比賽場(chǎng)域下的中學(xué)數(shù)學(xué)教師說(shuō)題內(nèi)涵及策略

[摘 要] 教師教研比賽場(chǎng)域下的說(shuō)題活動(dòng)，能有效展現(xiàn)說(shuō)題教師優(yōu)良的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)和較高的課堂教學(xué)駕馭能力. 文章以2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第22題的說(shuō)案設(shè)計(jì)為例，借“題”發(fā)揮，品讀高考真題，深度剖析說(shuō)題結(jié)構(gòu)、說(shuō)題設(shè)計(jì)及說(shuō)題策略，揭示素養(yǎng)導(dǎo)向下教師教研比賽中說(shuō)題的內(nèi)涵及策略，助推落實(shí)學(xué)科育人和中學(xué)數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng).

[關(guān)鍵詞] 教研比賽;說(shuō)題策略;高考真題品讀;專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)

教研比賽場(chǎng)域下的說(shuō)題活動(dòng)，是基于教研機(jī)構(gòu)和學(xué)校教師廣泛運(yùn)用的說(shuō)題教研方式，能有效遴選具有優(yōu)良數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)和較高課堂教學(xué)駕馭能力的教師. 說(shuō)題教師在備題（命題研究、解題研究）的基礎(chǔ)上，“以語(yǔ)言為主要表述工具，以課堂教學(xué)為背景，以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo)，面向同行和專(zhuān)家，系統(tǒng)而概括地解說(shuō)對(duì)一道數(shù)學(xué)題的教學(xué)理解，闡述具體傳授某道題的教育設(shè)想、方法策略和組織教學(xué)的理論依據(jù)，分析學(xué)生學(xué)題時(shí)的已有基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)障礙和典型問(wèn)題，并根據(jù)聽(tīng)者的建議進(jìn)行反思改進(jìn)的教研活動(dòng)”[1]. 通過(guò)說(shuō)題，教師展現(xiàn)自身數(shù)學(xué)教育的理論功底、數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度、數(shù)學(xué)方法的理解能力及數(shù)學(xué)教學(xué)的前瞻性理念[2]，綜合體現(xiàn)理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)等能力水平. 說(shuō)題是一種進(jìn)階認(rèn)知思維的活動(dòng)，對(duì)教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的要求較高，同時(shí)也有促進(jìn)作用. 筆者以2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第22題的說(shuō)案設(shè)計(jì)為例，借“題”發(fā)揮，品讀高考真題，深度剖析、揭示說(shuō)題的內(nèi)涵及策略，推動(dòng)學(xué)科育人和中學(xué)數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展.

說(shuō)題結(jié)構(gòu)

若以說(shuō)題基本流程為明線，以核心素養(yǎng)的落實(shí)為暗線，則能為沒(méi)有基本模式的說(shuō)題添上“思維的隱形翅膀”[3]. 為使說(shuō)案設(shè)計(jì)有章可循，可以制定大致的說(shuō)題結(jié)構(gòu)框架. 文獻(xiàn)[1]給出了系統(tǒng)性的說(shuō)題結(jié)構(gòu)框架，包含“四個(gè)范疇”“六個(gè)環(huán)節(jié)”及“十五個(gè)站點(diǎn)（監(jiān)測(cè)點(diǎn)）”，如圖1所示. 實(shí)際上，說(shuō)題比賽（教研）活動(dòng)通常只有10～15分鐘，因此說(shuō)題需根據(jù)說(shuō)題素材的特點(diǎn)，基于圖1的結(jié)構(gòu)框架有機(jī)整合、有所側(cè)重.

基于說(shuō)題評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，也可以對(duì)標(biāo)整合，如表1所示.

綜上所述，確定說(shuō)題結(jié)構(gòu)框架如下：說(shuō)試題立意→說(shuō)解題過(guò)程→說(shuō)教法學(xué)法→說(shuō)反思評(píng)價(jià).

試題呈現(xiàn)

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0，的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

（1）求W的方程;

（2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于3.

試題立意

根據(jù)試題信息明晰背景立意，充分揭示試題蘊(yùn)含的必備知識(shí)（問(wèn)題情境、知識(shí)內(nèi)容及聯(lián)系）、關(guān)鍵能力（思想方法、學(xué)科能力）、學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)科育人價(jià)值等，達(dá)成要求和考查意圖;明確試題的重點(diǎn)和難點(diǎn).

