關于“數學體驗性學習”之斷想

【摘 要】在體驗的豐富性和數學的抽象性之間，存在著一種深層的張力，這表明了“數學體驗性學習”所具有的豐富探究空間和思考空間。體驗是一種沉浸于主體的經驗，但又從經驗上升到覺知的過程，其中蘊含著類似于黑格爾所言的肯定—否定的精神生長歷程。數學體驗的目的并非是對對象的表層感知，而是對象相對于主體而言所具有的意義。數學體驗需要主體去實踐、去做，但思想的數學卻同時要求主體去思、去反省，因此數學體驗中所發生的是一種“做思共生”之機制。數學是一門高度模式化、抽象性的學科，這就要求主體走入數學的一種深層美學境界之中，并經由數學之美的體驗，而獲得數學學習的本真動力和對數學之真的逐漸接近。

【關鍵詞】數學體驗性學習；覺知；做思共生；數學美

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】C 【文章編號】1005-6009（2024）27-0028-04

【作者簡介】呂林海，南京大學（南京，210023）教育研究院教授，博士生導師。

一切教育的發生，最終都需要落實在學生身上，這幾乎是個不言自明的道理。但如何讓其更好地發生，卻并不是那么顯而易見的。教育的學問，恰恰在這里顯現出來。對于數學教育而言，長久以來的實踐困境其實并不在于對“數學這門科學的重要性和價值性”的認同，而是在于如何讓這種“重要性和價值性”真正走入學生的內心深處，并轉化為其獨特的理性素養。對于此，數學教育相比其他學科的教育，又有著更大的難度，這從根本上源于數學的本質特征——高度的抽象性，它使得數學其實很難被學生真正“體驗到”，這包括數學所獨具的對現實世界的深刻的思想穿透力和解釋力。

因此，數學教育其實存在著一個深層的兩難困境。一方面，數學的高度抽象性彰顯著數學的魅力、價值，它使得人類得以借助數學走進繁雜的現象世界或經驗世界的深處，揭示隱秘其中的形式化機制；另一方面，抽象又逼迫著數學需要跳出人的感知經驗范圍，破除經驗的制約，但這就反過來不斷促發著人們調動（甚至是激發）自身的理性機制，克服自身經驗的限制，以追尋、把握數學所獨有的模式化力量。數學的抽象，既是其深層的價值之所在，又是其對教育提出的深層的挑戰之所困。

基于上述困境之思，一個值得探討的問題就自然浮現出來了，即如何能讓這種數學的抽象力量真正被學生“體驗到”？這樣的問題自然就延展出如下的系列追問：如何理解“體驗”和“數學的體驗”？有哪些類型的“數學體驗”？如何讓這樣的體驗真正發生？教學、評價等方面的可能做法有哪些？在這里，我們已經看到，“體驗”一詞，似乎努力地在把“抽象”和“經驗”融合起來，也在把數學教育的兩難困境加以彌合，這顯示了對其加以研究的意義和價值。對于這樣一個頗具難度又極具價值的議題，筆者在本文中僅著力提出自己的一些哲思斷想，努力為他人提供一些思路和助力。

一、體驗的內涵——從經驗到覺知

“體驗”二字的內涵需要細細推敲。《荀子·修身》有云：“好法而行，士也；篤志而體，君子也。”由此可見，“體”與“行”幾乎是統一的，“體”就是去實行、去實作。故《淮南子》中也謂：“故圣人以身體之。”這里的“體”，也表明一種“親身去做”的意思。“驗”其實是核查、檢查的意思，它表明“行動者”（即“體”者）要通過行動去進行核查和檢驗，特別是對過去的經驗、想法、思想、觀念進行反思和考量。

基于上述分析，“體驗”其實有兩層含義。第一層含義是指“實際地做”，這是一種具身的、嘗試的行動，是體驗的基本路徑。第二層含義是指“深層的覺知”，這是一種基于行動后的反思、改進和升華，是體驗的關鍵機制。由此可見，對于“體驗”而言，首先要有主體的行動、參與，讓主體有一種具身的“進入過程”。隨后要在體驗的基礎上有思考、有反省、有悟知，要形成對過去經驗的一種重新修正，甚至是再構。圖1就展示了體驗從“原有的經驗”向“深層體驗”發展的基本過程。

