關于高中函數相關習題的解題分析

【摘要】函數題在高中數學習題中占比較大，解法較多，呈現一定的規律性.當前高考命題中，在函數習題方面，注重考查學生解題過程中的創新性思維與自主性思維.本文以具體的函數習題為例進行解題分析，在不同的解法中探析高中數學函數知識，以提升學生函數解題效率.

【關鍵詞】高中數學；函數；解題技巧

在高中函數習題解答過程中，教師應當引導學生加強對函數知識點的深入理解，從多個角度探討解題方法，實現數學解題思維的拓展[1].為此在解題過程中，應當構建完備的函數知識網絡，在解題實踐中運用不同的解題技巧，結合題目中函數的具體特點，發散思維，尋找最為適宜的解題方法，提升函數習題解題效率.在解題過程中，多思考，多總結，在實踐中培養多元化解題能力[2].

例1 已知函數f（x）=x2+（x－1）x－a．

（1）如果a=－1，求解方程f（x）=1；

（2）如果函數f（x）在R上單調遞增，那么實數a的取值范圍是 ；

（3）如果a＜1，同時不等式f（x）≥2x－3對一切實數x∈R恒成立，那么a的取值范圍是 .

解析 （1）在a=－1的情況下，

f（x）=x2+（x－1）x+1，

因此得出f（x）=2x2－1，x≥－1，1，x<－1，

在x≥—1的情況下，結合f（x）=1，得出2x2－1=1，

因此有x=1，或x=－1．

在x＜—1的情況下，f（x）=1恒成立．

所以方程的解集是{x|x≤—1或x=1}．

（2）f（x）=2x2－（a+1）x+a，x≥a，（a+1）x－a，x<a，

如果f（x）在R上單調遞增，

那么得出a+14≤a，a+1>0，有a≥13，

因此在a≥13情況下，f（x）在R上單調遞增．

（3）若g（x）=f（x）－（2x－3），

可得g（x）=2x2－（a+3）x+a+3，x≥a，（a－1）x－a+3，x<a，

不等式f（x）≥2x－3對一切實數x∈R恒成立，

則不等式ga+34=a+3－（a+3）28≥0對一切實數x∈R恒成立．

由于a＜1，

因此當x∈－∞，a時，g（x）單調遞減，

g（x）的值域是a2－2a+3，+∞，

由于a2－2a+3=（a－1）2+2≥2，

因此g（x）≥0成立．

在x∈a，+∞的情況下，結合a＜1，得出a＜a+34，g（x）在x=a+34處取得最小值，

若ga+34=a+3－（a+3）28≥0，

得出—3≤a≤5，同時a＜1，

所以—3≤a＜1．

因此，a∈[—3，1）．

小結 對于含有絕對值的函數，根據絕對值的定義，將含有絕對值的函數轉化為分段函數的形式，分別求解每一段的函數值與不等式.在分析函數的單調性時，分別考慮函數在不同區間的單調性，并結合單調性的條件，得出參數的取值范圍.在解決不等式問題時，利用不等式的性質，將不等式轉化為易于求解的形式，并結合題目給出的條件，求解參數的取值范圍.在解題過程中，注意函數的定義域，在求解過程中應不超出函數的定義域范圍[3].

例2 若有函數f（x）=x2－1，g（x）=a|x－1|．

（1）如果函數h（x）=f（x）－g（x）只有一個零點，那么實數a的取值范圍是多少？

（2）在a≥—3的情況下，函數h（x）=f（x）+g（x）在區間－2，2上的最大值是多少？

解 （1）h（x）=|f（x）|—g（x）只有一個零點，

即h（x）=|f（x）|—g（x）=|x2—1|—a|x—1|只有一個零點，

顯然x=1為函數的零點，

得出|x+1|—a=0無實數根，

因此有a＜VMv/rg419AarINUyJ08crLUXcsslXy57chr8UX9NXCg=0.

（2）h（x）=|f（x）|+g（x）

=|x2—1|+a|x—1|

=x2+ax－a－1，1≤x≤2，－x2－ax+a+1，－1<x<1，x2－ax+a－1，－2≤x≤－1，

在1＜x≤2的情況下，

因為a≥—3，得出—a2≤32，

因此，當x=2時，h（x）的最大值是：h（2）=a+3；

在—2≤x＜—1的情況下，a2≥—32，

在x=-2時，h（x）的最大值是：h（—2）=3a+3；

在—1≤x≤1的情況下，

h（x）的最大值為：

max{h（—1），h（1），h（—a2）}=max{2a，0，14a2+a+1}=14a2+a+1，

因此得出函數h（x）最大值是

h（a）=a+3，－3≤a≤0，3a+3，0<x<4+26，14a2+a+1，a>4+26.

小結 對于涉及絕對值的函數問題，無疑是數學領域中一個既具挑戰性又充滿趣味性的課題.在處理含絕對值的函數問題時，可根據絕對值的性質，將原函數拆分為若干個分段函數.在將函數拆分為分段函數后，針對每個分段函數進行詳細的求解，分別求解每個分段函數的零點，并判斷零點是否滿足原函數的定義域.而對于函數最值問題，則分別求解每個分段函數的最值，并比較這些最值以確定原函數的最值.在求解過程中，注意分析參數的取值范圍對解或最值的影響.參數的取值范圍會改變分段函數的性質，進而影響原函數的解或最值.因此，需要對參數的取值范圍進行仔細的分析[4].

結語

高中函數題目類型多樣，在解題過程中可以構建多元化的解題思維，結合相關函數知識，從不同的思維角度入

手從而順利解題.面對不同的數學習題，多開動腦筋，在實踐中拓展解題思維，創新解題策略，提升函數相關習題的解題效率.

參考文獻：

[1]李健.變式教學在高中數學結構化組織中的實踐探索——以“函數”的高三復習課設計為例[J].數學通報，2023，62（05）：12-16.

[2]韓龍淑，柳瓔乃，李露.高中數學新人教A版“函數的零點與方程的解”的變化與教學建議[J].教學與管理，2023（15）：66-69.

[3]張曉斌，米新生，陳昌浩，等.高中數學“函數的概念與性質”主題內容教學探究[J].教學與管理，2022（30）：87-90.

[4]劉綠芹.學業述評的價值意蘊與實施路徑——以普通高中數學“函數y=Asin（ωx+？）”為例[J].基礎教育課程，2021（11）：65-71.