1. 試題背景

該題是以曼哈頓距離模型為背景命制的綜合性問(wèn)題，題目入口寬、“面孔”熟、方法多（三角函數(shù)法、三元均值不等式放縮法、“尖底鍋”絕對(duì)值函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等）、切入易;但對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)、知識(shí)廣度、應(yīng)用能力的要求極高，成功求解難度大.

該題主要考查拋物線的定義、曲線軌跡方程的求法，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系背景下，雙變量目標(biāo)函數(shù)的最值，涉及弦長(zhǎng)公式、利用導(dǎo)數(shù)（或三角函數(shù)、絕對(duì)值三角不等式、三元均值不等式等）求最值等知識(shí)點(diǎn);考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想分析與解決問(wèn)題的能力，以及基于解析幾何與函數(shù)解決問(wèn)題的綜合能力;考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 體現(xiàn)了綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，屬難題（壓軸題）.

2. 重點(diǎn)和難點(diǎn)

該題的重點(diǎn)是題設(shè)幾何條件“矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上”“矩形ABCD的周長(zhǎng)”的代數(shù)轉(zhuǎn)化，建立函數(shù)知識(shí)、代數(shù)知識(shí)與解析幾何知識(shí)的聯(lián)系，構(gòu)造“矩形ABCD的周長(zhǎng)”的目標(biāo)函數(shù)和求解策略;難點(diǎn)是選擇合適的化歸方式——選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值，優(yōu)化計(jì)算.

解題過(guò)程

基于學(xué)情分析、審題分析，充分暴露思路探究（關(guān)鍵切入、難點(diǎn)突破、解法形成）、規(guī)范呈現(xiàn)、解題策略等. 突出解決“解讀轉(zhuǎn)化題目條件，形成深化解決方案，提煉優(yōu)化解題策略”等核心問(wèn)題，切實(shí)融合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1. 學(xué)情分析

圓錐曲線（拋物線）的定義、軌跡方程的常見(jiàn)求法、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的處理套路、利用導(dǎo)數(shù)（單變量函數(shù)）求最值的方法，一般學(xué)生是比較熟悉的. 利用圓錐曲線的定義求非標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線方程、圓錐曲線設(shè)點(diǎn)（普通坐標(biāo)、三角坐標(biāo)）或設(shè)線的技巧選擇、求雙變量函數(shù)及“尖底鍋”絕對(duì)值函數(shù)最值的處理技巧（變換主元、放縮）、求解最值問(wèn)題的常見(jiàn)方法（函數(shù)法、不等式法、三角函數(shù)法）等，學(xué)生似曾相識(shí)或未曾接觸. 除了三元均值不等式法，學(xué)生能通過(guò)探究了解其他內(nèi)容.

2. 審題分析

第（1）問(wèn)是本題基礎(chǔ). 對(duì)主干條件“點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0

，的距離”的理解和聯(lián)想類(lèi)比，可從兩個(gè)角度切入：

角度1 通過(guò)抽象概括、數(shù)形結(jié)合（直觀想象），聯(lián)想到“到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的動(dòng)點(diǎn)軌跡是拋物線”，由此判斷點(diǎn)P的軌跡是拋物線，其焦準(zhǔn)距p=. 由標(biāo)準(zhǔn)形式x2=y向上平移=個(gè)單位（數(shù)據(jù)分析）得到所求的方程y=x2+.

角度2 直接“翻譯”（符號(hào)化）該條件：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則=y

，化簡(jiǎn)得y=x2+，即W的方程.

上述兩個(gè)角度體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).

第（2）問(wèn)是本題核心，考查知識(shí)、能力、素養(yǎng)的延伸和深化. 如圖2①所示，對(duì)顯性條件“矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上”和隱性條件“AB⊥AD”，以及問(wèn)題目標(biāo)“矩形ABCD周長(zhǎng)的最小值，即2（AB+AD）的最小值”的挖掘和代數(shù)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵. 需要思考三個(gè)問(wèn)題.

[③]

問(wèn)題1 （宏觀目標(biāo)導(dǎo)向）從問(wèn)題目標(biāo)來(lái)看，“求最值問(wèn)題”是從幾何的角度切入，還是從代數(shù)（函數(shù)、不等式等）的角度切入？顯然，本題適合從代數(shù)（函數(shù)、不等式等）的角度切入，構(gòu)造目標(biāo)“求2（AB+AD）的最小值”. 常見(jiàn)的處理方法有以下幾種：若目標(biāo)函數(shù)為三角函數(shù)，則利用正弦和余弦的有界性求最值;若目標(biāo)函數(shù)為一般函數(shù)，則利用函數(shù)圖象或?qū)?shù)求最值;若目標(biāo)函數(shù)為多元函數(shù)，則考慮用不等式法（囿于所學(xué)知識(shí)，考慮二元均值不等式類(lèi)型）求解.

