全概率公式的基本應用

全概率公式作為概率論中最基本的公式之一，是新教材中一個新增的知識點，也是條件概率與概率乘法公式的深入與綜合應用，為解決各種各樣的限制條件或其樣本空間較為復雜的概率問題提供了一個有力的工具。它使得概率問題的設置與應用更加豐富多彩、靈活多變、創新不斷，已成為新高考中的一個熱點與亮點。

1.概率問題

例1 設甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現從甲盒任取2個球放入乙盒，再從乙盒任取2個球，則從乙盒取出2個紅球的概率為____。

分析：根據題設條件，分別設出對應的基本事件，設事件A1 = “從甲盒取出2 個紅球”，事件A2=“從甲盒取出2個白球”，事件A3=“從甲盒取出1個白球1個紅球”，事件B=“從乙盒取出2個紅球”。事件A1，A2，A3 兩兩互斥，結合全概率公式來分析，求解相應的概率問題。

解：依題意，設事件A1=“從甲盒取出2個紅球”，事件A2=“從甲盒取出2個白球”，事件A3=“從甲盒取出1個白球1個紅球”，事件B=“從乙盒取出2個紅球”。

則事件A1，A2，A3 兩兩互斥，且A1 ∪A2∪A3 =Ω，所以B =（A1 ∪A2 ∪A3）B =A1B∪A2B∪A3B。

結合全概率公式，可得：

P（B）=P（A1B∪A2B∪A3B）

=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）

=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）

=C22/C25×C23/C27+C23/C25×0/C27+C1 3C12/C25×C22/C27=3/70。

所以從乙盒取出2個紅球的概率為3/70。

點評：利用全概率公式來求解相應的概率問題時，關鍵在于剖析實際應用問題中相應事件的內涵與實質，構建相應事件之間的關系。結合解決全概率公式問題的三個基本步驟：（1）“拆分”，確定拆分標準，將較為復雜的復合事件B 分解成相應的若干個互斥事件Bi（i=1，2，…，n）;（2）“計算”，計算相對應事件的概率P（Bi）以及相應的條件概率P（A|Bi）;（3）“求和”，利用全概率公式進行求和處理。

2.決策問題

例2 （2022～2023學年河北省滄州市高二下學期期末數學試卷）端午假日期間，某商場為促銷舉辦了購物砸金蛋活動，凡是在該商場購物的顧客都有一次砸金蛋的機會。主持人從編號為1，2，3，4的4個金蛋中隨機選擇1個，放入獎品，只有主持人知道獎品在哪個金蛋里。游戲規則：顧客有兩次選擇機會，第一次任意選1個金蛋先不砸開，隨后主持人隨機砸開另外3個金蛋中的1個空金蛋，接下來顧客從3個完好的金蛋中任意選擇1個砸開，如果砸中有獎的金蛋直接獲獎。現有顧客甲第一次選擇了2號金蛋，接著主持人砸開了另外3個金蛋中的1個空金蛋。

（1）作為旁觀者，請你計算主持人砸4號金蛋的概率。

（2）當主持人砸開4號金蛋后，顧客甲重新選擇，請問他是堅持選2號金蛋，還是改選1號金蛋或3號金蛋呢。 （以獲得獎品的概率最大為決策依據）

分析：（1）根據題設條件設出事件，根據已知條件得出事件的概率以及條件概率，然后根據全概率公式得出答案;（2）根據條件概率公式，分別求出在主持人砸開4號金蛋的條件下，1號金蛋、2號金蛋、3號金蛋里有獎品的概率，再比較概率的大小，即可作出更加合理的決策與判斷。

解：（1）設A1，A2，A3，A4 分別表示1，2，3，4號金蛋里有獎品，設B1，B2，B3，B4 分別表示主持人砸開1，2，3，4號金蛋。

則Ω =A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4，且A1，A2，A3，A4 兩兩互斥。