基于高考真題研究 探尋高考命題方向

摘要：以高考真題為研究對象，有的放矢地進(jìn)行高考復(fù)習(xí)是教學(xué)中的重點(diǎn).本文以高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”為例，精選近幾年高考真題進(jìn)行分析研究，探尋高考命題方向，把握重要考點(diǎn)，并提出高考復(fù)習(xí)建議，以期夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞：真題研究；命題方向；教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）實(shí)施以來，如何科學(xué)備戰(zhàn)新高考是當(dāng)前教師需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容.教學(xué)中應(yīng)以“一核、四層、四翼”的高考評價(jià)體系為指導(dǎo)，并以新課標(biāo)規(guī)定的新高考試卷的考試范圍為重點(diǎn)，剖析高考典型例題，以考情為目標(biāo)，探尋高考命題方向，注重對學(xué)科知識(shí)的深入理解與靈活運(yùn)用，注重問題性、真實(shí)性、探究性的任務(wù)情境設(shè)置，注重對學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).本文以“函數(shù)的概念與性質(zhì)”為例，在研究高考真題的基礎(chǔ)上，探尋高考命題方向，把握核心考點(diǎn)，提升學(xué)生的能力和核心素養(yǎng).

1探尋命題方向：考查函數(shù)的相關(guān)概念

例1（2023年全國新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則（）.

A. f（0）=0

B. f（1）=0

C. f（x）是偶函數(shù)

D. x=0為f（x）的極小值點(diǎn)

思路分析：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于取特殊值.對于選項(xiàng)A、B，求當(dāng)x=0，x=1時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值，只需要令x=y=0，x=y=1，代入f（xy）=y2f（x）+x2f（y）中計(jì)算即可求得函數(shù)f（x）的值.對于選項(xiàng)C，要證f（x）是偶函數(shù)，即證f（-x）=f（x），通過取特殊值，先求出f（-1）=0，再經(jīng)過變形求得目標(biāo)式.對于選項(xiàng)D，取滿足條件的特殊函數(shù)f（x）=0即可判斷.

解答過程：選項(xiàng)A，令x=y=0，則f（0）=0×f（0）+0×f（0），則f（0）=0，故A正確.

選項(xiàng)B，令x=y=1，則f（1）=1×f（1）+1×f（1），則f（1）=0，故B正確.

選項(xiàng)C，令x=y=-1，則f（1）=（-1）2×f（-1）+（-1）2×f（-1），則f（-1）=0.

再令y=-1，則f（-x）=（-1）2f（x）+x2·f（-1），即f（-x）=f（x），故C正確.

選項(xiàng)D，不妨設(shè)f（x）=0為常函數(shù)，且滿足原函數(shù)f（xy）=y2f（x）+x2f（y），常函數(shù)沒有極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

回顧與反思：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).函數(shù)可以理解為兩個(gè)集合的對應(yīng)關(guān)系或映射.對應(yīng)法則、定義域、值域是函數(shù)的三要素，其中起決定作用的是對應(yīng)法則和定義域.函數(shù)的表示法有解析法、列表法與圖象法，其中解析法是最基本、最重要的方法，按分類的方法不同，函數(shù)的類型各異.結(jié)合近年的高考試題來看，主要的考點(diǎn)有求函數(shù)的定義域和值域以及求函數(shù)的解析式.函數(shù)的定義域是討論函數(shù)性質(zhì)的前提，值域表明了函數(shù)值的取值范圍，它們都是函數(shù)最基本的要素，解析式是函數(shù)的表示方法里最重要的一種，使得函數(shù)形式化、顯性化.

教學(xué)建議：在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，首要任務(wù)是立足教材，圍繞核心概念重構(gòu)函數(shù)的知識(shí)體系，讓學(xué)生查漏補(bǔ)缺，將知識(shí)條理化、完整化、系統(tǒng)化.教師結(jié)合重要考點(diǎn)有針對性地選擇模擬試題和真題，讓學(xué)生在有效的訓(xùn)練中加深對知識(shí)的理解，提升綜合運(yùn)用能力和思維能力.

2探尋命題方向：考查函數(shù)的性質(zhì)

例2（2019年浙江卷）已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x，x<0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0，若函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（）.

