用好學生經驗 促進數學理解

學生經驗是正在進行的新課改中的一個重要術語，在《義務教育國家課程方案（2022年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》中多次提到。按照對數學課程標準的理解及對數學教學的實踐解讀，學生經驗主要指向學生的生活現實、數學現實和其他學科現實，它包含學生已有的知識經驗和認知加工水平（思維水平）經驗。新課改強調學生的數學學習應建立在學生已有的基礎之上進行，教學設計、素材選取、情景創設等都要貼近學生現實和認知加工水平，“以利于學生經歷從現實情景中抽象出數學知識與方法的過程、發展抽象能力、推理能力等”。

在數學課堂教學中用好學生經驗，能更好地凸顯學生學習的主體地位，建立學習中心課堂，落實學生的深度學習，促進學生對數學的理解，發展學生的學科核心素養。

一、聯結生活經驗，促進數學理解

“數學是源于現實世界的抽象?！毙W數學內容更能直觀地反映數學與現實世界的聯系，小學生對數學的理解與掌握離不開生活經驗的支撐。教學中應選取貼近學生生活現實的素材，創設“真實情景”，讓學生在“熟悉的實物，以及自然、社會的現象和問題”中追溯和建構數學的“真實原型”，依托這可具體感知“原型”，理解數學知識，習得數學方法、解決數學問題，感悟數學思想、積累數學基本活動經驗。

如，教學“小數除法”，創設現實情景問題：有4位朋友一起吃飯，一共吃掉97元。每人應付多少錢？（AA制）

學生先獨立解決這個問題，有學生得到這樣有余數的結果：

面對這個真實的情景，用以前“有余數的除法”知識解答，答案是24元余1元。問題就來了：是24元，還是25元？這個AA制問題引發了學生新的認知沖突，也催發了學生尋求正確答案的強烈愿望，推動學生進行更深度的互動交流?；诂F實經驗和計算驗證，每個人應付的錢肯定大于24元，而小于25元。學生聚焦“余下的1元怎么分”進行了深度的交流，最終獲得了一種合理解釋且實際可以進行的操作：余下的1元就是10角，10角平均分成4份，每人分到2角，還剩下2角；同樣的道理，這剩下的2角就是20分，20分再平均分成4份，每人分得5分錢。所以1元平均分給4個人，每人就是2角5分，化成單位“元”就是0.25元，最終每人應付24.25元。

也有學生想到利用元角分之間的進率轉化關系得到這樣的結果：

顯然，這樣的思考同樣出自學生對“錢”的生活理解，可以進一步幫助學生理解小數除法的算理或者說對前者“說法”的有效驗證。

以上兩種解釋為經驗基礎，結合十進制位值原理，聯系整數除法、小數的意義，進而再對數進行計算。在教師的點撥指導下學生認識到可以把整數1看作10個0.1，再用10個0.1除以4，每份分得2個0.1，即0.2。余下的0.2又可以看作20個0.01，再用20個0.01除以4，每份分的5個0.01。最終編制出小數除法豎式計算程序，建構出小數除法豎式計算模型：

上面的案例中，“理解算理，掌握算法”屬于“基本技能”，“小數除法怎樣除，小數點怎樣處理，為什么這樣算？”一般的老師會用“直接告訴”的方式“傳遞”給學生，但優秀的教學不是簡單地“告訴”，而是引領學生進入“現實情景”，引發認知沖突，助推學生生活現實經驗與數學的聯結，讓學生結合生活現實理解，努力“說理”，經歷算法的產生過程，從中理解算理，抽象算法，在習得知識、方法的同時獲得數學核心素養的發展。

二、溝通數學現實，促進數學理解

小學數學教材內容是按“螺旋上升”的方式編排的，隨著數學學習的不斷深入，學生所積累的數學基本知識和方法，具備的數學基本技能和活動經驗也就越豐富、越厚實，這些數學現實是學生后續學習數學的素材，為學生進一步學習數學奠定了經驗基礎。對原有數學知識、方法的考查、分析、反思，溝通相關聯的知識和方法之間的內在聯系，找出“同質點”，通過歸納概括，推理“發現”并建構出一類問題的解決方法或原理應是數學學習的一種重要思維方式，也是促進數學理解、數學思維進階的重要途徑。