“體驗”發生在“實際地做”之中，此時必然生成一種對“原有的經驗”的改造過程。“原有的經驗”是主體的“淺層經驗”，它傾向于一種“肯定性”，即主體總是傾向于用已有的、基礎的經驗去解釋外部世界，或者基于這樣的經驗去行動。如果“實際地做”沒有對主體的“淺層的體驗”或“原有的經驗”進行改造，那么“真正的體驗”其實并沒有發生。這就是指，沒有實現“體驗”的第二個關鍵要義，即，讓主體真正地有悟知、有覺知，有對“原有經驗”的深層改造。而“后來的覺知”就是一種新的“深層的體驗”，它是一種對原有經驗的否定，促發主體用一種新的視角與世界展開對話和互動。

在“實際地做”之中，原有經驗的改造的發生，需要經歷如下的“體驗過程”。首先，主體要體驗到一種沖突，要體驗到一種矛盾，從而形成對過往“肯定性經驗”的一種深層挑戰。第二，伴隨著挑戰而來的，是一種認知的斷裂，一種原有的經驗無法解決所面對的事件的“無力感”，這“逼迫”著主體重構經驗，以生成一種解決問題的“新的能力”。第三，直至一種認知的重構，主體才形成一種新的頓悟、一種經驗的再構，重獲一種對世界的有力的解釋能力和應對能力。

從上述的轉變機制可以看出，真正的體驗來自主體對自身經驗的“深層改造”，而“改造的發生”對主體而言是一種“痛苦感”“矛盾感”，這種感受才是“實踐行動”對主體而言真正產生價值的關鍵機制。正所謂，“深刻的痛苦才能產生深刻的體驗”“大痛苦產生大體驗”。

二、數學體驗的目的——指向意義的建構

人類的一切深層體驗，并不僅僅是“對象化”地去感知某個對象（物），而是要把“對象”和“自我”聯系起來，感受“對象”對“我”而言的“意義”。深層體驗，就是“我”在深層地建構“對象的意義”。因此，體驗，并不是去直接“體驗”一個客觀“存在物”，而是“由我出發”去建構“我所感悟到的意義”。“體驗”必須是主體性的，這種主體性意味著一種“客觀對象的被納入”，即一切客觀對象都被納入我的意義世界之中，成為我的意義世界中“被建構的對象”。

由以上可見，對于數學體驗而言，學習者所體驗的并不是某個“客觀的數學對象”（某個知識點、某個定理、某個法則等），而是這些“數學對象”的意義。可以用一句發問句來表明數學體驗的內涵，即，“對我而言，它（數學對象）意味著什么？”“意味著什么”，直指數學體驗的目的，它把主體和客體深深地聯系了起來。

以數學中的函數為例，學生所獲得的數學體驗，直指如下的追問，即“于我而言，函數意味著什么？”面向“意味”的追問，其實就是“意義的深究”，就是主體努力地超越表層的信息，深入地建構“數學對象”的更高意義。基于此，筆者認為，學習者會對函數這個數學對象從三個角度加以“意義追問”，即何成其由、何成其義、何成其功。接下來，筆者試圖一一加以解讀。

“何成其由”是一種“歷史文化意義”的追問，它試圖解答“我如何看待函數的歷史生成的意義的？”這一追問。這就需要學習者走入數學史深處，走入“函數”產生的事件深處，重構對事件的歷史解讀，形成對“函數”的“何成其源”的解析。此時的學習，是一種“學科史學習”。

“何成其義”是一種“思想方法意義”的追問，它試圖解答“我如何看待函數的內涵要義的？”這一追問。這就需要學習者走入函數的思想方法特質深處，去理解對應說、映射說的思想內涵，走入函數的符號表達之中，建構函數的圖像化意義等。此時的學習者所經歷的，是一種“知識思維學習”。

“何成其功”是一種“遷移應用意義”的追問，它試圖解答“我如何看其作用與功能的？”這一追問。這就需要學習者實際地去解決問題、去進行項目化學習、去進行遷移應用，以此來感受“函數的實際應用意義”。總體而言，學習者是通過“應用性學習”來建構“遷移應用意義”的。

三、數學體驗的機制——做思共生

數學體驗，意味著打破原初的經驗，并由此建構“新的覺知”。從“原初經驗”到“后期覺知”，就是“深層體驗”的發生過程。在這個過程中，學習者所必須經歷的關鍵機制就是“做思共生”。所謂“做思共生”，就是在“實際地做”的過程中，學習者同時在經歷著“反省和建構”。“做和思是相互交織、彼此互融的”，新的體悟、新的覺知就是在“做”的過程中生成的。

