“一元二次方程”考點探秘

一元二次方程是構建代數知識體系中的一個關鍵節點，也是后續學習高中數學內容的基礎。這部分內容不僅知識點豐富，而且解題方法靈活多樣，在每年的中考中占據較高的比重。我們現選取2024年部分中考真題，共同研究其中的考點，以促進對這部分內容的深入認識和理解。

考點一：一元二次方程的解

例1 （2024·廣東深圳）一元二次方程x2-3x+a=0的一個解為x=1，則a= 。

【解析】由解的定義可知，當x=1時，方程左右兩邊相等。所以將x=1代入方程，得1-3+a=0，解得a=2。

【反思】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，理解一元二次方程解的意義是解題的關鍵。

考點二：一元二次方程根的判別式

例2 （2024·黑龍江龍東地區）關于x的一元二次方程（m-2）x2+4x+2=0有兩個實數根，則m的取值范圍是（ ）。

A.m≤4 B.m≥4

C.m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2

【解析】一元二次方程的根的情況是由b2-4ac決定的。由于方程有兩個實數根，所以b2-4ac≥0，即16-8（m-2）≥0，解得m≤4。又因為該方程是一元二次方程，所以還應滿足二次項系數不為0，即m-2≠0，所以m≠2。所以m的取值范圍是m≤4且m≠2。故選D。

【反思】含參數的一元二次方程是中考熱點問題。在利用根的判別式解決問題時，需要注意幾個關鍵點：（1）準確理解題意，正確使用不等號；（2）在解題過程中，要始終記得二次項系數不能為0，這是同學們在解題時容易忽視的細節。

考點三：一元二次方程根與系數的關系

例3 （2024·山東煙臺）若一元二次方程2x2-4x-1=0的兩根為m、n，則3m2-4m+n2的值為 。

【解析】由根與系數的關系可知：m+n=[--42]=2，mn=[-12]，但此時與3m2-4m+n2并沒有什么關聯。通過觀察，我們發現所求的式子中含m2，則根據方程根的定義，將x=m代入方程，得2m2-4m-1=0。根據等式的性質，得2m2-4m=1。所以3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=1+（m+n）2-2mn=1+22-2·（[-12]）=6。

【反思】利用根與系數的關系構造關聯來求代數式的值是中考常考知識點。一方面可以利用根與系數的關系構造關聯，另一方面還可以從一元二次方程中根的定義入手。

考點四：一元二次方程與幾何圖形綜合

例4 （2024·內蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2-10x+21=0的兩個根，則這個三角形的周長為（ ）。

A.17或13 B.13或21

C.17 D.13

【解析】解方程得x1=3，x2=7。當等腰三角形的邊長是3、3、7時，3+3＜7，不符合三角形的三邊關系，應舍去；當等腰三角形的邊長是7、7、3時，這個三角形的周長是7+7+3=17。故選C。

【反思】當不確定等腰三角形的腰和底時，要分類討論。在求三角形周長前，應首先考慮三角形是否存在。

考點五：一元二次方程的實際應用

例5 （2024·湖北）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成。已知墻長42m，籬笆長80m。設垂直于墻的邊AB長為xm，平行于墻的邊BC為ym，圍成的矩形面積為Sm2。

（1）求S與x的關系式，并寫出x的取值范圍。（2）圍成的矩形花圃面積能否為750m2，若能，求出x的值。（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值。

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【解析】（1）依據題意，2x+y=80，所以y=-2x+80。所以S=AB·BC=x（-2x+80）=-2x2+80x。再根據墻長42m，列出不等式為0＜-2x+80≤42，可得x的范圍是19≤x＜40。

（2）依據題意，令-2x2+80x=750。解得x1=15或x2=25。由第（1）問x的取值范圍可知x1=15應舍去。所以當x=25時，圍成的矩形花圃的面積為750m2。

（3）根據（1），S=-2x2+80x，得2x2-80x+S=0，b2-4ac=（-80）2-8S≥0。解得S≤800，即S的最大值為800。將S=800代入，得2x2-80x+800=0。解得x1=x2=20，符合x的取值范圍。所以圍成的矩形花圃面積存在最大值，最大值為800m2，此時x的值為20。

【反思】用一元二次方程解決實際問題后，一定要檢驗求得的結果是否符合題意和實際意義。

（作者單位：南京師范大學附屬中學宿遷分校學院路校區）