核心素養背景下求解探究性問題的方法研究

[摘 要] 探究性問題在近年高考中出現的頻率越來越高，它對學生的視野、思維有著較高要求，是考核學生數學學科核心素養的重要手段之一. 文章認為：嘗試與猜想是解決探究性問題的基礎;聯想是解決探究性問題的核心;轉換是解決探究性問題的根本;對比與判斷是解決探究性問題的靈魂.

[關鍵詞] 核心素養;探究性問題;解決方法

在以學科核心素養為教學目標的大環境下，高中數學教學倡導以不同形式的學習與探究活動來激發學生的學習興趣，讓學生體會知識形成與發展的過程. 數學探究性問題在這種背景下出現的頻率越來越高. 探究性問題是指通過對事物發展規律的探索，揭露其產生的因果關系與本質的問題. 縱覽近年高考試題，探究性問題涵蓋了數列、函數、三角與幾何等多個分支，給學生思維帶來了挑戰.

嘗試與猜想是解決探究性問題的基礎

探究性問題一般都沒有明確的解決方向，學生遇到這一類問題時，最好的解決策略就是從嘗試開始，如特殊值的應用或特殊化的嘗試等，從中初步獲得猜想，而后對猜想進行分析驗證.

例1 已知{a}為一個等差數列，q為等比數列{b}的公比，且a=b，a=b≠a，將S記為數列{b}的前n項和.

（1）如果a=b，且m，k為大于2的正整數，證明：S=a（m-1）;

（2）如果b=a（i為正整數），證明：q為整數，同時數列{b}的每項均為數列{a}中的項.

（3）有沒有正數q能讓等比數列{b}中的三項為等差數列？若有，請寫出一個q值，并證明;若無，請說明理由.

解析 問題（1）（2）略.

關于問題（3），其求解關鍵在于探尋等比數列{b}中的某三項為等差數列. 學生初見此題，確實沒有明確的解決方向，最好的辦法就是“嘗試法”，可快速發現解題端倪.

嘗試1：分析數列{b}的前三項，即若b，b，b為等差數列，則2b=b+b，2bq=b（1+q2）. 根據b≠0，可知q=1. 結合題設條件不難獲得“d≠0，且q≠1”，這與“q=1”是矛盾的，由此確定b，b，b并非等差數列.

嘗試2：若b，b，b為等差數列，就有2b=b+b，2bq=b（q3+1），2q=q3+1.因為q≠1，所以q不會是整數. 此處可鼓勵學生畫草圖進行分析. 學生在畫圖過程中會發現y=2q-1（q>0）與y=q3（q>0）有兩個交點，也就是說方程2q=1+q3（q>0）存在兩個解，分別為q1=1與q2（0<q2<1），由此猜想：q極可能為黃金分割比，也就是q=. 驗證發現：在q=時，q3+1-2q=q（q2-2）+1=+1=0. 基于此，確定存在正數q，可讓等比數列{b}中的三項為等差數列.

評析 兩輪嘗試后，初步猜想得到驗證，問題得以解決. 如果第二次嘗試失敗，那么可取{bn}的第1項、第3項、第5項或第2項、第3項、第5項進行嘗試. 其實本題還可以從“試根”的角度對q3-2q+1進行因式分解，得到q=，但這種解法超出了一般學生的思維范疇，不提倡.

通過本例不難看出，編題者對新課標理念的研究是非常透徹的，將數學美（黃金分割比）與探究靈活性展現得淋漓盡致. 對該探究性問題的思考，充分體現了學習能力與思維水平.

回顧此題的探究過程，因沒有明確的探究方向，故采用“試一試”的方法去探索. 類似于此的特殊化嘗試與猜想，如賦予特殊值、選擇特殊點或特殊函數等，是分析探究性問題的重要渠道基礎.

聯想是解決探究性問題的核心

若探究性問題多次嘗試無果，則需及時分析原因，轉換思維，避免固執己見. 根據題設條件進行聯想與轉換是解決探究性問題的重要方法之一.

例2 若函數f（x）=于[-λ，λ]（λ>0）上的最大值是N，最小值是n，則N+n=______.

