實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法運(yùn)算一致性的思考與實(shí)踐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。在教材中，小數(shù)除法部分的知識(shí)點(diǎn)較多且相對(duì)零散，除數(shù)之間的除法關(guān)系也較為復(fù)雜，需要學(xué)生掌握整數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、整數(shù)除以小數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以小數(shù)等諸多問題。知識(shí)點(diǎn)分離的學(xué)習(xí)既不利于學(xué)生理解算理，也不利于學(xué)生尋求合理的算法，因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體思考，實(shí)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的一致性。

分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間，本就有著相互交融的關(guān)系。小數(shù)是由十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫而成的，可以看作是一類特殊的分?jǐn)?shù)，在建立聯(lián)系的基礎(chǔ)上，小數(shù)除法的運(yùn)算意義、運(yùn)算方法也可以基于相應(yīng)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算進(jìn)行推演，使學(xué)生在聯(lián)結(jié)與遷移中實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通。

1.整體把握除法運(yùn)算的單元教學(xué)

為了實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)除法運(yùn)算的一致性，教師需要從整體對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行規(guī)劃。根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)運(yùn)算與小數(shù)除法的相關(guān)聯(lián)系等，對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行合理整合。首先，通過畫圖，輔助學(xué)生理解“除以一個(gè)整數(shù)等于乘一個(gè)分?jǐn)?shù)”的概念，并滲透推導(dǎo)過程，為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法做準(zhǔn)備。在掌握分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，學(xué)生將進(jìn)入小數(shù)除法的學(xué)習(xí)，整體分成三個(gè)主題：一是整數(shù)除以整數(shù)而商是小數(shù)的小數(shù)除法；二是探索小數(shù)除法的計(jì)算方法；三是初步形成計(jì)算方法，并得出小數(shù)除法的計(jì)算法則。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生形成轉(zhuǎn)化的基本思想，能主動(dòng)將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的分?jǐn)?shù)除法，這是實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法運(yùn)算一致性的基本思路。同時(shí)，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生共同探索數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系、運(yùn)算之間的聯(lián)系、計(jì)數(shù)單位之間的聯(lián)系，進(jìn)一步打通分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)相互的推演運(yùn)算。這有利于幫助學(xué)生理解運(yùn)算算理，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，激發(fā)尋求合理簡(jiǎn)潔運(yùn)算方法的動(dòng)力。

2.“小數(shù)除法”單元的具體實(shí)施路徑

在“小數(shù)除法”單元，首先要解決的關(guān)鍵問題是“整數(shù)除以整數(shù)而商是小數(shù)”的運(yùn)算，這里涉及商大于1的小數(shù)除法和商小于1的小數(shù)除法。所得出的結(jié)果存在除不盡的情況，因此需要引入循環(huán)小數(shù)的教學(xué)。面對(duì)“除不盡”這一問題，教師接下來(lái)需要引導(dǎo)學(xué)生探索多種小數(shù)除法的計(jì)算方法。

學(xué)習(xí)任務(wù)1：尋找聯(lián)系，探究小數(shù)除法的多種運(yùn)算方法。通過溝通分?jǐn)?shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法之間的聯(lián)系，使學(xué)生嘗試從不同角度尋找解決小數(shù)除法運(yùn)算問題的多種思路。教師提出問題“請(qǐng)你用之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與方法，嘗試求出18÷1.5”，并讓學(xué)生通過交流討論，共同探索解答這一算式的不同方案。在此過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生聚焦分?jǐn)?shù)除法解決問題的思路，初步理解用分?jǐn)?shù)除法算小數(shù)除法的道理。

學(xué)習(xí)任務(wù)2：探索用分?jǐn)?shù)除法算小數(shù)除法的計(jì)算方法。在這一任務(wù)下，學(xué)生嘗試自己探索小數(shù)除法中不同情況的計(jì)算方法，進(jìn)而能在合作交流中互相評(píng)價(jià)、記錄問題、尋找答案，初步梳理出小數(shù)除法的計(jì)算方法與具體步驟。在思考與交流中，學(xué)生尋找到小數(shù)除法與分?jǐn)?shù)除法的聯(lián)系，感受到用分?jǐn)?shù)除法算小數(shù)除法的優(yōu)勢(shì)。

學(xué)習(xí)任務(wù)3：回顧經(jīng)驗(yàn)，引出猜想。小數(shù)運(yùn)算和整數(shù)運(yùn)算相比，最關(guān)鍵的就是要確定小數(shù)點(diǎn)的位置。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生試著思考小數(shù)除法中商的小數(shù)點(diǎn)與什么因素有關(guān)，使學(xué)生通過遷移小數(shù)加減、小數(shù)乘法中確定小數(shù)點(diǎn)的方法進(jìn)行大膽猜想。學(xué)生通過對(duì)小數(shù)乘法確定積的小數(shù)位數(shù)方法的回顧，對(duì)知識(shí)進(jìn)行有效遷移，進(jìn)而找到解決問題的思路，為接下來(lái)的探索與發(fā)現(xiàn)打下基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)任務(wù)4：獨(dú)立探索，驗(yàn)證猜想。學(xué)生有了初步猜想后，教師可以繼續(xù)拋出引導(dǎo)性問題，幫助學(xué)生明確探索方向。教師在學(xué)習(xí)任務(wù)單中提出“商的小數(shù)位數(shù)與被除數(shù)、除數(shù)的小數(shù)位數(shù)有關(guān)嗎，有什么關(guān)系”等問題，組織學(xué)生重點(diǎn)圍繞問題展開討論，使學(xué)生能夠借助推理、遷移的方式，探索商的小數(shù)位數(shù)規(guī)律。學(xué)生經(jīng)歷猜想規(guī)律、探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律的過程，能夠把小數(shù)除法的計(jì)算過程與發(fā)現(xiàn)的規(guī)律建立起聯(lián)系。在探索規(guī)律的過程中，學(xué)生逐步厘清了運(yùn)算中的各種關(guān)系，并可以在計(jì)算過程中講清道理，通過自主探索得出小數(shù)除法的計(jì)算法則，使自身的觀察能力、歸納能力和推理能力得以提升。

“小數(shù)除法”教學(xué)中，教師引領(lǐng)學(xué)生理解并運(yùn)用轉(zhuǎn)化的基本思想，在自主探索中將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的分?jǐn)?shù)除法，進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法計(jì)算的規(guī)律及本質(zhì)，在運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法運(yùn)算的一致性。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索商的小數(shù)位數(shù)規(guī)律，使學(xué)生通過遷移小數(shù)乘法中確定小數(shù)點(diǎn)的方法來(lái)理解、解決除法運(yùn)算的常見問題。

在課堂教學(xué)中，“小數(shù)除法”單元給了學(xué)生很大的挑戰(zhàn)，但同時(shí)提升了學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算能力、推理意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過整體性的單元學(xué)習(xí)，學(xué)生們能夠利用經(jīng)驗(yàn)不斷地感受運(yùn)算中分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系、分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法之間的聯(lián)系，并能夠運(yùn)用計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系，基于小數(shù)乘法推演小數(shù)除法的運(yùn)算。學(xué)生在感悟數(shù)的概念、數(shù)的運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)中，領(lǐng)會(huì)數(shù)與運(yùn)算、運(yùn)算與運(yùn)算的一致性，逐步增強(qiáng)運(yùn)算能力，形成推理意識(shí)，并在原有基礎(chǔ)上不斷提升。