拓例題寬度，促思維發(fā)展

例題是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不可或缺的資源。充分挖掘教材例題的潛在功能，能幫助我們建立起數(shù)學(xué)思維，提高解決問題的能力。下面以蘇科版數(shù)學(xué)教材九（上）第25頁的問題2為例，談?wù)劺}的拓展，以促進(jìn)思維發(fā)展。

【原題呈現(xiàn)】某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達(dá)到3600元，平均每月利潤增長的百分率是多少？

詳細(xì)解答過程見教材。從問題的解答過程中，我們知道，增長率問題的實質(zhì)是同一個數(shù)量經(jīng)過一次增長得到a（1+x）=b（a是原始數(shù)量，b是變化后的數(shù)量），在一次增長后再以相同的百分率增長一次，就有a（1+x）2=b的模型。

思考一：增長率問題到變化率問題

問題1 某商店6月份的利潤是2500元，由于經(jīng)營不善，到8月份的利潤為1600元，平均每月降低的百分率是多少？

【解析】設(shè)平均每月降低的百分率是x。根據(jù)題意，得2500（1-x）2=1600。解得x1=0.2，x2=1.8（不合題意，舍去）。所以平均每月降低的百分率是20%。

【點評】與增長率問題一樣，問題涉及n次相同減少（降低）時，則有a（1-x）n=b。

拓展1 某商店6月份的利潤是2500元，如果6、7、8月份的利潤總和為9100元，平均每月增長的百分率是多少？

【解析】設(shè)平均每月利潤增長的百分率是x，則7月份的利潤是2500（1+x）元，8月份的利潤是2500（1+x）2元。根據(jù)題意，得2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100。解得x1=0.2，x2=-3.2（不合題意，舍去）。所以平均每月利潤增長的百分率是20%。

【點評】不能把方程列為2500（1+x）2=9100。因為題目中的“9100元”是三個月份的利潤總和，而非8月份的利潤。

拓展2 某農(nóng)場2020年種植了10畝地的南瓜，畝產(chǎn)量為2000kg。根據(jù)市場需求，2021年該農(nóng)場擴(kuò)大了種植面積，并且全部種植了高產(chǎn)的新品種南瓜。若南瓜種植面積的增長率是畝產(chǎn)量增長率的2倍，2021年南瓜的總產(chǎn)量為60000kg，求南瓜畝產(chǎn)量的增長率。

【解析】設(shè)南瓜畝產(chǎn)量的增長率為x，則種植面積的增長率為2x。根據(jù)題意，得10（1+2x）·2000（1+x）=60000。解得x1=0.5，x2=-2（不合題意，舍去）。所以南瓜畝產(chǎn)量的增長率為50%。

【點評】本題種植面積這個數(shù)量只經(jīng)過一次變化，畝產(chǎn)量這個數(shù)量也只經(jīng)過一次變化，而這兩個數(shù)量之間存在一定的制約關(guān)系（畝產(chǎn)量×畝數(shù)=總產(chǎn)量），那么我們就可以根據(jù)這種制約關(guān)系來列方程求解。

思考二：增長率大于或等于1

問題2 某公司計劃兩年內(nèi)把產(chǎn)量翻兩番，如果每年比上一年提高的百分?jǐn)?shù)相同，求這個百分?jǐn)?shù)。

【解析】設(shè)這個百分?jǐn)?shù)為x，原來的產(chǎn)量為1，則1×（1+x）2=1×4。解得x1=1，x2=-3（不合題意，舍去）。所以這個百分?jǐn)?shù)是100%。

【點評】當(dāng)增長率為1（即100%）時，每增長一次翻一番。“番”是按幾何級數(shù)計算的，與“倍”的算術(shù)級數(shù)計算方式不同。翻n番就在原數(shù)量的基礎(chǔ)上乘2n。

拓展1 有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有225人患了流感，則平均每人每輪傳染多少人？

【解析】設(shè)平均每人每輪傳染x個人。根據(jù)題意，得1×（1+x）2=225。解得x1=14，x2=-16（不合題意，舍去）。所以平均每人每輪傳染14人。

【點評】此題的每人每輪傳染14人可以理解為增長率為1400%。傳染問題、電腦病毒傳播問題等，都可以歸為增長率問題，只不過增長率為大于1的整數(shù)。

拓展2 某活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出與枝干同樣數(shù)目的小分枝，主干、枝干、小分枝的總數(shù)是43，求這種植物的每個枝干長出的小分枝的個數(shù)。

【解析】設(shè)這種植物每個枝干長出的小分枝個數(shù)是x。根據(jù)題意，得1×（1+x）2=43+x。整理，得x2+x-42=0。解得x1=-7（不合題意，舍去），x2=6。所以這種植物的每個枝干長出的小分枝的個數(shù)為6。

【點評】第一次增長時，主干長出x個枝干；第二次增長時，每個枝干又長出x個小分枝，但主干上沒有再長出新枝干。雖不是增長率問題，但是我們可以假設(shè)第二次增長時主干上也長出x個新枝干，則主干、枝干、小分枝的總數(shù)應(yīng)該為1×（1+x）2。這樣，問題就又轉(zhuǎn)化為增長率問題了。本題也可以分別考慮主干、枝干、小分枝的數(shù)量，再根據(jù)它們的總和為43，列出方程1+x+x2=43。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校學(xué)院路校區(qū)）