“矢量的合成與分解”學(xué)習進階設(shè)計研究

摘 要：在學(xué)習進階思想指導(dǎo)下，對矢量、矢量求和的方法、合力、分力等相關(guān)概念進行梳理，劃分出最契合學(xué)生思維跨度的學(xué)習進階層級，幫助學(xué)生更好地理解和掌握矢量的合成與分解。學(xué)會力的合成與分解的原則和實際操作步驟之后，可以進一步推廣到其他矢量，比如“速度”“加速度”，以及在之后學(xué)習曲線運動時進行運動的合成與分解。矢量的合成與分解的概念涉及到曲線運動、勻強電場、勻強磁場等十分廣闊的范圍，具有內(nèi)容占比大、應(yīng)用廣、難度高的特點。

關(guān)鍵詞：學(xué)習進階；矢量；合成與分解

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）8-0038-6

１ 問題提出

“矢量”是物理學(xué)科的重要概念之一，“矢量的合成與分解”貫穿于整個高中物理的學(xué)習過程中。學(xué)生在初中物理接觸過“速度”“力”的概念，能模糊地認識到“力”既具有大小，又具有方向；在高一下學(xué)期又通過數(shù)學(xué)課接觸了“向量”“平面向量”等概念，這為學(xué)習“矢量的合成與分解”打下了基礎(chǔ)。比如，學(xué)習“力的合成”會經(jīng)歷一維共線—二維平面—三維空間的過程；對物體“運動軌跡”的了解也會經(jīng)歷相似的過程。再如，研究平拋運動時，我們需要根據(jù)受力特點，將運動分解成水平方向的勻速直線運動（水平方向不受力）和豎直方向的勻加速直線運動（只受重力）；求解自行車前進時氣門芯的運動軌跡，需要將其分解為水平方向的直線運動和豎直面內(nèi)的圓周運動；帶電粒子在復(fù)合場中的運動也會涉及到分解。這些都建立在掌握“矢量的合成與分解”的基礎(chǔ)上，并結(jié)合“牛頓第二定律”進行處理。

在高中物理中，“矢量的合成與分解”具有內(nèi)容占比大、應(yīng)用廣、難度高的特點。以“學(xué)習進階”為研究方法對“矢量的合成與分解”進行研究，摸清該概念的學(xué)習進階路徑，進行合理劃分，可以幫助教師優(yōu)化教學(xué)安排，有針對性地設(shè)計配套的習題，在實踐中及時發(fā)現(xiàn)和解決問題，還可以在綜合復(fù)習過程中為學(xué)生提供框架性、系統(tǒng)性的指引。

２ 學(xué)習進階理論下“矢量的合成與分解”建構(gòu)

學(xué)習進階在科學(xué)教育領(lǐng)域被正式提出是在２００４年。學(xué)習進階的可操作性定義為：學(xué)習進階聚焦于基礎(chǔ)性和生成性的核心概念或?qū)嵺`能力，通過確定學(xué)生的表現(xiàn)預(yù)期來設(shè)定進階過程的“錨點”，進而明確學(xué)生在各個階段應(yīng)該學(xué)習的知識與能力，最后進行針對性教學(xué)干預(yù)［１］。

郭玉英基于對學(xué)習進階的理解，建構(gòu)了對科學(xué)概念理解的發(fā)展層級模型［２］。本文基于以上理論基礎(chǔ)和《普通高中物理課程標準（２０１７年版）》［３］，以“矢量的合成與分解”為例進行物理概念的學(xué)習進階研究。利用郭玉英等提出的學(xué)習進階發(fā)展層級模型，劃分“矢量的合成與分解”的學(xué)習進階，使學(xué)生在一個長時間跨度內(nèi)學(xué)習這一重要概念時，能夠經(jīng)歷循序漸進、由淺入深的認知過程，經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜、由單一到綜合的訓(xùn)練過程。便于教師能夠通過該學(xué)習進階的劃分，明確學(xué)生在各階段應(yīng)該學(xué)習的知識與能力，合理地設(shè)置教學(xué)目標和選擇教學(xué)策略，也便于教師基于學(xué)習進階進行作業(yè)設(shè)計和教學(xué)評價，使評價與課程標準的要求更加一致，達到“教-學(xué)-評”一致性。

（１）矢量（ｖｅｃｔｏｒ）

向量最初應(yīng)用于物理學(xué)中，被稱為矢量。最先使用有向線段表示向量的是英國科學(xué)家牛頓［４］。在數(shù)學(xué)中，向量的表示包括代數(shù)表示、幾何表示、坐標表示，我們主要看幾何表示和平面坐標表示。

