借“圖”分析分層建模

【摘要】數(shù)形結(jié)合是一種有效的數(shù)學(xué)思考方式，可以幫助學(xué)生更直觀地理解和解決問題，也能夠幫助學(xué)生建立不同的解題模型，適應(yīng)不同難度的題目，提高數(shù)學(xué)思維能力。因此，在教學(xué)中，應(yīng)該注重數(shù)形結(jié)合思想的滲透和應(yīng)用，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受到數(shù)學(xué)的樂趣和魅力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)射線；四舍五入；建模；數(shù)形結(jié)合；推理

“數(shù)射線”是學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)”時經(jīng)常出現(xiàn)的一個工具，借助數(shù)射線，可以將抽象的“數(shù)”直觀形象化。借助數(shù)射線，學(xué)生能夠直觀地判斷出某數(shù)最接近的整萬數(shù)、整十萬數(shù)等，那么，借助數(shù)射線的表征，是否也能將這道題目隱性的思考過程外顯？

一、數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的實(shí)踐

要想引導(dǎo)學(xué)生化數(shù)為形，借助數(shù)射線推測出最接近30000的數(shù)的范圍，首先學(xué)生需要熟悉“借數(shù)射線學(xué)四舍五入的過程”。

1.借“圖”引入，初現(xiàn)模型

出示教材例題：寫出與a、b、c、d相鄰的整萬效，并在最接近它的整萬數(shù)上畫“√”。

師：a可能是哪個數(shù)？為什么？（32995、35641、37864）

生：我認(rèn)為a可能是32995。因?yàn)閍接近30000，這三個數(shù)中只有32995更接近30000。

師：在30000和40000之間除了點(diǎn)a（32995）接近30000，還有哪些數(shù)？

生：我覺得應(yīng)該是30000和35000之間的數(shù)都是接近30000的！

師：怎么想到一定到35000呢？

生：35000是30000和40000的中間數(shù)。比這個中間數(shù)小的數(shù)是接近30000的。

教學(xué)意圖：借助數(shù)射線，通過不斷地追問，直觀感知以中間數(shù)為界，小于中間數(shù)的數(shù)接近前一個整萬數(shù)，大于中間數(shù)的數(shù)接近后一個整萬數(shù)。為后續(xù)發(fā)現(xiàn)“找最接近的整萬數(shù)看千位與5的大小關(guān)系”這一現(xiàn)象做鋪墊，也為后續(xù)自主探究找最接近整十萬數(shù)、整千萬數(shù)等方法做準(zhǔn)備。而這一切又是為下一節(jié)課歸納總結(jié)“四舍五入法”做引入鋪墊。為了拓展學(xué)生的思維，這節(jié)課上提出了一個課后思考題，目的是為引導(dǎo)學(xué)生由局部觀察到整體觀察，為后續(xù)的問題探究做準(zhǔn)備。

2.借“圖”分析，再現(xiàn)模型

出示問題：有一個大數(shù)，四舍五入到萬位是3 0000，這個數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。

師：這個大數(shù)四舍五入到萬位是30000，也就說明什么？

生：這個大數(shù)最接近的整萬數(shù)是30000。

出示數(shù)射線：

師：在這條數(shù)射線上，哪些數(shù)是接近30000，你能說出大致范圍嗎？

生1：有很多，這些數(shù)大概在20000和40000之間。

師：為什么？

生1：30000相鄰的整萬數(shù)是20000和40000，所以應(yīng)該在這個范圍里找。

師：這個范圍里的所有數(shù)都是嗎？

生2：不是，范圍再縮小點(diǎn)，應(yīng)該是25000和35000之間的數(shù)。

師：25000和35000是怎么來的？說說你的想法。

生2：前幾節(jié)課中，我們已經(jīng)知道了以中間數(shù)為分界線，中間數(shù)前面的數(shù)是接近前一個數(shù)的，中間數(shù)后面的數(shù)是接近后一個數(shù)的。20000和30000的中間數(shù)是25000，30000和40000的中間數(shù)是35000，因此接近30000的數(shù)在25000和35000之間。

問：那么這個數(shù)最小是25000，最大是35000？

生3：按照四舍五入法，25000接近30000是對的，但是35000接近40000，不對。所以應(yīng)該是35000前一個數(shù)，也就是35000-1=34999。

