在知識建構中，讓思維走向深刻

領" 銜" 人：許斌（江蘇省宿遷市學科帶頭人，宿遷市宿城區初中數學兼職教研員）

組稿團隊：南京師范大學附屬中學宿遷分校學院路校區

概念的建構

方程是刻畫現實世界中相等關系的數學模型。七、八年級我們學習了一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程等知識。下面，我們通過一個例子來回憶這些方程的“樣子”。

例1 根據題意，列出符合題意的方程。

如圖1，一塊矩形花圃，四周由柵欄圍成。

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圖1

（1）若柵欄的周長為50米，長比寬多5米，設寬為x米；

（2）若柵欄的長比寬多5米，花圃面積為150平方米，設長為x米；

（3）若柵欄周長為50米，花圃面積為150平方米，設長為x米，寬為y米；

（4）若柵欄周長為50米，花圃面積為150平方米，設長為x米。

【分析】本題從花圃的長、寬、周長、面積這四個量之間的關系來設置問題。據（1），可列出方程2［x+（x+5）］=50①；據（2），可列出方程x（x-5）=150②；據（3），可列出方程2（x+y）=50③，xy=150④；

據（4），可列出方程x（25-x）=150⑤，或2（x+[150x]）=50⑥。①、②、③、④、⑤這些方程都是整式之間的數量關系，我們稱之為整式方程；⑥中含有分式，我們稱之為分式方程。我們又發現，①、②、⑤只含有一個未知數，歷史上稱未知數為“元”，因此它們是一元方程；③、④中含有兩個未知數，我們稱之為二元方程。再對①、②、⑤化簡處理，發現①中未知數的最高次數為1，所以方程①是一元一次方程；而②、⑤中未知數的最高次數為2，所以方程②、⑤是一元二次方程。方程③中未知項的最高次數為1，所以方程③是二元一次方程，而方程④未知項的最高次數為2，因此方程④是二元二次方程。

本章我們將學習一元二次方程。試著寫一些一元二次方程，觀察這些方程，你一定可以發現它們之間的共性特征：只含有一個未知數，未知數的最高次數為2，這樣的整式方程，我們稱之為一元二次方程，這些方程都可以寫成ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）的形式，我們稱其為一元二次方程的一般形式。

聰明的你一定會想到是否存在一元三次方程呢？它們是否也有一般形式呢？這個時候，類比就發揮了作用，請同學們試一試。

解法的建構

利用等式的基本性質，通過去分母、去括號、移項、合并同類項、把未知數的系數化為1這些步驟我們可以求出一元一次方程的解；而二元一次方程組，可以通過代入或加減消元，把二元轉化為一元，從而求出二元一次方程組的解；分式方程通過去分母，將分式方程轉化為整式方程求解，由于這個過程不是同解變形，因此求出整式方程的解后，要代入分式方程進行檢驗，才能確定這個值是不是分式方程的解。那一元二次方程又如何求解呢？

例2 解下列一元二次方程。

（1）x2=1；（2）（x+1）2=1；（3）x2+2x=1；（4）2x2+2x-1=0。

【分析】根據平方根的定義，我們可求得方程（1）的兩根分別為x1=1，x2=-1。這里你是否發現，一元二次方程的根的個數與一元一次方程的根的個數不同？我們還可以將方程（1）變形為x2-1=0，再將等式左邊因式分解，得到（x+1）（x-1）=0，根據ab=0，則a=0或b=0，得到x+1=0或x-1=0這兩個一元一次方程，從而解得x1=-1，x2=1。對于方程（1）的求解，我們這里用了兩種方法——直接開平方法和因式分解法。這兩種方法都是將二次方程轉化為一次方程，化陌生為熟悉來解決問題。降次是解高次方程的基本思想，而直接開平方和因式分解是實現降次的路徑。

我們只要把方程（2）中的x+1看成一個整體，就可以類比方程（1）的兩種方法，求得方程的解，聰明的你可以試一試。事實上，形如x2=a，（x+m）2=n這樣的一元二次方程，我們都可以用上述的方法來解。

仔細觀察方程（3），我們可以發現，利用等式的基本性質，方程左右兩邊同時加1，可得x2+2x+1=2。此時，左邊是完全平方式，即（x+1）2=2，再利用直接開平方法求得方程的解。對于方程（4），我們只需要將等式兩邊同時除以2，把二次項系數化為1，再通過移項、配方，將其轉化為方程（2）的形式，直接開平方即可求得方程的解。我們把這種解一元二次方程的方法叫作配方法。

一般地，將一元二次方程ax2+bx+c=0

（a、b、c為常數，a≠0）兩邊同時除以a，再移項、配方，得到（x+[b2a]）2=[b2-4ac4a2]。可以看出，當b2-4ac≥0時，此方程的兩根為x=[-b±b2-4ac2a]；當b2-4ac＜0時，此方程沒有實數根。于是，我們把b2-4ac叫作一元二次方程根的判別式，把[-b±b2-4ac2a]叫作一元二次方程的求根公式，將一元二次方程中的a、b、c代入這個公式，求得一元二次方程的解的方法叫作公式法。

我們不僅要會使用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法來解一元二次方程，還應該理解這些方法之間的聯系，這樣才能實現知識的融會貫通。在解具體方程時，我們應先自覺地分析方程的結構特征，再使用恰當的方法解方程，提升觀察能力和思維品質。

應用模型的建構

數學源于生活，又服務于生活。一元二次方程是初中重要的數學模型之一，在日常生活中有著廣泛的應用。在遇到形積問題、握手問題、平均變化率問題、動點問題等以生活為背景的問題時，我們應歸納總結出需要的應用模型，發展建模意識。在解決實際問題過程中，我們還要學會借助列表、線段示意圖等方式來清晰理解題意，找出問題的已知量、未知量，探明數量之間的關系，列出方程。在求解完成后，我們還要關注題目中的隱含信息，進而對方程的解進行檢驗，對其解的合理性作出解釋，這是解決實際問題不可或缺的一步，容易被同學們忽視。

從一元到二元，從一次到二次，我們發現，消元、降次是解決多元高次方程的基本思想，領悟到這一點，你就擁有了結構化思維的品質，既見樹木，又見森林！領略數學的思維之美、結構之美。人生亦如方程，讓我們一起探尋，求解！

（作者單位：南京師范大學附屬中學宿遷分校學院路校區）