幾何表示：具有方向和長度的有向線段，如圖１所示。圖中矢量的線段長度記作，叫作矢量的模，即為大小；箭頭表示方向。若要說兩個矢量相等，則需要大小和方向都相同。

圖1 矢量的幾何表示圖

坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取x軸、y軸方向相同的兩個單位矢量 和 作為一組基底。= 為平面直角坐標系中的任意矢量（圖２）。有且只有一對實數(shù)（x，y），使得==x +y ，因此把實數(shù)（x，y）叫作矢量的坐標，即點Ｎ的坐標。和叫作矢量的分量。獲得分量的過程叫作投影。

圖2 矢量的坐標表示圖

關(guān)于向量投影的兩個定理：

定理 １：向量的投影等于其模乘以投影軸的正方向與此向量方向所成夾角的余弦。

定理 ２：向量的投影和等于各向量在同軸上投影的代數(shù)和。

（２）矢量的運算

①幾何法求矢量和

求任意兩個矢量和的和，可以將兩個矢量首尾相連，將所得折線段的起點和終點連接，即矢量就是這兩個矢量的和（圖３），表示為=+。以和為鄰邊作平行四邊形，對角線所對應(yīng)的矢量即為矢量和。以此類推，也可得到矢量求和的多邊形法則（圖４），=+++。

圖3 雙矢量求和的示意圖

圖4 多矢量求和的多邊形法則示意圖

②建立坐標系法求矢量和

如圖５建立平面直角坐標系，將矢量和置于坐標系中，將其投影到坐標軸上，分別得到x軸和y軸的分矢量，再進行一維運算，得到x軸上矢量和＋＝，y軸上矢量和＋＝。由=＋得到＋＝。

圖5 建立坐標系法求矢量和的示意圖

（３）“力是矢量”

皮亞杰說：“物理現(xiàn)實與用來描述這種現(xiàn)實的數(shù)學(xué)工具之間有永恒的一致性”，數(shù)學(xué)中的抽象關(guān)系是現(xiàn)實的某些具體原型提供的，經(jīng)過模型化后又普遍適用于一類物理系統(tǒng)［５］。將物理現(xiàn)實與數(shù)學(xué)抽象進行轉(zhuǎn)譯的過程具有相當大的思維跨度，對初學(xué)的學(xué)生來說是有難度的。

在日常生活中，“力”這個概念往往與我們的肌肉所施加的“推”“拉”“提”等動作聯(lián)系起來。我們能夠感性地感受到“力”有不同的大小和方向，這是我們自然擁有的感覺。但是，“力”又是看不見、摸不著的，我們只能從物體的運動狀態(tài)變化或者形狀的改變中窺見真容。為了更容易理解，我們建立了“力的圖示”來表征力，借用數(shù)學(xué)中的“向量”來轉(zhuǎn)譯“力”這一概念，將力學(xué)系統(tǒng)中的具體關(guān)系轉(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的抽象矢量運算。因此，可以這樣定義“矢量”：那些既有大小又有方向，可以用有向線段表示，可以按平行四邊形法則相加的物理量。比如，速度、位移、加速度、力。也可以定義“標量”：那些只有大小沒有方向，不能用有向線段表示、按算術(shù)法則相加的物理量。比如，質(zhì)量、溫度、路程、電流等。

（４）“合力”與“分力”

人教版教材對“合力”和“分力”的定義如下：假設(shè)一個力單獨作用的效果跟某幾個力作用效果相同，這個力就叫作那幾個力的“合力”（ｒｅｓｕｌｔａｎｔ ｆｏｒｃｅｓ）。假設(shè)幾個力共同作用的效果跟某個力單獨作用的效果相同，這幾個力就叫作那個力的“分力”（ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｏｒｃｅｓ）［６］。圖６中的等于和的合力，圖７中的和可以看成的分力。

在教材的這一表述中，混淆了“合力”與“分力”是真實存在的力（具有施力物體）還是數(shù)學(xué)抽象運算的結(jié)果——合矢量與分矢量。不厘清這一區(qū)別，會導(dǎo)致學(xué)生找不準分解的對象，在受力分析中容易出現(xiàn)多力或者少力的情況。在后續(xù)“運動的合成與分解”中，“選不準分解對象”這一問題還會進一步放大。

在物理領(lǐng)域中，可以通過實驗對物體受到的多個力及其共同作用效果進行測量，從而在此過程中認識到力既具有數(shù)量性，又具有方向性，力的合成存在某種規(guī)則。如果另一個相同的物體在只受到一個外力作用的情況下產(chǎn)生了相同的效果，那么單獨作用的這個力可以等效替代“多個力”作用，稱之互為“等效力”。兩種情境中涉及的力均為有施力物體的真實存在的力。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，“有向線段”叫作向量，可以在坐標系里被分解或者被合成，合成就是向量的加法運算。如圖８所示，向量是向量和的合向量，向量和是向量的分向量。它是一個抽象的數(shù)學(xué)運算結(jié)果，并不是一個真實存在的力。

