多知識點融合考查的趨勢

【摘要】2024年高考試題發生了很多的變化，特別是新課標卷，其中非常明顯的是題量的減少.題量在由原來的22道減少到19道的情況下，而考查的知識點和知識范圍并沒有減少，這就必然出現一題考查多個知識點的情況，如新課標Ⅱ卷16題和19題.本文以2024年新課標Ⅱ卷16題為基礎，分析思考新高考多知識點融合趨勢，并進一步提出應對相關復習的策略.

【關鍵詞】新課標；高中數學；解題技巧

今年高考已過，但余溫未了，縱觀幾年高考，年年都有變化，今年變化也特別大，尤其是有新的省份加入使用的新課標卷，其中印象深刻的是題量的變化，多選題、填空題和解答題在原來基礎上各減少一道題.題目數量減少了，但考查知識點未減少，所以很多題目均出現一題考查多個知識點的情況，或者一問考查多個知識點形式，如新課標Ⅱ卷16題的第二問，考查了函數求導、求函數極值和利用導數解不等式等知識點，而19題則直接將數列融入圓錐曲線當中進行考查.本文就多知識點融合考查的問題，以2024年新課標Ⅱ卷的16題為例進行分析思考，并提出相關復習策略.

1 真題分析及思考

例1（節選） 已知函數fx=ex－ax－a3.若fx有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.

解析 由已知，函數fx的定義域為R.對函數求導得f′x=ex－a，令f ′x>0，即ex－a>0.

①當a≤0時，函數fx在R上單調遞增，則無極值；

②當a>0時，由ex－a>0解得x>lna，則函數fx在lna，+∞上單調遞增，在（－∞，lna）上單調遞減，所以此時函數fx在x=lna處取得極小值，為flna=a－alna－a3.

由已知，當a>0時，要求不等式flna=a－alna－a3<0的解.因為a>0，則可設函數ga=1－lna－a2a>0，對函數ga求導得g ′a=－1a－2a，因為a>0，則g ′a=－1a－2a<0，所以函數ga在0，+∞上單調遞減.又因為g1=1－ln1－12=0，所以ga=1－lna－a2<0時，其解為1，+∞.故當函數fx=ex－ax－a3的極小值小于0時，a的取值范圍為1，+∞.

評注 該題是在函數知識情境下，具體考查函數求導、函數極值、函數單調性和不等式的解法.本題一般的解答思想步驟是：一是求出函數的定義域；二是對函數求導，并由導函數的符號判斷單調性；三是結合函數的單調性求出函數的極值；四是根據函數的單調性解不等式.從往年的高考情況來看，多知識點的融合考查也有，但一般出現在小題中，像今年一樣出現在大題的情況很少，該題把函數的單調性、極值和解不等式有機融合考查實屬少見，究其原因，其實非常明顯，要想在19個題量的前提下，盡可能的考查到所有的知識，則必須進行多個知識點的融合.在未來的新課程、新高考和新課標下，多知識點融合考查將會是一種發展趨勢，不光是學科內同一知識點融合考查，還有多知識點的融合考查，以及數學知識點與物理、化學的跨學科融合，更甚至是跨學段知識點的融合考查等情況.

2 高考備考復習策略

根據前面的分析與思考，發現未來高考會出現多知識點融合考查，即同一知識點的融合考查、多知識點的融合考查、數學知識點與物理或化學的跨學科融合考查和高中知識與大學的跨學段知識點的融合考查等情況，這將會是一種發展趨勢.所以在備考復習中，應注意：一是鞏固基礎，對所學知識進行熟練掌握，才能靈活應用知識，才能處理好多知識點融合問題；二是提升解決數學問題的基本技能，基本技能是處理知識的手段，掌握的基本技能越多，處理問題就越熟練；三是清楚高中數學六大核心素養以及落實形式，每一道題均必需落實考查數學核心素養；四是明確題目情境模式，“無情境不命題”，情境是題目存在的依據.下面具體看看多知識點融合的題型的分析及解答.

例2 已知一元二次不等式x2－4x+c<0的解集為x|n<x<2m0<n<2m，求18m+4n的最小值.

解析 已知一元二次不等式x2－4x+c<0的解集為x|n<x<2m0<n<2m，

所以2m和n是一元二次方程x2－4x+c=0的兩根，則有2m+n=4.

因為2m>0，n>0，則有m2+n4=1，

所以18m+4n=18m+4n×1=18m+4n×m2+n4=10+9n2m+2mn≥10+29n2m·2mn=10+6=16.

當9n2m=2mn，即m=32n時，取得等號.又m2+n4=1，解得m=32，n=1.

所以當一元二次不等式x2－4x+c<0的解集為x|n<x<2m0<n<2m時，18m+4n的最小值為16，此時m=32，n=1.

評注 該題是在一元二次不等式知識情境下，具體考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數的關系和基本不等式的應用，同時考查了數學抽象、數學運算和直觀想象等數學核心素養.題目解題思路為：先理解一元二次不等式的解集，解集的端點即為對應一元二次方程的根；其次根據一元二次方程的根與系數的關系得到2m+n=4；然后就是純粹解決基本不等式應用問題.題目將數學學科中的一元二次不等式、一元二次方程與基本不等式等多個知識點進行融合考查，解題時既要清楚一元二次不等式的解法，又要明白一元二次方程的相關知識，更要能具有利用基本不等式求最值的基本技能.

3 結語

今年高考給我們帶來了很多的變化，如新課標Ⅱ卷16題第二問融合了函數單調性、函數極值和解不等式，19題則把數列問題融入到了圓錐曲線問題當中，均讓人眼前一亮.在以往的解答題的考查當中，出現這樣的融合情況很少，基本上是單一知識點的考查，如立體幾何第一問基本上就是證明平行或者垂直.根據今年新課標Ⅱ卷的情況分析，結合實際情況，可以確定今后這樣的高考命題將會是一種趨勢變化.本文根據這些實際情況從2024年新課標Ⅱ卷16題出發，對其進行分析解答，由此產生思考發現知識點融合可能為：學科內部知識點融合、跨學科知識點融合和跨學段知識點融合，本文從學科內部知識點融合進行舉例分析，闡述解題思想方法，以一概全.最后延伸到復習備考中，并提出幾點小建議.

參考文獻：

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