數學模型之試卷質量綜合評價研究

摘要：對試卷質量綜合評分，即實現試卷質量的定量分析?；凇案叩葦祵W”課程期末考試成績，首先，利用χ2擬合優度檢驗法判斷考試成績是否達到服從正態分布的基本要求；其次，分析計算試卷的難度、區分度、效度和信度；最后，將這四個指標作為影響試卷質量的關鍵因素，利用模糊數學綜合評價方法構建試卷質量綜合評分函數。

關鍵詞：試卷質量；難度；區分度；效度；信度；模糊綜合評價

1概述

當前，學校普遍以教學為中心和重心，隨著教學改革的深入發展，對教學評價的要求越來越客觀，對教學效果的分析越來越重視，顯然，考試是教育教學評價的最有效手段之一。而考試成績能否有效地體現教育教學質量的關鍵在于試題的命制，即試卷的質量。綜合評價試卷質量，對提高教育教學質量、分析教學效果、分析學生學習效果、提升教學測評工作都具有重要意義。［1］

本文基于2022—2023學年第一學期“高等數學”課程120名學生的期末考試成績，綜合評判分析高等數學試卷質量得分。首先，利用χ2擬合優度檢驗法判斷考試成績是否服從正態分布；其次，對試卷的難度、區分度、效度和信度進行計算分析；最后，將這四個指標作為影響試卷質量的關鍵因素，利用模糊數學綜合評價方法構建試卷質量綜合評分函數。

2試卷質量分析

2.1考試成績正態性檢驗

根據統計資料及統計理論可知，符合教學規律的任意考試或測驗，其成績都應呈現或接近正態分布，否則就認為試卷的試題命制不合理。

檢驗考試成績呈正態性分布的方法眾多，本文運用χ2擬合優度檢驗法利用SPSS軟件判別考試成績是否服從正態分布。

具體方法：在SPSS中單擊Analyze→NonparametricTests→LegacyDialogs→Chisquare，彈出對話框選擇Total字段進入Listoftestvariables，在ChisquareTest中利用自定義比例操作進行檢驗，得到χ2=60.7，p值=0.011，故這120名學生考試成績服從正態分布。

2.2試卷的評價指標及其量化

考試試卷由判斷、單選、填空、計算、解答等五種題型共29題構成，其中，判斷、單選為客觀題，填空、計算、解答為主觀題。試卷題型分值分布見表1。

2.2.1難度P

難度主要反映試卷中考試試題的難易程度［2］。它是考試試題對學生知識技能適配程度高低的指標。顯然，試題成績越高則該試題難度越小，成績越低則該試題難度越大。

客觀性試題難度為：

Pi=1－NiN

其中，Ni為第i題答對人數，N為考生總數，Pi為第i題的難度系數。

主觀性試題難度為：

Pi=1－XiXi

其中，Xi為第i題的平均分，Xi為第i題的滿分，Pi為第i題的難度系數。

試卷平均難度為：

P=1X∑Ti=1XiPi

其中，Xi為第i題的滿分，X為試卷滿分，Pi為第i題的難度系數，T為試卷總題數。

計算得“高等數學”課程考試試卷平均難度P=0.5726。

2.2.2區分度D

區分度主要反映試卷中試題對不同水平考生的區分力，區分度應該使得水平高的學生得高分、水平低的考生得低分，區分度又稱為鑒別力。

試題區分度求解方法眾多［3］，在此介紹操作簡便易求解的相關分析方法。對客觀性試題，采用斯皮爾曼（Spearman）等級相關分析，將總分與各試題間的相關系數作為試題區分度；對主觀性試題，將其看作非等間距測度的連續變量，在樣本數大于30基礎上，采用皮爾遜（Pearson）相關分析，將總分與各試題間的積差相關系數作為試題區分度。

具體的方法：對客觀題，在SPSS中單擊Analyze→Correlate，在BivariateCorrelations對話框中選擇各客觀題和總分等字段進入Variables，選擇Spearman，即可得客觀題的區分度。主觀題的區分度求解同上，在BivariateCorrelations對話框中選擇各主觀題和總分等字段進入Variables，選擇Pearson，即可得主觀題的區分度。

試卷平均區分度為：

D=1X∑Ti=1XiDi

其中，Xi為第i題的滿分，X為試卷滿分，Di為第i題區分度，T為試卷試題總數。

計算得“高等數學”課程考試試卷平均區分度D=0.3164。

2.2.3效度V

效度主要反映試卷測驗結果的有效性，即測量學生實際學習水平的有效程度，效度一定程度上反映了考試中系統誤差的大小。經典且被公認的效度主要有內容效度、結構效度和效標關聯效度，具體使用的效度類型依據測驗目的決定。效標關聯效度（criterionrelatedvalidity）［4］是以考試成績與效標的相關系數作為考試成績的效度。在此采用效標關聯效度，將期中成績作為校標，利用積差相關法（Pearson法）求得試卷效度。

具體方法：在SPSS中單擊Analyze→Correlate→Bivariate，選擇總分和期中成績進入Items，在CorrelationCoefficients中選擇Pearson，得試卷效度V=0.206。