對于“做”而言，此時發生的具身體驗，對于積累數學經驗、形成數學感知的確頗為重要。但是，正如前所言，具身的體驗本身并不是“數學體驗”的終結，唯有上升到更高的“覺知”，才是數學體驗的目標。圖1所示的“沖突”“斷裂”“重構”之轉化機制就是這一上升過程的體現。孕育在這一上升過程之中的，是學生的思維，這里的思維可謂“反省思維”。這是因為，學生是在“做”的過程中同時發生著反思，思與做是共生的，思是對“做”的一種體察和反省。“做”提供了“反省”的素材——如各種矛盾、困境，與此同時，反省為“做”提供了進一步完善的可能。

基于此，我們需要進一步追問，“做”中之“思”包含哪些方面呢？特別是，數學之“做”中的“思”又是什么呢？筆者無法涵蓋所有“思”之內容，僅著重談如下幾個“思”之類型。第一是“對比之思”。數學活動中的一個重要內容就是對經驗世界的事物進行比較。比較是抽象建構的基礎。當學生看到了大小不同的“角”，當學生看到了形態不一的函數，等等，差異中似乎又有著相同，這時的困惑自然產生，而破解困惑的重要路徑就是“對比之思”。第二是“概括之思”。比較之后，學生就需要尋找共性特質，提煉共性特質，描述共性特質，此時發生的“思”就是“概括之思”。形態各異的角、變化多端的圖、類型迥異的數，看似不同，但比較之后建構出內隱其中的“同”，數學的抽象意義就產生了。第三是“直覺之思”。數學的思維方式中不僅僅是邏輯、推理和演繹，還有“直覺思維”。直覺思維是一種超越邏輯形式而直接洞察事物本質的思維方式。數學史的大量事例都表明，在對數學問題的長期苦思冥想的過程中，研究者往往會突然形成某種頓悟、產生某種靈感，實現一種超越性和突破性的建構。對于學生而言，在“做”數學的過程中，在面臨難題或困境之時，堅持深度思考和反復揣摩，當“靈感之一瞬”突然來臨，此時的數學體驗是一種“至高的心流美感”，其價值無與倫比。如果說還有其他的“思”，那么，筆者還可以列舉“歸納之思”“聯想之思”等，但限于篇幅，就不一一加以闡釋了。總而言之，數學是一門高度強調思維的學問，數學體驗中的核心內容就是“思之體驗”。并且，這種“思之體驗”因其嵌入“做”之中，就強烈地帶有杜威所說的“反省思維”之特質，這即是一種邊做、邊思、邊調整的思想經歷。

四、數學體驗的情感動力——數學美

在學生的數學體驗中，一個重要的體驗就是數學美的體驗。這種美并不是一種表層的優美感，而是一種深層的崇高感。在數學所表現出的形式的簡潔性與其反映出的世界規律的深刻性之間，恰恰彰顯了一種數學獨立的美學力量。從表面來看，數學的符號或許讓人感覺枯燥深奧，但那是因為數學并未走入體驗者的經驗深處。如果體驗者真正經歷了數學發生發展的歷程，理解了數學符號所表達的意義內涵及其生成過程，此時的數學就絕不是一個形容枯槁的形式化骨架，而是一個血肉豐富的生命體，它生機勃勃，充滿了魅力。

這種追求極致的形式化表達，并以此表達人類對世界的深度意義建構的過程，其本身就是一種人類的思想之美與人性之善。這是因為，在體驗數學的過程中，人類得到了一種寧靜感，并由此有可能接近世界的真與世界的美。在哲學家和數學家懷特海看來，世界正是經由數學，而進入了一個哲學的世界，并揭開了真理的序幕，他由此寫下了名篇《數學與善》。

由此反觀今天的數學教育，我們讓學生體驗數學的問題解決過程、概念形成過程、聯想推理過程等，這是必要的，但又是需要進一步深化的。深化的關鍵點在于，一切數學知識的背后，蘊含著數學作為一個模式的抽象性力量，蘊含著一種絕對的人類追求形式之美的深層動力。正是在這個意義上，我們可以說，最深的數學體驗，應當是一種數學之美的體驗，這是一種至高的數學學習動力，它最接近數學學習之本真。