解析 此題是一道高三復習題，學生提出如下兩種思路.

思路1：鑒于這是一道填空題，學生首先想到的是取特殊值，如x=0，x=，x=π進行計算，實踐發現這些特殊值并不能明確最值N，n，這種方法失敗.

思路2：借助導數對函數的單調性進行判斷，實踐發現求導過程異常繁雜，無法順利獲得f′（x）=0的值x.

至此，這兩種思路均宣告失敗，于是轉換思維方向：分析分子、分母的結構，發現可通過常數分離，結合函數奇偶性與單調性求得函數最值.即=1-. 因為y=sinx是奇函數，所以g（x）=也是奇函數. 根據奇函數的性質g（-x）=-g（x），得g（x）+g（x）=0，而g（x）=1-f（x），所以1-N+（1-n）=0，即N+n=2.

評析 所謂的聯想是指根據某事物而想到其他相關事物的過程，因此聯想是聯結新舊知識的重要方式之一. 當遇到探究性問題時，若結合已知與未知之間的聯系產生聯想，可實現知識的正遷移，將未知問題轉化成學生認知領域內的已知問題，從而順利解決.

聯想存在接近和對立兩大類，學生兩次嘗試失敗后，聯想到最值與奇偶性、單調性的相近性，最終成功解決了問題.

轉換是解決探究性問題的根本

轉換在數學中的應用較多，最常見的是當問題中出現兩種標準量時，無法判別它們之間存在怎樣的數量關系，則可以根據標準量之間的內在聯系，將它們轉化成統一的標準單位，即將復雜關系轉換成簡單關系，為解題服務. 高中階段的數學轉換包含數形轉換、邏輯轉換等，這是解決探究性問題的根本，它能讓復雜問題簡單化.

例3 若函數f（x）位于區間（-1，1）中，且f

的值為-1，當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f

，已知數列{a}滿足a=，a=.

（1）證明：f（x）于區間（-1，1）中為奇函數;

（2）f（a）的表達式是什么？

解析 遇到此類抽象的函數探究性問題時，常采用賦值法來分析. 以下為幾位學生的解題思路.

（1）賦值法：令x=y=0，則f（0）=0;令x=0，則f（-y）=-f（y），即f（-x）= -f（x），確證.

（2）根據遞推關系a=，求出{a}的通項公式而獲得f（a）的表達式，具體嘗試如下.

方法1：取倒數進行分析，即=+，失敗告終.

方法2：取特殊值進行分析，如取a=，a=，a=，這組數據沒有規律，學生思維卡殼.

為了啟發學生的思維，教師帶領學生反思：以上兩種方法均為了發現a與a之間的關系，而本題的解題任務是獲得f（a）的表達式，故探索a與a之間的關系就不是必不可少的環節，再觀察條件f（x）-f（y）=f

，可考慮從賦值角度進行分析.

方法3：將x=a，y=a代入f（x）-f（y）=f

，可得f（a）-f（a）=f. 又f=…=f（a），所以f（a）-f（a）=f（a），即f（a）=2f（a）. 由此確定{f（a）}是一個公比為2的等比數列，則f（a）= -2n-1. 解題成功！

評析 所謂的轉換就是換一個角度來思考與分析問題，高中階段常用的數學轉換包括逆向、數形和邏輯轉換. 此例中，第（1）問的賦值法是學生熟悉的，而第（2）問的賦值法則難以想到，因此需要轉換思維.

對比與判斷是解決探究性問題的靈魂

核心素養背景下的解題講究簡潔、明了，同一道題的解法有多種，究竟哪種更便利，錯誤率更低呢？這就需要應用到對比與判斷手法，不斷優化解題思路，提升解題技巧，發展學力.

例4 如圖1所示，已知平面直角坐標系xOy中存在兩個圓，分別為圓C：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C：（x-4）2+（y-5）2=4.

假設點P是該平面上的一點，且滿足：過點P的無窮多對互相垂直的直線l，l，分別和圓C，C成相交的關系，已知直線l被圓C截得的弦長與直線l被圓C截得的弦長相等，請寫出滿足條件的所有點P的坐標.

