指向多元聯(lián)結(jié)的小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)

【摘 要】數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵能力。小學(xué)數(shù)學(xué)命題體現(xiàn)聯(lián)結(jié)思想，能促進(jìn)教師結(jié)構(gòu)化地教、學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)。教師在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)注重聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)、其他學(xué)科、現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生自身，從而促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，發(fā)展跨界融通能力，提升應(yīng)用遷移能力，形成反思的內(nèi)在自覺(jué)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；多元聯(lián)結(jié)；命題設(shè)計(jì)；結(jié)構(gòu)化思維；融通能力；應(yīng)用意識(shí)；內(nèi)在自覺(jué)

【中圖分類號(hào)】G623.5" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）25-0052-04

【作者簡(jiǎn)介】王玉東，江蘇省海安市教師發(fā)展中心附屬小學(xué)（江蘇海安，226600）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師，南通市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，南通市優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人。

2000年4月，美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)在其頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則與標(biāo)準(zhǔn)》中提出了6項(xiàng)數(shù)學(xué)能力，其中之一便是“數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力”。數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力是指學(xué)生在知識(shí)關(guān)聯(lián)、思維轉(zhuǎn)換、方法遷移等方面的能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）強(qiáng)調(diào)基于“整體性”思維，建立廣泛而多樣的聯(lián)結(jié)：內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)結(jié)；跨學(xué)科學(xué)習(xí)，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的聯(lián)結(jié)；創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的聯(lián)結(jié)；反思學(xué)習(xí)過(guò)程，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生自我的聯(lián)結(jié)。評(píng)價(jià)具有導(dǎo)向功能。在小學(xué)數(shù)學(xué)命題中注重考查學(xué)生的聯(lián)結(jié)能力，能促進(jìn)教師結(jié)構(gòu)化地教，推動(dòng)學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)。

一、聯(lián)結(jié)內(nèi)部知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維

無(wú)論是在相同內(nèi)容領(lǐng)域還是在不同內(nèi)容領(lǐng)域，數(shù)學(xué)知識(shí)之間都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。如果學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)只能獲得一些孤立的、零散的、靜態(tài)的知識(shí)點(diǎn)，而不能形成知識(shí)塊、建立知識(shí)網(wǎng)，那么這些知識(shí)就會(huì)缺乏吸附力和生長(zhǎng)力。以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的命題，要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間邏輯關(guān)系的理解，促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)形成由點(diǎn)到鏈的縱向聯(lián)結(jié)；要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解以及對(duì)通性通法的把握，促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)形成由木到林的橫向聯(lián)結(jié)，如下面兩道題。

【試題1】請(qǐng)?jiān)谙旅娴募先Γㄈ鐖D1）中填上合適的數(shù)學(xué)概念。

試題1通過(guò)讓學(xué)生填寫(xiě)韋恩圖，考查他們對(duì)概念之間親緣關(guān)系的理解，這些邏輯關(guān)系主要包括從屬關(guān)系、并列關(guān)系、交叉關(guān)系，需要學(xué)生調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)，檢索相關(guān)概念，并厘清它們之間的關(guān)系，從而進(jìn)行合理的填寫(xiě)。在教學(xué)中，教師應(yīng)重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，引導(dǎo)學(xué)生建立能體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)其未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

【試題2】在小學(xué)階段，我們分別學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法，它們?cè)谟?jì)算方法上體現(xiàn)了一致性。如20×30=（2×10）×（3×10）=（2×3）×（10×10）=6×100=600、0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06、[25]×[34]=（2×[15]）×（3×[14]）=（2×3）×（[15]×[14]）=6×[120]=[620]。（1）在“20×30”中，10×10求出了新的計(jì)數(shù)單位100；在“0.2×0.3”中，0.1×0.1求出了新的計(jì)數(shù)單位（" " "）；在“[25]×[34]”中，（" " "）×（" " "）求出了新的計(jì)數(shù)單位（" " "）。三道算式中，都用2×3求出了新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)（" " "）。（2）整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法有什么共同點(diǎn)？（3）在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法中，哪種數(shù)的計(jì)算方法也能解決其他兩種數(shù)的計(jì)算？試用上面的算式說(shuō)明。

“數(shù)與運(yùn)算的一致性”指的是不同數(shù)域間數(shù)與運(yùn)算本質(zhì)的、共性的特征。無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都是用計(jì)數(shù)單位數(shù)出來(lái)的，它們的計(jì)算都是確定計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的過(guò)程。試題2旨在讓學(xué)生歸納三類計(jì)算在算理上的一致性，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：整數(shù)乘法、小數(shù)乘法都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來(lái)計(jì)算，即分?jǐn)?shù)乘法可以作為整數(shù)、小數(shù)乘法的通用算法。

