躍過誤區，探索解題之道

一元二次方程是初中數學的重點內容，涵蓋了豐富的知識點和多樣的解題技巧。在解決這類問題時，有些同學在審題、求解方法的選擇、根的判別式和根與系數關系的應用中由于不理解背后的原理，導致求解錯誤。本文列舉部分易錯知識點，幫助同學們識別并改正。

解法不當

例1 方程（x-1）2=2（x-1）的根是（ ）。

A.x=3 B.x=1

C.x1=3，x2=1 D.x1=1，x2=-3

【錯解】A。

【錯因】等式的基本性質是：等式兩邊同時乘（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式。錯解未正確使用等式的基本性質，未考慮到x-1=0的情況，導致漏掉了x=1這個根。

【正解】C。

【評析】使用直接開平方法解一元二次方程時，左邊是一個平方式，右邊是常數項。當常數項為正數時，方程通常有兩個不相等的實數根（在這里，部分同學會出現漏根的情況，要提高警惕）；當常數項為0時，正確的表達方式為x1=x2=a，而部分同學會寫成x=a（這是錯誤的表達）；使用公式法解一元二次方程時，應先將方程化為一般式，在確定a、b、c的值后，再分步代入求根公式計算，注意最后的結果一定要化成最簡形式。

審題不清、不全

例2 關于x的一元二次方程ax2-2（a-1）x+a=0有實數根，則a的取值范圍是 。

【錯解】a＜[12]且a≠0，a≤[12]等。

【錯因】（1）在看到一元二次方程有實數根時，誤認為只要b2-4ac＞0就行，這屬于性質理解不清；（2）忽視一元二次方程二次項系數a≠0，這屬于審題不全。

【正解】a≤[12]且a≠0。

【評析】根的判別式是一元二次方程的重要考點。解題時要仔細審題，正確地使用不等號來表達根的判別式的范圍。二次項系數不為0是這類題中的一個隱含條件，容易被忽視，造成錯解。本題如果去掉“一元二次”的限制，a的范圍又該是什么？請同學們想一想。

忽視根的存在性

例3 已知關于x的一元二次方程x2-

4x+m=0，若方程的兩個實數根為x1、x2，且（x1-m）（x2-m）=10，則m的值為 。

【錯解】根據根與系數的關系，得x1+x2=4，x1x2=m。∵（x1-m）（x2-m）=10，即x1x2-（x1+x2）m+m2=10，∴m-4m+m2=10。解得m=-2或m=5。

【錯因】可以使用根與系數的關系的前提是該方程有實數根。因此，當我們利用根與系數關系求出字母的值后，一定要代入原方程檢驗一元二次方程根的情況，對求出的字母值進行取舍。

【正解】根據根與系數的關系，得x1+x2=4，x1x2=m。

∵（x1-m）（x2-m）=10，即x1x2-（x1+x2）m

+m2=10，∴m-4m+m2=10。

解得m=-2或m=5。

當m=-2時，原方程為x2-4x-2=0。b2-4ac=16+8=24＞0，∴m=-2符合題意。

當m=5時，原方程為x2-4x+5=0。b2-4ac=16-20=-4＜0，∴m=5不符合題意，舍去。故答案為-2。

忽視隱含條件

例4 已知y2-x=0，x2-3y2+x-3=0，則x的值為 。

【錯解】3或-1。

【錯因】本題忽視了y2-x=0這個條件中所隱含的x的取值范圍。

【正解】∵y2-x=0，∴y2=x≥0。∵x2-3y2+x-3=0，∴x2-3x+x-3=0，即x2-2x-3=0。解得x1=3，x2=-1（舍去）。所以x的值為3。

【評析】在處理涉及多個變量的數學問題時，代入消元法是常用的解題策略。本題中已知x、y之間的數量關系，利用代入消元法化二元為一元，從而求得x的值。但由于本題中y2=x的數量關系隱含了x的取值范圍，容易被忽視，從而會出現多寫一個錯誤答案的現象。因此，同學們在做這類題時，一定要全面考慮所有條件，特別是隱含條件的限制，確保解的準確性。

（作者單位：南京師范大學附屬中學宿遷分校學院路校區）