二元一次方程組課時設計1:定義

[摘 要] 文章以“二元一次方程組課時設計1：定義”為例，從內容及其解析、教學目標及其解析、教學問題診斷分析、教學過程設計幾個角度給出其“大立意設計、大情境引領、大任務驅動、大概念統攝”下的課時教學設計，以期為后續相關課例提供參考.

[關鍵詞] 二元一次方程組;大單元;大概念;定義

內容及其解析

（一）內容

“二元一次方程組”是魯教版七年級下冊第七章的教學內容，是章起始課，共1個課時，位于教材的第2～5頁，主要內容為二元一次方程（組）及其解的概念.

本節課重在引導學生感受二元一次方程（組）學習的必要性，及其在解決問題中的優越性，理解其概念和解的意義，并進一步體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

（二）內容解析

教材章引言為學生提供了本章內容學習的路徑和方法;章前圖為學生呈現了古老的數學問題——雞兔同籠，意在引導學生通過多種方式（代數方法和方程方法，設“一個未知數”和設“兩個未知數”）解決上述問題，初步感受方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型; 教材情境1以圖文并茂的形式為學生呈現了“誰的包裹多”的問題，通過此問題的解決引導學生進一步感受二元一次方程（組）是刻畫現實世界數量關系的有效模型，以及其在解決問題中的優越性;教材情境2以圖文并茂的形式為學生介紹了現實生活中的“購票問題”，除了深化上述目的外，這個情境的另一重要目的在于引出“二元一次方程（組）”解的概念，教學中應引起一線教師的足夠重視.

二元一次方程組是最簡單的線性方程組之一，它是刻畫現實世界數量關系的一個有效數學模型，也是學習數學，乃至學習物理、化學等其他學科知識的重要基礎. “認識二元一次方程組”一課既是一元一次方程的延續，又是進一步學習其他方程的前提，與研究一元一次方程的“基本套路（定義、解法、應用）”相同.

在上述分析的基礎上，為體現單元整體設計和學科育人的理念，我們結合國際時事熱點，創設了以杭州亞運會為主題的大情境，在保證實現教材情境1和情境2目的的基礎上，重在引導學生感受國家日益繁榮富強，培養學生的愛國主義情懷和頑強拼搏的奮斗精神.

（三）教學重點

基于以上分析，可確定本節課的教學重點是：

二元一次方程（組）的概念，及其解的意義.

教學目標及其解析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱“《課標2022》”）對本節課的要求如下：能根據現實情境理解（二元一次）方程的意義，能針對具體問題列出（二元一次）方程;理解（二元一次）方程解的意義.

（一）教學目標

通過上述分析，可確定本節課的教學目標為：

1. 在情境1和情境2中，再次感受（二元一次）方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

2. 在情境1和情境2的解決中，概括二元一次方程（組）的概念;體會二元一次方程（組）解的意義.

3. 在課堂學習中，培養自強愛國和頑強拼搏的個人情懷，培育“模型觀念、運算能力、應用意識”等核心素養.

（二）目標解析

目標1達成的標志是：學生能夠在具體情境中發現兩組等量關系，在靈活設置未知數的基礎上，準確列出方程.

目標2達成的標志是：學生能通過相應的探究活動說出二元一次方程和二元一次方程組的概念;學生能說出二元一次方程的解和二元一次方程組的解的概念，并能判斷出一組數是不是某個二元一次方程組的解.

目標3達成的標志是：學生感受到“數學來源于生活，又服務于生活”，體會到二元一次方程（組）學習的必要性，以及其在解決問題中的優越性;在具體情境和問題解決中為學生種下“自強愛國”和“頑強拼搏”的種子，進而培育《課標2022》提出的“有理想、有本領、有擔當”的“三有”時代新人. （本目標屬于情感、態度與價值觀的目標，需要在長期過程中慢慢形成. ）

教學問題診斷分析

（一）學生已有基礎分析

通過一元一次方程相關內容的學習，學生基本具備了在具體情境中尋求一組等量關系的能力，對“元”和“次”有了感性的認識，并且能夠用一元一次方程解決現實生活中的實際問題，具備學習新方程的能力和條件.

（二）學生基礎與目標的差距

學生雖然在六年級掌握了一元一次方程學習的“基本套路”，對“元”和“次”有了感性認識，但是僅限于“一元”;對于簡單的等量關系（一組）可以利用方程表示，但是對于相對復雜的等量關系（兩組）的解決存在困難. 具體分析如表1.

