分式求值中的代換技巧

在給定條件下求分式的值，是一種綜合性題型，但是很多情況下都不能直接代入求值，這時(shí)解決此類(lèi)問(wèn)題就要根據(jù)題目特點(diǎn)，把已知條件或所求分式適當(dāng)加以變形，使抽象或隱含的條件清晰地顯現(xiàn)出來(lái)，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題.本文主要介紹五種分式求值技巧.

一、常數(shù)代換

例1 設(shè)abc = 1，求[aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1]的值.

解析：根據(jù)分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用分式的基本性質(zhì)和常量代換，能巧妙地解題.

[aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1] = [aab+a+abc+bbc+b+1+bcabc+bc+b]

[=1b+1+bc+bbc+b+1+bc1+bc+b=bc+b+1bc+b+1=1.]

二、主元代換

例2 若[4x-3y-6z=0]，[x+2y-7z=0]，[xyz≠0]，求[2x2+3y2+6z2x2+5y2+7z2]的值.

解析：將條件式中某一未知數(shù)（元）視為常數(shù)，求得其余未知數(shù)，代入求值式后化簡(jiǎn)即可.

由[4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0，]解得[x=3z，y=2z，]所以[2x2+3y2+6z2x2+5y2+7z2=36z236z2=1.]

三、整體代換

例3 已知a ≠ 0，b ≠ 0，且[1a+1b=4]，求[4a+3ab+4b-3a+2ab-3b]的值.

解析：將條件式（或變形后的條件式）整體代入求值式后化簡(jiǎn)即可.

因?yàn)閇1a+1b=4（a≠0]，[b≠0）]，所以a + b = 4ab，

所以 [4a+3ab+4b-3a+2ab-3b=] [4（a+b）+3ab-3（a+b）+2ab=] [16ab+3ab-12ab+2ab=-1910.]

四、倒數(shù)代換

例4 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且[aba+b=13]，[bcb+c=14]，[cac+a=15]，求[abcab+bc+ca]的 值.

解析：由已知的三個(gè)等式求a，b，c的值比較困難，但將已知的三個(gè)等式和待求分式分別取倒數(shù)，再結(jié)合倒數(shù)拆分，就可以快捷求解了.

將已知的三個(gè)等式左右兩邊取倒數(shù)，可得[a+bab] = 3，[b+cbc] = 4，[c+aca] = 5，

即[1b] + [1a] = 3， [1c+1b=4]，[1a+1c=5].

將這三個(gè)等式相加再除以2，[得1a+1b+1c=6.]

因?yàn)閇ab+bc+caabc=1c+1a+1b=6]，所以[abcab+bc+ca=16.]

五、和差代換

例5 已知[a2+b2=6ab]，且a gt; b gt; 0，則[a-ba+b=] .

解析：設(shè)[a=x+y]，[b=x-y]，代入[a2+b2=6ab]，化簡(jiǎn)整理得[4x2=8y2]，所以[x2y2=2.]

由a gt; b gt; 0，可知x gt; y gt; 0，則[xy=2]，所以[yx=22].

注意到a + b = 2x，a - b = 2y，因此，[a-ba+b=2y2x=yx=22.]

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：4分鐘

1. 已知x + 2y - 1 = 0，求代數(shù)式 [2x+4yx2+4xy+4y2] 的值.

2. 已知ab = 1，a ≠ -1，求[11+a+11+b]的值.

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：7分鐘

3.已知a + b - c = 0，2a - b + 2c = 0，求[3a-2b+5c5a-3b+2c]的值.

4.已知a gt; b gt; 0，[a2+b2] = 3ab，求[a+ba-b]的值.

答案速遞

第27頁(yè)：1. 20 2. 45°