用數學思想方法照亮解題之路

整體思想

例1 關于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=3，x2=6（a、m、b均為常數，a≠0），則關于a（x+m+2）2+b=0的解是 。

【解析】把x+2看作整體，方程a·（x+m+2）2+b=0變形為a［（x+2）+m］2+b=0，此時方程的結構特征就和已知的方程結構一致。所以x+2=3或x+2=6，解得x=1或x=4。故方程a（x+m+2）2+b=0的解為x1=1，x2=4。

【點評】此題主要考查了一元二次方程解的定義。在這里，我們用整體思想將x+2看作整體，使得問題的解決變得簡潔、高效。

分類討論思想

例2 對于兩個互不相等的實數a、b，我們規定符號max｛a，b｝表示a、b兩個數中最大的數。按照這個規定，方程max｛x，0｝=x2-2的解為 。

【解析】根據規定符號的意義，我們要知道x、0之間的大小關系，不明確時，要分類討論。本題分兩種情況：

（1）當x≥0時，x2-2=x，即x2-x-2=0。解得x1=2，x2=-1。由于x≥0是方程x2-2=x存在的前提，所以x2=-1舍去，故x=2。

（2）當x＜0時，x2-2=0。解得x1=[-2]，x2=[2]。由于x＜0是方程x2-2=x存在的前提，所以x2=[2]舍去，故x=[-2]。

所以方程max｛x，0｝=x2-2的解為x=2或[-2]。

【點評】當不能確定兩個數的大小關系時，我們通常利用分類討論思想，個個突破。分類討論思想是我們數學學習中經常用到的數學思想方法，建立分類標準是解決問題的前提。本題在分類求出方程的解后，務必檢驗方程的解是否在相應的取值范圍內，不在范圍內的值要舍去。

轉化思想

例3 解方程：[x2-2]=[2x+1]。

【解析】方程兩邊平方，得x2-2=2x+1。

整理，得x2-2x-3=0。

解這個方程，得x=3或-1。

經檢驗：x=3是原方程的解，x=-1不是原方程的解。

所以原方程的解是x=3。

【點評】轉化思想是解決數學問題最基本的思想，也是一切數學思想方法的核心。本題考查了根式方程的解法，把根式方程轉化成有理方程是解此類問題的自然想法。注意，解根式方程最后一定要進行檢驗。

方程思想

例4 以方程x2+ax+b=0的根各加1為根的新方程是x2-a2x+ab=0（a≠1），求原方程的根。

【解析】設方程x2+ax+b=0的根分別為x1，x2。利用根與系數的關系，得x1+x2=-a，x1x2=b。又因為以方程x2+ax+b=0的根各加1為根的新方程是x2-a2x+ab=0（a≠1），所以新方程x2-a2x+ab=0的兩個根分別為x1+1，x2+1，即x1+x2+2=a2，（x1+1）（x2+1）=ab。所以-a+2=a2，

-a+b+1=ab。

解得a=1（舍去）或a=-2，b=-1。

∴原方程為x2-2x-1=0。

∵判別式=4+4=8＞0，

∴x=[2±222]=1±[2]。

原方程的根為x1=1+[2]，x2=1-[2]。

【點評】方程思想是解決數學問題的重要思想方法之一，解決問題的關鍵是主動設元與尋找等量關系。

（作者單位：南京師范大學附屬中學宿遷分校學院路校區）