（三）教學難點

通過上述分析，可確定本節課的教學難點是：

在具體情境中，發現（兩組）等量關系，列出二元一次方程（組）.

教學過程設計

（一）創設情境，復習反思

播放“杭州亞運會開幕式中國代表團入場”的視頻，與學生一起從視頻中見證 “中國運動力量”的震撼時刻，并讓學生談一談自己的感受.

情境1 9月23日杭州亞運會拉開帷幕，我國共派出886名運動員征戰亞運. 已知男運動員比女運動員多12人，你能從中發現或提出怎樣的數學問題？

預設：學生根據情境條件提出男、女運動員人數的相關問題，建立一元一次方程來解決.

師生活動：通過教師引導，引出一元一次方程及其研究思路的復習，即定義、解法、應用. 為本節課類比一元一次方程的研究思路，來探究學習新的一類方程——二元一次方程（組）做好鋪墊.

設計意圖 通過復習一元一次方程的相關內容，為本節課和本章內容的學習搭建“腳手架”;在此基礎上出示學習目標，滲透本節課和本章的研究思路與方法，體現知識的系統性和一致性. 通過“確定人數”這一情境，培養學生在實際問題中發現或提出數學問題的能力，讓學生用“數學的眼光觀察現實世界”，培育學生的數學核心素養. 同時，在杭州亞運會開幕式中國代表團入場的壯觀場面和熱鬧氛圍中，感受祖國的繁榮昌盛，培養學生“自強愛國”和“頑強拼搏”的精神，培育學生的核心素養.

（二）自主探究，目標反思

情境2 云云和小亞以大學生志愿者的身份參與了杭州亞運會，兩人收集了一定數量的亞運會吉祥物徽章作為紀念. 云云收集的徽章數量比小亞多1個，如果小亞給云云1個徽章，那么云云收集的數量是小亞的2倍. 云云和小亞各收集了多少個吉祥物紀念徽章？

問題1 你能根據題目條件列出相應的方程嗎？

設計意圖 情境2的設置，目的在于使學生意識到面對較為復雜的問題時，一元一次方程難以解決. 引發學生思考：當“一個元”難以解決問題時，若添加一個“元”使其變為“二元”，是否會更加簡單？根據情境列出相應的方程是一個重點也是難點，教師需引導學生嘗試設兩個未知數，依據等量關系將未知轉化為已知，列出二元一次方程（組），讓學生感受學習二元一次方程（組）的優越性和必要性.

問題2 回顧情境1，你能依據其中的等量關系嘗試設兩個未知數列出相應的方程嗎？

預設及師生活動：通過問題1和問題2，學生可以得到四個方程，分別是x-y=1 ，x+1=2（y-1）;m+n=886，m-n=12.

問題3 以上4個方程具有哪些共同特征？

預設及師生活動：在問與追問中學生類比一元一次方程歸納出二元一次方程及二元一次方程組的概念.

設計意圖 通過問題3，引導學生在一元一次方程的定義基礎上，通過類比思想，觀察“元”與“次數”的特點，加深對“元”和“次數”的認識，從而歸納出二元一次方程和二元一次方程組的定義.

課堂生成：在類比一元一次方程定義的基礎上，通過觀察未知數個數和含未知數項的次數的特征，學生可以輕松地用自己的語言給出二元一次方程的定義;教師通過引導學生對同個情境中感受未知數代表對象的一致，給出二元一次方程組的定義.

練習：

1.下列方程是二元一次方程嗎？

2.下列方程組是二元一次方程組嗎？

3. 如果關于x，y的方程xm-1-y4+n=7是二元一次方程，則m=____， n=____.

變式：若（m-1）x∣m∣-2y=1是關于x，y的二元一次方程，則m=____.

4. 在亞運會的女子輕量級雙人雙槳比賽中，中國體育代表團的鄒佳琪和岳秀萍奪得冠軍，摘得杭州亞運會首金. 在一場雙人雙槳比賽中，小亞一家前去觀賽. 已知小亞家共5人，買門票花費400元（成人門票100元，學生半價），請問小亞家成人和學生各多少人？（只列方程，不求解）

設計意圖 練習1和練習2是較為簡單的概念辨析練習題，目的是使學生加深對二元一次方程（組）中“二元”和“一次”的理解. 練習3及變式則為二元一次方程（組）概念的簡單應用，難度稍大，能加強學生對知識的理解. 練習4以“亞運會主題背景”的形式呈現，目的是讓學生通過現實情境問題建立方程模型，并進一步體會方程模型思想. 同時，進一步體會中華民族頑強拼搏的精神，激發學生學習的激情和動力.

