（4）：16-21.

［4］ 陳博，楊健，閆恒，等. IRS-300六軸機器人運動學建模與參數仿真分析［J］. 機械制造與自動化，2021，50（5）：88-90，112.

［5］ 閻華，劉桂雄，鄭時雄. 機器人位姿誤差建模方法綜述［J］. 機床與液壓，2000，28（1）：3-5.

［6］ 徐立中，丁曉峰，王鑫，等. 基于信賴域的序貫擬蒙特卡洛濾波算法［J］. 電子學報，2011，39（3A）：24-30.

［7］ 謝里陽，王正，周金宇. 機械可靠性基本理論與方法［M］. 北京：科學出版社，2009.

收稿日期：20220909