解析 乍眼一看，本題的點P無跡可尋，究竟該如何獲得它的坐標呢？

思路1：特殊化法.將圓心C，C連接起來，鑒于兩圓半徑相同，過點P的兩條直線分別截得兩圓的弦長相等，由此猜想點P有可能位于CC的垂直平分線上.

根據題設條件明確直線l1，l2為互相垂直的關系，因此可假設直線方程，但截距式與一般式都不合適.

思路2：設兩點式.假設有一條直線過兩點（x，y），（x，y），且點P位于該直線上，結合垂直關系，可用四個參數表示另一條直線，但運算復雜.

思路3：設斜截式. 假設l：y=kx+b，則l：y=-x+b，根據條件“截得的弦長相等”，輕易獲得b，b，k之間的關系式，但求b，b需聯立方程組.

思路4：設點斜式. 設點P（m，n），則l：y-n=k（x-m），l：y-n=-（x-m），即x+ky-m-nk=0. 根據條件“截得的弦長相等”，獲得m，n，k之間的關系式為=（*）.

思路5：平面幾何法.弦長相等與半徑相等?PC=PC?點P位于線段CC的垂直平分線上;l⊥l?PC⊥PC?△PCC為一個等腰直角三角形. 聯立方程組可得P，P，同時四邊形PCPC為正方形.

評析 思路1是一個大致的解題方向，想要求解還需從一般方法著手. 思路2涉及多個參數，運算復雜. 思路3需要聯立方程組，運算繁雜，不易成功. 思路4中，若能發現式子（?）中的k是變量，m，n為常數，便可將問題轉化成一個恒成立的問題，獲得m，n之間的關系式，這是一種相對簡單的解題思路. 根據式子（*），得（m-n+8）k=m+n-5或（2-m-n）k=m-n-3，由于關于k的方程有無窮多個解，因此2-m-n=0，

. 思路5在思路1的基礎上，結合平面幾何來分析，屬于數形轉換.

此題以兩圓為背景，以對比的方式探究點P的坐標，獲得了一個等腰直角三角形與一個正方形，構成了一幅對稱的幾何圖形. 此題展示了數學的獨特魅力：設“元”的差異性導致運算量不同，凸顯其在解決探究性問題中的關鍵作用.

例5 已知數列{a}中的a=-1，a=2a+3n-3（n∈N*）.

（1）證明：{a+3n}是一個等比數列;

（2）數列{a}的前n項和S的值是多少？

（3）若b=，分析有沒有實數k，可讓數列{b}成為一個等差數列？若有，分析k值;若無，說明理由.

解析 問題（1）（2）略.

關于問題（3），把式子S=2n+1-2-代入b=，整理得b=，而后從如下幾種思路去分析.

思路1：設有實數k可讓數列{b}成為一個等差數列，則有b-b=-. 面對該式，沒有學生愿意繼續往下計算，失敗告終！

思路2：特殊化法. 分別將n=1，2， 3代入b，但冗長繁雜的運算使學生望而卻步. 即使有少部分學生按照這種思路解題，正確率也很低.

思路3：從結論出發去分析——既然常數k滿足{b}為等差數列，則可確定數列{b}的通項公式b=-3n-3+為關于n的一次函數，所以必然等于0. 又2n+1-2是變化的，所以2-k=0，k=2. 驗證發現，當k=2時，b=-3n-3，b-b=-3是常數，結論成立.

評析 數學解題以簡潔美優先，前兩種解題思路因為冗長的計算量而宣告失敗. 面對這樣的問題，我們需要轉換視角來分析，那么解題就會變得簡潔明了.

例4與例5的解題思路存在顯著差異，不同方法導致解題過程大相徑庭. 實踐證明，通過對比來優化解題路徑是提升解題效率，優化解題思維的重要方法. 正如龐加萊所言：創造的核心在于甄別與選擇.

總之，核心素養引導數學教學重視探究性思維. 教師應帶領學生開闊視野，探尋解題方法，締造數學美.

作者簡介：袁海勇（1980—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.