（三）合作探究，問題反思

問題4 （1）如果考慮練習4情境，你能找到哪些x，y的值滿足方程x+y=5？

（2）如果不考慮練習4的情境，你能找到哪些x，y的值滿足方程x+y=5 ？

（3）按照同樣的方法，你能找到哪些x，y的值滿足方程100x+50y=400？

問題5 根據你找到的x，y的值，你有什么發現？

設計意圖 問題4（1）的設置使學生先在具體的情境中感受二元一次方程的解存在的實際意義，再在問題4（2）（3）去除問題情境時，從純數學問題的角度充分感受二元一次方程的解的可能性，最后通過問題5類比一元一次方程的解，發現二元一次方程的解的特點——存在無數組解.

課堂生成：學生通過具體情境中的實際條件，發現x，y的值存在一些限制，只能得到有限組滿足二元一次方程的值. 但在去除情境后，從代數的角度，學生大膽代入各類數值，會發現滿足二元一次方程的值存在無數組，從而充分感受到二元一次方程與一元一次方程的解的不同之處，從而類比一元一次方程的解的概念，總結出二元一次方程的解的概念.

問題6 小組合作，對比下面兩個表格中每一組x，y的值，你有什么發現？

設計意圖 感受二元一次方程組的解是其兩個方程的公共解是一個難點，而直觀的表格對比能夠讓學生清晰地觀察到當兩個x的值相等時，對應的y值僅存在一組是相等的，從而理解二元一次方程組的解是兩個方程各組解的“公共部分”，加深對二元一次方程組的解的感受.

課堂生成：當學生獨自觀察時，容易將兩個方程對應的x值和y值當作兩個獨立的“個體”來進行觀察，這時教師需要引導學生把解組合，并注意兩個方程每一組的解在x值相同時，對應的y值是怎樣的特點，學生就能較為直觀地找到“公共解”，從而歸納出二元一次方程組的解的概念.

練習：

1.下面4組數值，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？

（四）整合提高，總結反思

如圖1所示.

設計意圖 通過思維導圖的形式，站在方程的大單元視角回顧本節課的學習過程，通過方程的基本學習思路（定義、解法、應用）奠定“二元一次方程組”這一章節后續課程的學習基礎，并為后續學習分式方程、一元二次方程指明學習方向，指向“學會學習”. 將方程的學習思路放在初中階段“數與式”中函數與不等式的學習中也同樣適用，從而完善了初中數學“數與式”的大單元學習套路. 同時，在方程大單元的學習過程中，幫助學生構建知識結構圖，將所學知識納入原有知識體系，能培育學生的抽象觀念、模型觀念、應用意識等核心素養.

（五）布置作業，梳理反思

達標檢測：

1. 下列不是二元一次方程組的是（ ）

3. 作為世界級賽事的亞運會承擔著向外界展示我國科技力量的任務，而延續人工智能特色的食堂自冬奧會起就一直吸引著各國媒體的眼球. 承包食物加工的公司收購了某種蔬菜140 t，該公司每天可以粗加工16 t、精加工6 t，現計劃用15天完成加工任務，請問：該公司應安排幾天粗加工、幾天精加工？（只列方程組，不求解）

布置作業：

1. 基礎作業：課時作業，共10題，其中選擇題4題，填空題3題，解答題3題，每種題型均分層呈現試題（要求當天完成，限于篇幅，此處略去）.

2. 實踐作業：

請你結合亞運會，編一道與“二元一次方程組”有關的題目.

預設及師生活動：達標檢測獨立完成，教師訂正答案，學生交換批改. 短作業（基礎作業）課后20分鐘內完成;長作業（實踐作業）貫穿本章學習的始終，提高學習能力和興趣，為后續二元一次方程組解法的學習做鋪墊.

設計意圖 通過一組練習鞏固本節課學習的“二元一次方程和二元一次方程組”，實現“堂堂清、日日清”. 作業是學生鞏固知識、形成能力、培養習慣的重要載體，也是教師了解學情、完善教學管理的重要手段，在“雙減”背景下，上述作業設計力求做到“讓不同的學生在數學上得到不同的發展”，體現了控制數量、提高質量;分層作業，面向全體;注重基礎，培育素養.