A. a<-1，b<0

B. a<-1，b>0

C. a>-1，b<0

D. a>-1，b>0

思路分析：本題主要考查判斷分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，需要對x和參數(shù)a的范圍進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)圖象的簡圖.在求解時(shí)，首先對x分段討論，當(dāng)x<0時(shí)，所求的方程是關(guān)于x的一元一次方程，最多只有一個(gè)解，所以函數(shù)y=f（x）-ax-b最多只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）-ax-b=13x3-12（a+1）x2-b是一個(gè)三次函數(shù)，因此需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，又導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)a，則需進(jìn)一步對a進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性畫出簡圖.

解答過程：由題意可知，當(dāng)x<0時(shí)，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b=0，當(dāng)a=1時(shí)，y=-b，若b=0顯然不符合題意，若b≠0，則無零點(diǎn)；當(dāng)a≠1時(shí)，解得x=b1-a，所以y=f（x）-ax-b最多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x≥0時(shí)，y=f（x）-ax-b=13x3-12（a+1）x2+ax-ax-b=13x3-12（a+1）x2-b，所以y′=x2-（a+1）x.

當(dāng)a+1≤0時(shí)，即a≤-1時(shí)，y′≥0，y=f（x）-ax-b在［0，+∞）上單調(diào)遞增，y=f（x）-ax-b最多一個(gè)零點(diǎn).不符合題意.

當(dāng)a+1>0，即a>-1時(shí)，令y′>0，解得x∈［a+1，+∞），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；令y′<0，解得x∈［0，a+1），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)最多有兩個(gè)零點(diǎn).

如圖1所示，要使函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有三個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）-ax-b在（-∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在［0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn).

所以x=b1-a<0，

-b>0，

13（a+1）3-12（a+1）2-b<0.

解得b<0，

-1<a<1.故答案為C.

回顧與反思：函數(shù)的性質(zhì)主要有奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、連續(xù)性等，是高考中的重要考點(diǎn)之一，結(jié)合近年的高考試題可以看出，其主要考查方式有判斷分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，滲透分類討論思想，要求學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，有時(shí)輔以圖象，考查學(xué)生對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用.運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，解決新定義型函數(shù)問題重在考查學(xué)生的遷移能力和創(chuàng)新能力.利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性等性質(zhì)解決函數(shù)綜合性問題往往是壓軸題，綜合考查導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等知識(shí)，難度大，對學(xué)生的能力提出了更高的要求，是拉分題.

教學(xué)建議：在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，函數(shù)性質(zhì)作為函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，教師不僅要回歸教材，梳理知識(shí)，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)來龍去脈、具體含義，同時(shí)要增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)的意識(shí).以函數(shù)的單調(diào)性為例，教師可以從三個(gè)方面來復(fù)習(xí).①什么是函數(shù)的單調(diào)性.通過回歸教材，落實(shí)概念的學(xué)習(xí).②如何判斷和證明一個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.這是綜合性問題，主要是利用單調(diào)性的定義、基本初等函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷和證明.③函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有哪些.主要的應(yīng)用是求函數(shù)的最值，此外還有不等式、比較大小等問題.通過追根溯源的方式，多角度展開復(fù)習(xí)，提升學(xué)生對知識(shí)的理解能力和綜合應(yīng)用能力.

3探尋命題方向：考查利用圖象變換等方法解決函數(shù)問題

例3（2021年浙江卷）已知函數(shù)f（x）=x2+14，g（x）=sinx，則圖象為如圖2所示的函數(shù)可能是（）.

A. y=f（x）+g（x）-14

B. y=f（x）-g（x）-14

C. y=f（x）g（x）

D. y=f（x）g（x）

思路分析：本題根據(jù)圖象確定函數(shù)解析式，采用排除法，首先由圖象判斷出該復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù)，然后根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷每個(gè)選項(xiàng)解析式的奇偶性，選項(xiàng)A、B的解析式直接根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）=-f（-x）進(jìn)行判斷.選項(xiàng)C的解析式，借助導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以排除C，因此選擇D選項(xiàng)，從而避免了選項(xiàng)D中的分式函數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算過程.

解答過程：由圖2可知，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù).

因?yàn)閒（x）=x2+14為偶函數(shù)，g（x）=sinx為奇函數(shù).

所以函數(shù)y=f（x）+g（x）-14=x2+sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

所以函數(shù)y=f（x）-g（x）-14=x2-sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

函數(shù)y=f（x）g（x）=x2+14sinx，y′=2xsinx+x2+14cosx>0對x∈0，π4恒成立，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，由排除法，故選D.