2.2.4信度R

信度主要反映試卷的穩定性和可靠性，也是衡量隨機誤差的大小，即評判測試結果是否真實、客觀反映了學生的實際學習水平。信度越高測試結果越可信，信度太低則無法對學生學習水平做出公平合理的評價。信度求解方法眾多，試卷信度求解一般采用同質性信度，在此采用克朗巴赫（Cronbach）方法［5］。

試卷信度為：

R=TT－11－∑S2iS2

其中，S為試卷標準差，Si為第i題得分的標準差，T為試卷的試題總數，R代表試卷的信度。

具體方法：在SPSS中單擊Analyze→Scale→ReliabilityAnalysis，選擇全體題號進入Items，在Model選擇Alpha（Cronbachα系數），得試卷信度R=0.541。

3試卷質量模糊綜合評價［68］

模糊綜合評價法基于模糊數學，對受到多種因素制約的事物做出總體評價。該評價法利用模糊數學的隸屬度理論把定性評價轉化為定量評價，具有結果清晰、系統性強的特點，能較好解決模糊的、難以量化的問題，適合各種非確定性問題的解決。

模糊綜合評價首先確定被評價對象的因素（指標）集和評價（等級）集；再分別確定各因素的權重及它們的隸屬度向量，獲得模糊評判矩陣；接著把模糊評判矩陣與因素的權向量進行模糊運算并作歸一化處理，得到模糊綜合評價結果。

3.1確定評價指標

本文選取試卷難度、區分度、效度、信度等4個評價指標作為評價試卷綜合質量的因素集。

3.2確定指標權重

各指標的權重體現FJQv+JzEGfAm1hoXxOXyflcOR1bddOKHU/KgLDASrT8=了這些指標相對于上一級指標的重要程度，對于“成績—水平”考試，難度指標比較重要，對權重的具體確定采用專家征詢的方法。

3.2.1構造評判矩陣

本文用專家征詢法完成評判矩陣的構造，記第k位專家的aij值為a（k）ij，求n位專家對指標i、j的標度a（1）ij，a（2）ij，…，a（n）ij的幾何平均值作為評判矩陣的標度，即aij=n∏nk=1a（k）ij，得到評判矩陣R=a11…a1n

an1…ann。

本文經專家征詢各指標重要性后經幾何平均得到評判矩陣為：

R=PDVR

11.192.711.41

0.8412.711.19

0.370.3710.45

0.710.842.211

3.2.2求權向量

計算評判矩陣R中每行元素的幾何平均作為該行指標對應的權重W′i，再對W′i作歸一化處理，則Wi=W′i∑W′i，所求各指標的權重為W=（W1，W2，…，Wn）。

評判矩陣R中各行元素的幾何平均W′i=（1.46，1.28，0.50，1.07），對其歸一化處理得各指標的權重為W=（0.34，0.30，0.12，0.25）。

3.2.3一致性檢驗

對求得的權重向量使用公式：CR=CIRI進行一致性檢驗，RI為R的平均一致性指標，CI為R的一般一致性指標，CI=1n－1（λmax－n），λmax為R的最大特征值，λmax=∑ni=1（RW）inWi，n為R的階數［9］。

當CR<0.1時，就認為評判矩陣R具有滿意的一致性，即各指標的權重分配合理。

對權重向量為W進行一致性檢驗，計算得λmax=4.0032，CI=0.0010，n=4時RI=0.9，一致性比率CR=0.0012<0.1，據此知評判矩陣R具體滿意的一致性，即得難度P、區分度D、效度V和信度R的權系數。

3.3確定隸屬函數

本文對評判試卷質量的4個指標根據表2所示的量級［1011］規定給出如下隸屬函數［12］。

3.4試卷質量綜合評價

對試卷質量進行綜合評價時，利用綜合評分公式：

S（X）=0.34μP+0.3μD+0.12μV+0.25μR

把S（X）命名為試卷質量綜合評分函數，基于“高等數學”課程考試試卷四度代入對應隸屬函數計算得：μP=00441，μD=0.3938，μV=0.2082，μR=0.6899，代入綜合評分函數得S（X）=0.63。

顯然，根據試卷綜合評分可知：該試卷質量較低，其中試卷難度P=0.5726、區分度D=0.3164、效度V=0.206、信度R=0.541，對照表2，此套試卷從難度、區分度、效度和信度分別應劃入差、尚可、差、良好檔次，故該試卷綜合評分尚合理。

為驗證試卷質量綜合評分函數，現進行試驗，結果見表3。

根據表3可知，當試卷難度、區分度、效度、信度都好，試卷質量綜合評分就高；當4個指標都不好，則試卷質量綜合評分就低；當難度、區分度優秀，而效度、信度為差，則試卷質量綜合評分還行，這與“成績—水平”考試難度指標比較重要相吻合。

結語

根據影響試卷質量的難度、區分度、效度和信度，利用模糊數學綜合評價方法構建了試卷質量綜合評分函數，由此將試卷質量得分通過0～1之間的分值進行量化，得分越高即試卷越好。由此，考試成績作為評判教學效果的客觀性越強、可信度越高。試卷質量綜合評分的高低，為今后編制試題和檢驗教師教學、學生學習效果都提供了依據和方向。

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項目基金：2021年滇西應用技術大學校級教學質量工程項目“基于試卷質量‘四度’分析的綜合評價模型構建與機制研究”（編號：21JG06）

作者簡介：寸宇瀟（1992—），女，漢族，云南保山人，碩士，講師，研究方向：教育評價。