二、聯(lián)結(jié)其他學(xué)科，培養(yǎng)學(xué)生的融通能力

在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用本學(xué)科與其他學(xué)科的知識(shí)。新課標(biāo)在前言部分指出：設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動(dòng)課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求。教師教學(xué)時(shí)要注意打破學(xué)科壁壘，注重跨界整合，發(fā)展學(xué)生的綜合素養(yǎng)。評(píng)價(jià)是撬動(dòng)數(shù)學(xué)課程改革的杠桿，命題設(shè)計(jì)增加高質(zhì)量的跨學(xué)科類試題已成當(dāng)務(wù)之急。數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題主要有背景支撐型、建模闡釋型、綜合拓展型等，教師可以根據(jù)需要合理采用，如下面兩道題。

【試題3】長(zhǎng)征途中，三位女紅軍借宿到老百姓徐解秀家中。臨走前，她們把自己僅有的一床被子剪下一半留給她。徐解秀說(shuō)：“什么是共產(chǎn)黨？共產(chǎn)黨就是自己有一條被子，也要剪下半條給老百姓的人。”（1）“半條被子”用[（" " "）/（" " "）]表示，請(qǐng)你在點(diǎn)子圖上表示出它的大小。（2）送出半條被子后，平均每位紅軍蓋[（" " "）（" " "）]條被子，先在點(diǎn)子圖上分一分、畫(huà)一畫(huà)，再填一填。（3）下圖（如圖2）是微視頻《半條被子，溫暖中國(guó)》的播放界面，觀察進(jìn)度條，已經(jīng)播放的時(shí)長(zhǎng)大約是紀(jì)錄片總時(shí)長(zhǎng)的[（" " "）（" " "）]。

試題3實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科和道德與法治學(xué)科之間的聯(lián)結(jié)。在2021年，教育部出臺(tái)了《革命傳統(tǒng)進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》。試題3回應(yīng)指南要求，巧用長(zhǎng)征途中“半條被子”的題材，凸顯了紅軍戰(zhàn)士以人民為中心的立場(chǎng)，使學(xué)生受到了長(zhǎng)征精神的洗禮。值得注意的是，情境本身蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)元素，根據(jù)學(xué)生借助點(diǎn)子圖“做數(shù)學(xué)”的情況，可以考查他們對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，特別是對(duì)不同單位“1”的把握。另外，根據(jù)微視頻的進(jìn)度條寫(xiě)分?jǐn)?shù)，能考查學(xué)生量感的發(fā)展水平。

【試題4】研究表明：蟋蟀鳴叫的次數(shù)與室外溫度有關(guān)。例如，當(dāng)室外溫度為76℉（華氏溫標(biāo)單位）時(shí)，一只蟋蟀每分鐘鳴叫144次。如果這種關(guān)系不變（如下表），那么當(dāng)室外溫度為88℉時(shí)，這只蟋蟀每分鐘會(huì)鳴叫（" " ）次；根據(jù)華氏度=32℉+攝氏度×1.8，這只蟋蟀每分鐘鳴叫184次時(shí)，室外溫度是（" " "）℃。

這道題是數(shù)學(xué)學(xué)科與科學(xué)學(xué)科跨界融合類的題目，考查學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型來(lái)表達(dá)科學(xué)規(guī)律、解釋自然現(xiàn)象的能力。一方面，需要學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析等方法概括出溫度變化與蟋蟀鳴叫次數(shù)變化之間的數(shù)量關(guān)系，也就是溫度增加2℉，鳴叫次數(shù)就會(huì)增加8，進(jìn)而在橫向?qū)Ρ戎薪鉀Q問(wèn)題；另一方面，由鳴叫次數(shù)推算溫度以及根據(jù)華氏度推算攝氏度，則需要學(xué)生逆向思維，運(yùn)用方程、倒推等方法解決問(wèn)題。

三、聯(lián)結(jié)現(xiàn)實(shí)情境，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

華東師范大學(xué)崔允漷教授認(rèn)為：核心素養(yǎng)具有整體性、情境性和反思性。新課標(biāo)在學(xué)業(yè)質(zhì)量描述中指出，數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)主要從三個(gè)方面來(lái)評(píng)估學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)成及發(fā)展情況，“從學(xué)生熟悉的生活與社會(huì)情境，以及符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)與科技情境中，在經(jīng)歷‘用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)的語(yǔ)言分析和解決問(wèn)題’的過(guò)程中所形成的模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等”是其中之一。教師進(jìn)行命題設(shè)計(jì)時(shí)可以基于真實(shí)情境，讓學(xué)生圍繞一類知識(shí)，或綜合運(yùn)用多類知識(shí)解決問(wèn)題，如下面兩道題。