問(wèn)題2 （中觀方案探究）從已知條件來(lái)看，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)未知，如何引入適量的未知數(shù)便于運(yùn)算求解？涉及“設(shè)點(diǎn)”“設(shè)線”技巧的選擇. 思路1：“設(shè)點(diǎn)法”，即設(shè)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而代數(shù)化求解. 思路2：“設(shè)線法”，即設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)和直線AB，AD的斜率，列出直線AB，AD的點(diǎn)斜式方程，從而代數(shù)化求解.

問(wèn)題3 （微觀運(yùn)算優(yōu)化）基于“A，B，D的坐標(biāo)均為未知量”和目標(biāo)“AB，AD

兩條線段的表示”，如何簡(jiǎn)化模型建立中的運(yùn)算？其一，研究“已知條件”與“問(wèn)題目標(biāo)”的溝通橋梁“AB⊥AD”，易發(fā)現(xiàn)直線AB與AD的特殊位置關(guān)系使其方程（形式相同，斜率不同），B與D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（相對(duì)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°），AB與AD的表示式（算理相同、結(jié)構(gòu)相同，僅斜率或某一坐標(biāo)不同）均保持相應(yīng)規(guī)律（算理）一致性. 因此，在由兩點(diǎn)間的距離公式（較適合“設(shè)點(diǎn)法”）或弦長(zhǎng)公式（較適合“設(shè)線法”）建立目標(biāo)函數(shù)模型的過(guò)程中，使用“同構(gòu)”和“同理”的方法可以實(shí)現(xiàn)“求一得二”的效果. 其二，基于拋物線平移2（AB+AD）的不變性，可將拋物線平移至圖2②或圖2③所示的位置優(yōu)化運(yùn)算.

上述三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

3. 思路探究

（1）建立目標(biāo)函數(shù)

思路1 “設(shè)線法”.

解法1 基于圖2①，設(shè)Aa，a2+，直線AB：y=k（x-a）+a2+，與拋物線y=x2+聯(lián)立，消除y并化簡(jiǎn)得x2-kx+ka-a2=0，其根為x，x，易得x=k-a. 由于矩形ABCD的頂點(diǎn)不能重合，因此x≠x，x≠x?k≠2a，所以k≠-. 由弦長(zhǎng)公式可得

基于圖2②，設(shè)A（a，a2），直線AB：y=k（x-a）+a2，與拋物線y=x2聯(lián)立，消除y并化簡(jiǎn)得x2-kx+ka-a2=0，其根為x，x. 其他同上，略.

基于圖2③——將圖2①中的拋物線y=x2+按=-a，-a2

-進(jìn)行平移，設(shè)A（0，0），拋物線為y+a2+=（x+a）2+，即y=x2+2ax. 直線AB：y=kx，與拋物線y=x2+2ax聯(lián)立，消除y并化簡(jiǎn)得x2+（2a-k）x=0，其根為x=0，x=k-2a. 其他同上，略.

基于圖2①為通法，圖2②、圖2③需理解向量平移的本質(zhì)及規(guī)律，通過(guò)批判性思維、遷移創(chuàng)新和靈活運(yùn)用，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

思路2 “設(shè)點(diǎn)法”.

4. 規(guī)范呈現(xiàn)

為指導(dǎo)學(xué)生審題、解題和作答，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，規(guī)范呈現(xiàn)解法1、解法3的解答過(guò)程（內(nèi)容略）.

5. 解題策略

基于波利亞在《怎樣解題》中提出的“理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案和回顧與反思”的解題策略，從學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、解題經(jīng)驗(yàn)著手，從宏觀目標(biāo)導(dǎo)向、中觀方案探究、微觀運(yùn)算優(yōu)化等角度審視解題思路;利用變換主元法、放縮消元法、整體代換法、導(dǎo)數(shù)法等方法技巧，以及數(shù)形結(jié)合、逆向思維、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想策略，對(duì)目標(biāo)函數(shù)變形求解.

