利用拼圖研究配方法解一元二次方程

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用直接開(kāi)平方法解一元二次方程。例如，解方程（x+1）2=25，那么（x+1）就是25的平方根，所以x+1=±5，即x1=?6，x2=4。

因此，在解方程x2+2x?24=0時(shí)，我們可以先移項(xiàng)，得x2+2x=24；再給等式兩邊同時(shí)加上12，得x2+2x+12=25；將方程的左邊配成完全平方的形式，即（x+1）2=25；最后用直接開(kāi)平方法求出方程的解。這種解一元二次方程的方法叫作配方法。

那么，我們?cè)撊绾卫斫膺@個(gè)配方的過(guò)程呢？給移項(xiàng)后等式左邊的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配一個(gè)什么樣的常數(shù)項(xiàng)才能得到完全平方式呢？下面，我們借助拼圖來(lái)研究。

第一步：【配方過(guò)程】將x2+2x?24=0移項(xiàng)，得x2+2x=24，即x（x+2）=24。

【拼圖研究】取一張紙片，令其面積為24，長(zhǎng)為x+2，寬為x，如圖1。

圖1

第二步：【配方過(guò)程】將方程x2+2x=24變形成x2+2?（1?x）=24。

【拼圖研究】如圖2，將這張紙片分割成一個(gè)x?x的正方形和兩個(gè)1?x的矩形，并將其中一張1?x的矩形移動(dòng)到如圖3的位置。

第三步：【配方過(guò)程】在等式x2+2x=24的左右兩邊同時(shí)加上12，得x2+2x+12=24+12。

【拼圖研究】在圖3右上角補(bǔ)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，如圖4。

第四步：【配方過(guò)程】等式左邊完全平方式因式分解后，原方程變形為（x+1）2=25。

【拼圖研究】原圖補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為x+1的正方形，如圖5。

當(dāng)方程的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，又該如何拼圖呢？下面，我們來(lái)嘗試通過(guò)拼圖研究方程x2?4x?12=0的配方過(guò)程。

第一步：【配方過(guò)程】將x2?4x?12=0移項(xiàng)，得x2?4x=12，再將其變形成x2?2?（2?x）=12。

【拼圖研究】取一張x?x的正方形紙片，如圖6，裁去兩個(gè)2?x的矩形，重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，被多裁去了一次。

第二步：【配方過(guò)程】在等式x2?4x=12的左右兩邊同時(shí)加上22，得x2?4x+22=12+22。

【拼圖研究】給重疊部分補(bǔ)上一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖7。

第三步：【配方過(guò)程】等式左邊完全平方式因式分解后，原方程變形為（x?2）2=16。

【拼圖研究】原圖變成了一個(gè)邊長(zhǎng)為x?2的正方形，如圖8。

請(qǐng)你試一試用拼圖的方式研究下列各方程的配方過(guò)程：x2+2x?3=0、x2?6x?13=0、x2+3x?28=0、x2?x?1=0。你發(fā)現(xiàn)了嗎？我們用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程時(shí)，在方程的兩邊都加上了一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，也就是我們拼圖時(shí)裁下的兩個(gè)矩形其中一個(gè)的寬。

（作者單位：江蘇省昆山市新鎮(zhèn)中學(xué)）