【試題5】新寧公園內(nèi)在規(guī)劃綠地和便民休息場(chǎng)所。通過(guò)對(duì)附近居民展開(kāi)問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大家都希望綠地多一些，為此，公園管理處設(shè)計(jì)了兩種方案（如圖3）。哪種方案更符合居民的需求？請(qǐng)把你的思考過(guò)程寫(xiě)下來(lái)。

這是一道生活情境中的問(wèn)題，源自人們的現(xiàn)實(shí)需要，一方面體現(xiàn)了決策者必須尊重民意，而民意的獲取可以依托調(diào)查統(tǒng)計(jì)，用數(shù)據(jù)說(shuō)話；一方面考查了學(xué)生對(duì)圓的面積與直徑關(guān)系的理解。

【試題6】某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售。

若消費(fèi)金額不足1000元，則按下表所示的方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：

若消費(fèi)金額不小于1000元，則在現(xiàn)有優(yōu)惠的條件下再打七五折。

根據(jù)上述促銷方法，顧客在商場(chǎng)內(nèi)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如：購(gòu)買標(biāo)價(jià)為600元的商品，消費(fèi)金額為600×80%=480元，獲得的優(yōu)惠額為600×（1-80%）+60=180元，設(shè)購(gòu)買該商品得到的優(yōu)惠率=購(gòu)買商品獲得的優(yōu)惠額÷商品的標(biāo)價(jià)。（1）購(gòu)買標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）在雙重優(yōu)惠下，當(dāng)購(gòu)買標(biāo)價(jià)是多少的商品時(shí)，可以得到[13]的優(yōu)惠率？

試題6是一道比較復(fù)雜的題目，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用百分?jǐn)?shù)、方程等知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。其一，在情境方面，既有送獎(jiǎng)券的優(yōu)惠，又有打折的優(yōu)惠；既有基于標(biāo)價(jià)的優(yōu)惠，又有基于消費(fèi)金額的優(yōu)惠。其二，在解題方法方面，對(duì)于問(wèn)題（1），學(xué)生尚能輕松地解決，但對(duì)于問(wèn)題（2），學(xué)生則需根據(jù)不同的區(qū)間來(lái)進(jìn)行假設(shè)、計(jì)算、判斷、調(diào)整。這道題融合了諸多知識(shí)點(diǎn)，能促進(jìn)學(xué)生整合知識(shí)和遷移應(yīng)用方法解決問(wèn)題等方面能力的發(fā)展。

四、聯(lián)結(jié)學(xué)生自身，喚醒其內(nèi)在自覺(jué)

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力……通過(guò)反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化。”評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注學(xué)生能否不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。教師進(jìn)行命題設(shè)計(jì)時(shí)，不僅要考查學(xué)生的解題方法和解題結(jié)果，還要考查他們調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)評(píng)價(jià)反思解題過(guò)程的能力，如下面兩道題。

【試題7】先口算，再回答問(wèn)題：你覺(jué)得哪道題比較容易出錯(cuò)？為什么？你能再出一道類似的題目嗎？

試題7打破了以往只需要學(xué)生口算出答案的慣例，考查他們對(duì)易錯(cuò)題型和算法的關(guān)注，以及日常的積累。在日常教學(xué)中，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生回頭看，促進(jìn)他們對(duì)自己的錯(cuò)誤進(jìn)行歸類整理、反思矯正。

【試題8】下圖（如圖4）是四位同學(xué)計(jì)算14×12的思考過(guò)程。

（1）觀察圖中的各圖和對(duì)應(yīng)算式，思考過(guò)程合理的有（" " ）個(gè)。（2）比一比，這些方法有什么共同點(diǎn)？（3）你覺(jué)得哪一種方法適合所有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的情況，為什么？

試題8主要考查學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算算理的理解，需要學(xué)生觀察、分析、比較、判斷，涉及的素養(yǎng)表現(xiàn)有幾何直觀、推理能力等。同時(shí)，考查學(xué)生依托各種表征進(jìn)行質(zhì)疑反思的能力，學(xué)生既要能發(fā)現(xiàn)先分后合策略背后的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，又要能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)妙妙方法的普適性和一般性。由此，教師教學(xué)時(shí)既要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多元表征充分展示知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，又要引導(dǎo)他們回顧反思探索過(guò)程，促使他們既獲得工具性理解也獲得關(guān)系性理解。

綜上所述，指向多元聯(lián)結(jié)的小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)要凸顯知識(shí)統(tǒng)整、注重學(xué)科融合、優(yōu)化情境創(chuàng)設(shè)、強(qiáng)化自我反省，倒逼課堂教學(xué)在整體關(guān)聯(lián)和學(xué)科實(shí)踐上發(fā)力，著力培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

*本文系全國(guó)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點(diǎn)課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約教學(xué)資源建設(shè)”（DHA190453）、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度青年專項(xiàng)課題“對(duì)話視域下的數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)實(shí)踐研究”（JS/2022/ZX0305-01355）階段性研究成果。