教法學(xué)法

從學(xué)情分析出發(fā)，圍繞難點(diǎn)突破、解法溯源、過(guò)程優(yōu)化、合作探究、素養(yǎng)培養(yǎng)等核心點(diǎn)進(jìn)行闡述.

1. 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

立足學(xué)生認(rèn)知水平及答題難點(diǎn)等學(xué)情，通過(guò)三個(gè)問(wèn)題（見(jiàn)上述“審題分析”中的三個(gè)問(wèn)題內(nèi)容）引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)解決問(wèn)題的思維基本框架，先整體再局部，“見(jiàn)樹(shù)木”更“見(jiàn)森林”.

2. 難點(diǎn)突破

分析學(xué)生存在的問(wèn)題，針對(duì)解法難點(diǎn)和新增經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)（如“尖底鍋”圖象、絕對(duì)值三角形不等式、平移的不變性等），引導(dǎo)學(xué)生合作探究. 在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)詳細(xì)解析，提煉二級(jí)結(jié)論，促進(jìn)學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3. 解法溯源

基于拋物線平移前后的位置狀態(tài)，運(yùn)用代數(shù)（函數(shù)）方法處理矩形ABCD周長(zhǎng)雙變量函數(shù)最值問(wèn)題的策略豐富多樣. 基于解法溯源厘清各種思路，搞清楚問(wèn)題本質(zhì)和所學(xué)知識(shí)的關(guān)系，正本清源，條分縷析，進(jìn)一步優(yōu)化過(guò)程及方法，實(shí)現(xiàn)“多法歸一”，知識(shí)經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化.

反思評(píng)價(jià)

回顧解題過(guò)程，通過(guò)變式延伸，“再認(rèn)識(shí)”解題活動(dòng)，強(qiáng)化“元認(rèn)知”，深化知識(shí)理解，把握問(wèn)題本質(zhì)，提升解題能力.

1. 回顧解題過(guò)程

本題綜合運(yùn)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識(shí)求最值，入口寬、解法多，有難度且新穎. 試題的解決過(guò)程體現(xiàn)了常用的數(shù)學(xué)思想方法，以及解題技巧和工具，如變換主元法、放縮消元法、導(dǎo)數(shù)法和絕對(duì)值三角不等式等，考查學(xué)生必備知識(shí)（代數(shù)與幾何、函數(shù)等主線知識(shí)）、關(guān)鍵能力（邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)抽象能力、運(yùn)算求解能力、直觀想象能力等）、核心素養(yǎng)（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等）.

2. 變式延伸

以原題為源，深入挖掘并延伸題目，助力備考. 基于本題，可做如下變式拓展.

變式題1 （根據(jù)1998年上海競(jìng)賽題改編）本題（2）中，若將“矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上”改為“正方形ABCD的A，B，C三個(gè)頂點(diǎn)在W上”（其他條件不變），試求：（1）正方形ABCD面積的最小值;（2）·的最小值.

變式題2 （根據(jù)2023年廣州市高三二測(cè)試題改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義d（A，B）=

為A（x，y），B（x，y）兩點(diǎn)之間的“折線距離”（也叫曼哈頓距離）. 已知M是曲線y=上任意一點(diǎn)，N是直線y=-x+上任意一點(diǎn)，則d（M，N）的最小值為_(kāi)_____.

說(shuō)題策略

說(shuō)題活動(dòng)能有效、充分展現(xiàn)教師的學(xué)科專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)、教學(xué)組織和管理能力等. 高質(zhì)量的說(shuō)題活動(dòng)，遵循“四個(gè)視角”：從命題者的視角去理解數(shù)學(xué)題，從專(zhuān)業(yè)理論的視角去審視數(shù)學(xué)題，從學(xué)生解題的視角去講解數(shù)學(xué)題，從反思的視角批判和感悟解題過(guò)程. 同時(shí)，要反思日常教學(xué)：立足基礎(chǔ)，揭示本質(zhì)，強(qiáng)化聯(lián)系，挖掘思維，拓展延伸，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 洪夢(mèng)，吳立寶，王富英. 數(shù)學(xué)說(shuō)題的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（11）：58-63.

[2] 傅瑞琦. 說(shuō)題，讓主題教研更精彩：一次教師說(shuō)題主題教研活動(dòng)的策劃、組織與思考[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（5）：45-48.

[3] 衛(wèi)小國(guó)，王進(jìn)軍. 核心素養(yǎng)整體觀下的說(shuō)題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（1）：83-86.

作者簡(jiǎn)介：吳光潮（1979—），中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.