矩形的折疊問題

基本模型

折疊的本質(zhì)是軸對稱，矩形折疊后會形成具有軸對稱關(guān)系的全等圖形，邊角關(guān)系還會發(fā)生重組，生成等腰三角形和直角三角形.對于折疊的矩形，根據(jù)折痕或翻折后對應(yīng)點的位置進行分類，通常有如下四種基本模型.

模型1：如圖1，折痕是矩形的對角線AC.

模型2：如圖2，點C的對應(yīng)點C'落在矩形的邊上.

模型3：如圖3，點C的對應(yīng)點C'落在矩形的對角線BD上.

模型4：如圖4，點C的對應(yīng)點與矩形的頂點A重合.

其他矩形折疊后的圖形可以看成是由這四種基本模型變式而成的.在這四種基本模型中，依次對應(yīng)著圖5中的四個基本圖形，都是等腰三角形和直角三角形相鄰. 結(jié)合矩形、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、軸對稱等知識，矩形的折疊問題可迎刃而解.

模型應(yīng)用

例1 如圖6，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在邊BC上的點F處，若AE = 5，F(xiàn)B = 3，求：（1）CD的長；（2）AD的長.

解析：（1）由折疊可知△FED ≌ △AED，則EF = AE = 5，DF = AD.

在Rt△BEF中，可得BE = [EF2-BF2=52-32=4]，易得CD = AB = 9.

（2）設(shè)AD的長為x，由（1）可知，BC = DF = AD = x，則CF = x - 3.

在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理可得[DF2=CD2+CF2]，

即[x2=92+（x-3）2]，解得 x = 15.因此，AD的長為15.

例2 如圖7，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在同一平面內(nèi)的點E處，BE與AD交于點F，再將△DEF沿DF折疊，點E落到了點G處，若DG平分∠BDA，求∠BDC的度數(shù).

解析：由折疊可知△EBD ≌ △CBD，△GFD ≌ △EFD，

則∠EBD = ∠CBD，∠FDG = ∠FDE.

由DG平分∠BDA，可證∠FDG = ∠BDG = ∠FDE，易證∠FDB = ∠FBD.

設(shè)∠EDF = x°，則∠FDG = ∠BDG = ∠EDF = x°，∠EBD = ∠FDB = 2x°，∠EDB = 3x°.

由∠FBD + ∠BDE = 90°，可得2x° + 3x° = 90°，解得 x = 18，

則∠BDC = ∠BDE = 3 [×] 18° = 54°.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：6分鐘

如圖8，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 6，點P是CD上一點，將△PBC沿BP折疊得到△PBC'，BC'交AD于點M，PC'交AD于點N，若NC' = ND，求BP的長. （答案見本頁）

（作者單位：開原市民主教育集團里仁學(xué)校）