如，教學“租船問題”：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船、小船各有多少只？

當學生用“畫圖”和“列表”的方法，運用“一一列舉”策略解答后，老師選擇學生的畫圖法和列舉法同時重新并排展示在大屏幕上，進一步提出要求：“我們一起再來觀察、比較這兩種不同的解題策略，特別是認真分析他們的思考過程，有沒有什么異曲同工之處？”

學生展開了更有深度互動的交流，逐漸將數學的眼光聚焦于“人數變化”上，將思維落在“變化規律”上：

“不管是畫圖思考還是列表一一列舉嘗試尋找，每次調整前都要和總人數進行比較，每次都是減少2人。”

“把一只大船換成一只小船就可以少坐2人。要少坐8人，只要把4只大船換成4只小船就可以了，列式是8÷2=4，算出來的就是要租小船的只數。最后10-4=6，就算出了要租大船的只數?！?/p>

“老師，你說過學數學要學會想象，數學學習離不開計算。我發現，其實不管是畫圖還是一一列舉，一開始都用到了假想和計算。我就用了假想和計算的方法。第一步我在腦海中先假想有10只大船，一共可以坐50人。第二步就和實際人數比較，發現多出8人。我就想怎樣把這8人抵消掉呢？一只小船可以坐的人數比一只大船少2人，就只要把幾只大船換成幾只小船。8人是4個2人，腦海中就把4只大船換成4只小船，也就是算出了要租小船的只數是4只，大船就是6只。我是這樣列式的：（5×10-42）÷（5-3）=4（只），10-4=6（只）。”

這是六年級下冊第三單元“選擇策略解決實際問題”的例題2，實質是雞兔同籠問題的變式題。教材的教學目標定位是要求學生能選擇“畫圖”或“列表”的方法，運用“一一列舉”的策略來解決問題。課堂教學實踐證明，這樣的教學目標，學生基本都能達到。這對于即將小學畢業的六年級學生來說，顯然沒有難度，在數學思維上顯得有點“低階”，還停留在“淺層思維”的層面，通過“畫圖”或“列表”的方式來“一一列舉”的方法并沒有構建出解決“雞兔同籠”這一類經典數學問題的數學模型。在課堂中，教師應該引導學生多走一步，更進一步，借助學生已有畫圖或列表的“列舉”策略經驗，把可視、顯性的“列舉過程”再次轉化成學習的素材，組織、啟發學生對“列舉”過程進行再次觀察，深度思考，在素材結構化的組織和呈現中，有意識地、適度地去培養、發展學生抽象思維、邏輯思維和推理能力，完成“假設法”的建構，助推學生對一類經典數學問題解決方法的本質理解和建模。

三、整合其他學科知識，促進數學理解

古人云：“它山之石可以攻玉?！睌祵W學習不能只是“獨善其身”“閉門思考”，小學豐富的學科課程使小學生的“跨學科學習”成為可能。在教學中，教師要努力打破學科界限，在各學科中尋找與數學的契合點、整合點，凝練數學學習主題，創設真實的問題情景、開發實踐時空，讓學生在各學科之間開展“縱橫捭闔”，具身實踐，綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決現實世界中的真實問題，通過真實問題的解決促進對數學知識的理解和運用，培養實踐精神，發展核心素養。

如，封閉圖形上的行程問題：甲、乙兩人沿著400米的環形跑道跑步。他們同時從同一地點出發，同向而行。甲的速度是280米/分，乙的速度是240米/分。經過多少分鐘甲第一次追上乙？

解決該類問題的關鍵是學生缺乏“甲第一次追上乙時的路程差是多少”的準確認知經驗。顯然，這和“勻速變化”的物理現象相關，也是和體育相關的問題。有心的老師便會和體育老師聯合組織學生開展專項活動，讓學生帶著“真實問題”，用數學的眼光去觀察運動中的“數學事實”，在學生親歷的學科實踐活動中見證到“第一次相遇時，快速者總比慢速者多跑1圈”的事實規律。

【注：本文系無錫市教育科學“十四五”規劃課題“以參與者經驗為起點的小學課堂教學設計研究”（編號：B/XC/2023/10）的階段性研究成果】