我們把力學(xué)系統(tǒng)和數(shù)學(xué)系統(tǒng)進行類比和轉(zhuǎn)譯之后，就完成了力學(xué)系統(tǒng)中的“等效替代”關(guān)系與數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的“矢量合成”關(guān)系的映射。等效力的存在是對矢量運算結(jié)果的驗證，給“合力”這個概念賦予了經(jīng)驗的意義?！昂狭Α笔腔谘芯繉ο笏艿降恼鎸嵈嬖诘牧M行數(shù)學(xué)運算的結(jié)果，表征多個力的復(fù)合作用。“合力”是一種數(shù)學(xué)運算的結(jié)果，它不是與“多個力”同時真實存在于同一個物體上的“力”［７］。

同樣的道理，在力的分解中用來作為分解的“力矢量”是真實存在的力，但分解后得到的“分力”不是與“單獨的一個力”同時存在于同一個物體上的力，它只是數(shù)學(xué)運算得到的結(jié)果。

（５）相關(guān)概念在現(xiàn)行教材中的呈現(xiàn)順序

物理領(lǐng)域：人教版初中物理八年級下冊第七章《力》介紹了“力”的定義和力的圖示及示意圖；第八章《運動和力》介紹了“二力平衡”。學(xué)生初步了解“力”是一個有大小、有方向的矢量，只涉及同一直線上兩個力的求和運算。人教版高中物理必修一第一章《運動的描述》涉及了“位移”“速度”“加速度”這三個矢量，在定義加速度的過程中，需要對速度矢量進行減法運算得到“速度的改變量Δ”，它也是一個矢量。第三章《相互作用——力》第4節(jié)“力的合成和分解”涉及同一平面上不共線的“力矢量”的求和運算。人教版高中物理必修二第五章《拋體運動》第2節(jié)“運動的合成與分解”涉及“速度”“位移”“加速度”的合成與分解。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域：人教版高中數(shù)學(xué)必修二第六章《平面向量及其應(yīng)用》第３節(jié)“平面向量基本定理及坐標表示”涉及向量求和的平行四邊形法則以及向量的正交分解。但教材中是通過位移和力的合成引入的。

（６）“矢量的合成與分解”學(xué)習進階層級劃分及相應(yīng)能力要求

綜上分析，數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習都是出現(xiàn)在相關(guān)物理內(nèi)容之后，因此在我們的教學(xué)安排和備課中必須充分考慮到這個現(xiàn)實情況。結(jié)合學(xué)習進階理論，現(xiàn)將“矢量的合成與分解”學(xué)習進階層級進行劃分（表１）。

本文對“矢量的合成與分解”學(xué)習進階的劃分，旨在幫助學(xué)生建立更小的思維難度跨越階梯，為解決復(fù)雜問題提供切入口和抓手。在學(xué)會力的合成與分解的原則和實際操作步驟之后，可以進一步推廣到其他矢量，比如“速度”“加速度”，為之后學(xué)習曲線運動提供抓手。矢量的合成與分解的適用范圍包括曲線運動、勻強電場、勻強磁場等十分廣泛的范圍。

３ 小 結(jié)

學(xué)習進階的劃分不是本研究的終點，最終要以教學(xué)設(shè)計和課堂實施的形式進行檢驗，在實踐中修正和完善。研究“矢量的合成與分解”這一概念的學(xué)習進階劃分的過程本身也是為物理概念教學(xué)、作業(yè)設(shè)計與評價提供研究方法?？梢杂眠@種方法繼續(xù)做其他重要物理概念的研究，有助于提高教師備課的精確度。這一方法也可以指導(dǎo)學(xué)生進行綜合復(fù)習，幫助學(xué)生將龐雜的物理情境整合進幾個重要的核心概念中，提升學(xué)生知識的系統(tǒng)性。

參考文獻：

［１］劉楊，杜雯，任媛媛．國外學(xué)習進階研究的知識圖譜分析［Ｊ］．生物學(xué)通報，２０２３，５８（５）：６－１０．

［２］郭玉英，姚建欣．基于核心素養(yǎng)學(xué)習進階的科學(xué)教學(xué)設(shè)計［Ｊ］．課程·教材·教法，２０１６，３６（１１）：６４－７０．

［３］廖伯琴．以學(xué)生發(fā)展為本改進普通高中物理課程——《普通高中物理課程標準（２０１７年版）》解讀［Ｊ］．人民教育，２０１８（１０）：４３－４６．

［４］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：６．

［５］皮亞杰．發(fā)生認識論原理［Ｍ］．王憲鈿，譯.北京：商務(wù)印書館，１９８５：８６－９６．

［６］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中教科書物理必修第一冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：７２．

［７］趙曉丹．高中物理力矢量建構(gòu)的研究［Ｄ］．濟南：山東師范大學(xué)，２０１５．

（欄目編輯 鄧 磊）