回顧與反思：函數(shù)圖象是對函數(shù)關(guān)系的一種直觀、形象的表示，是函數(shù)整體性質(zhì)的一種幾何呈現(xiàn)方式，通過圖象可以更直觀地了解函數(shù)的特點(diǎn)，如奇偶性、對稱性、極值點(diǎn)以及周期性等，有利于學(xué)生的理解和應(yīng)用.涉及的考點(diǎn)有函數(shù)圖象及圖象變換.

教學(xué)建議：在高考復(fù)習(xí)中，要求學(xué)生熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象以及圖象的平移變換、對稱變換、伸縮變換，在訓(xùn)練中強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn).①作圖.應(yīng)注意在定義域內(nèi)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)選取關(guān)鍵的一部分點(diǎn).②識(shí)圖.在觀察分析圖象時(shí)，要注意到圖象的分布及變化趨勢，以及解析式與圖象的關(guān)系.③用圖.函數(shù)的圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，充分利用圖象提供的信息可以研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等問題，利用函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)及不等式的解集等.

4探尋命題方向：考查函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題

例4（2020年上海卷）在研究某市交通情況時(shí)，道路密度是指該路段上一定時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時(shí)間，車輛密度是該路段一定時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為v=qx，x為道路密度，q為車輛密度，交通流量v=f（x）=100-135·1380x，0&lt;x<40，

-k（x-40）+85，40≤x≤80.

（1）若交通流量v>95，求道路密度x的取值范圍.

（2）已知道路密度x=80時(shí)，測得交通流量v=50，求車輛密度q的最大值.

思路分析：第（1）問，由于是分段函數(shù)，需要在不同的定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論.另外，結(jié)合實(shí)際的情況，需要對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，這是學(xué)生容易忽視的.第（2）問，其本質(zhì)是利用函數(shù)的單調(diào)性求分段函數(shù)的最大值，進(jìn)一步細(xì)化問題，即是求復(fù)合指數(shù)函數(shù)的最大值和二次函數(shù)的最大值，結(jié)合具體的知識(shí)不難解出.

解題過程：（1）按實(shí)際情況而言，交通流量v隨著道路密度x的增大而減小，故v=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，所以k>0.

當(dāng)40≤x≤80時(shí)，v的最大值為85，不符合題意.

當(dāng)0<x<40時(shí)，由100-135·1380x>95，解得x<803.所以x∈0，803.

綜上所述，道路密度x的取值范圍為0，803.

（2）把x=80，v=50代入v=f（x）=-k（x-40）+85中，得50=-k×40+85，解得k=78.所以q=vx=100x-135·1380xx，0<x<40，

-78（x-40）x+85x，40≤x≤80.

當(dāng)0<x<40時(shí)，v=100-135·1380x<100，q=vx<4000.

當(dāng)40≤x≤80時(shí)，q=-78x2+120x，q′=-74x+120.

當(dāng)q′>0時(shí)，40≤x<4807，此時(shí)q=-78x2+120x為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)q′≤0時(shí)，4807≤x≤80，此時(shí)q=-78x2+120x為單調(diào)遞減函數(shù).

當(dāng)x=4807時(shí)，q有最大值，qmax=-78×48072+120×4807=288007>4000.

綜上所述，車輛密度q的最大值為288007.

回顧與反思：函數(shù)是數(shù)學(xué)建模的核心概念，也是解決實(shí)際問題的重要工具.函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用一直以來都是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，通過設(shè)置情境化試題，要求學(xué)生在新穎或陌生的情境中主動(dòng)思考，獲取有效信息，分析新問題，并與所學(xué)的知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，遷移應(yīng)用，解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新能力.

教學(xué)建議：盡管考題的形式千變?nèi)f化，考點(diǎn)卻始終不變，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師要以不變應(yīng)萬變，讓學(xué)生熟練掌握函數(shù)的概念與性質(zhì)這些核心知識(shí)點(diǎn)，然后引導(dǎo)學(xué)生面對各種新情境要精準(zhǔn)審題，提取有用的信息，并有效關(guān)聯(lián)所學(xué)的知識(shí)，順利實(shí)現(xiàn)遷移應(yīng)用.

5結(jié)語

從對近年的高考試題分布來看，重要的考點(diǎn)是函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的圖象、分段函數(shù)、函數(shù)與方程有關(guān)零點(diǎn)問題等.從函數(shù)考查情況來看，試題中規(guī)中矩，這與考綱相符合沒有偏、難、怪試題.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要回歸教材，重視基礎(chǔ)知識(shí)，重視基本技能的培養(yǎng).在訓(xùn)練中，從偏基礎(chǔ)性題目開始，循序漸進(jìn)，過渡到綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性題型，重在函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的滲透，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).