出現(xiàn)數(shù)射線：

生總結(jié)：先找到一個大致的范圍，也就是30000相鄰的兩個整萬數(shù)。再縮小范圍，找到前后的兩個中間數(shù)。然后確定了前一個中間數(shù)就是要找的最小數(shù)。后一個中間數(shù)減去1就是最大數(shù)。

3.借“圖”推理，鞏固模型

出示問題：一個大數(shù)，四舍五入到萬位是30 0000，這個數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。

一個大數(shù)，四舍五入到萬位是300 0000，這個數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。

學(xué)生畫圖，得到以下結(jié)論：

師：這三道題目，有什么共同點(diǎn)？

生：都是將一個大數(shù)四舍五入到萬位，根據(jù)得到的近似數(shù)找最小數(shù)和最大數(shù)。

師：解決問題的方法是什么？

生：畫數(shù)射線的方法。先找到這個近似數(shù)的相鄰整萬數(shù)，再找前后中間數(shù)。最后根據(jù)中間數(shù)確定最小數(shù)和最大數(shù)。

4.各取所需，分層建模

對于能力強(qiáng)的學(xué)生來說，在經(jīng)歷畫圖解決一系列問題后，會有一些發(fā)現(xiàn)，比如：（1）最小的數(shù)小于得到的近似數(shù)。最大的數(shù)大于得到的近似數(shù)。（2）如果四舍五入到萬位，就把近似數(shù)減5000得到最小數(shù)，把近似數(shù)加5000再減1得到最大數(shù)；如果四舍五入到十萬位，就把近似數(shù)減50000得到最小數(shù)，把近似數(shù)加50000再減1得到最大數(shù)，以此類推。（3）找準(zhǔn)尾數(shù)，尾數(shù)之前的數(shù)減去1，尾數(shù)改寫成5和相應(yīng)個數(shù)的0，就是最小的數(shù)；尾數(shù)之前的數(shù)保留，尾數(shù)改寫成4和相應(yīng)個數(shù)的9就是最大數(shù)。

根據(jù)這些發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生就可以比較快捷地推出最小數(shù)和最大數(shù)，簡化解題的過程。而對于一些能力較弱的學(xué)生，借“圖”也能逐漸推理出最小數(shù)和最大數(shù)，最終，學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇合適的解題方法，在這個過程中，學(xué)生的思維能力得到了不同水平的發(fā)展。

二、數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的反思

1.數(shù)形結(jié)合，直觀化的探究過程，讓建模更有效

數(shù)射線的引入，化抽象為直觀，讓學(xué)生在解決最大數(shù)問題時深入理解“近似數(shù)可以比原數(shù)小，也可以比原數(shù)大”其次，附近的數(shù)也有遠(yuǎn)近之分，借助數(shù)射線，學(xué)生又能直觀地從圖中提取到這樣一個信息“中間數(shù)是辨別遠(yuǎn)近的一個標(biāo)準(zhǔn)”。在數(shù)射線的直觀支持下，學(xué)生通過一些合情合理地推導(dǎo)，找到了一些顯而易見的結(jié)論，最終解決了問題。數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)學(xué)與直觀的圖形結(jié)合起來，讓抽象的思維直觀化，幫助學(xué)生打開思維大門，突破了數(shù)學(xué)理解的難點(diǎn)。而數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，也實(shí)現(xiàn)了學(xué)生按自己的能力水平建立不同解題模型的需求。

2.數(shù)形結(jié)合，一以貫之，讓建模更順暢

如果在“四舍五入”的新授課中，沒有借助“數(shù)射線”展示四舍五入概念的形成過程，那么，沒有這個經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，學(xué)生很難和這種方法產(chǎn)生親近感，在整個借“圖”建模的過程中，依然會困難重重。因此，讓“數(shù)形結(jié)合”這一思想一以貫之，是學(xué)生有效建模的基礎(chǔ)。新授課上，借助數(shù)射線，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知“中間數(shù)與數(shù)的大小關(guān)系”對“判斷最接近數(shù)”的作用，進(jìn)而洞察到隱含其中的“四舍五入”的規(guī)律，從而理解四舍五入的產(chǎn)生過程，這個知識形成的過程是非常重要的，將對學(xué)生知識的遷移整個過程，非常自然而連貫，利于學(xué)生感受到“數(shù)形結(jié)合”的思考方式帶來的樂趣，從而激發(fā)學(xué)生形成應(yīng)用這個思想方法去解決問題的欲望。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[2]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2022.